探討高中數(shù)學(xué)拋物線的解題方法與技巧

郭可欣

【摘要】在高中教學(xué)中，數(shù)學(xué)是一門(mén)很重要的學(xué)科，拋物線的知識(shí)又是在高考中占據(jù)著很大的比例，很多同學(xué)都被拋物線中的難點(diǎn)搞得暈頭轉(zhuǎn)向，針對(duì)于拋物線的難點(diǎn)，我們要清楚的把握住拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線位置，并根據(jù)拋物線的定義準(zhǔn)確的把我拋物線的性質(zhì)，其性質(zhì)包括坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、交點(diǎn)的數(shù)量、坐標(biāo)的方向等問(wèn)題。本文主要是以平時(shí)作業(yè)中的易錯(cuò)點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，來(lái)探討高中數(shù)學(xué)拋物線的解題方法與技巧。

【關(guān)鍵詞】拋物線 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 坐標(biāo)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）11-0147-02

1.引言

掌握相關(guān)數(shù)學(xué)解題方法，為同學(xué)們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，當(dāng)掌握一定的解題技巧后，做題效率也會(huì)事半功倍，本文通過(guò)對(duì)平時(shí)例題和考試中的拋物線題型進(jìn)行分析，拋物線的部分在考試中分別占有一定的比重，而在進(jìn)行此類(lèi)的題目解答時(shí)，通常都只是憑著死記硬背，缺少一定的解題方法和技巧。

拋物線的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。

定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)；定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線；定義焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為焦準(zhǔn)距，用p表示（p>0）。

其表現(xiàn)方法有參數(shù)表示和標(biāo)準(zhǔn)方程表示等等，拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線，拋物線在核實(shí)的坐標(biāo)變換下也可以看成是二次函數(shù)的圖像。

2.拋物線中常見(jiàn)的參數(shù)

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：右開(kāi)口拋物線：y2=2px（p>0）。左開(kāi)口拋物線：y2=2px （p<0）；上開(kāi)口拋物線：y=x2/2p （p>0）；下開(kāi)口拋物線：y=x2/2p （p<0）

在拋物線的公式中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定其圖像開(kāi)口的方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的圖像開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，則向下向下開(kāi)口。

當(dāng)|a|越大，圖像的縱坐標(biāo)數(shù)值與橫坐標(biāo)數(shù)值比越大，則二次函數(shù)圖像與y軸的夾角越小，開(kāi)口越小；反之則開(kāi)口越大。

對(duì)稱軸的位置則由一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定。

當(dāng)a>0，與b同號(hào)時(shí)（即ab>0），對(duì)稱軸在y軸左； 因?yàn)閷?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸的x小于0，也就是- b/2a<0，所以 b/2a要大于0，所以a、b要同號(hào)。

同理，當(dāng)a>0，與b異號(hào)時(shí)（即ab<0），對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸的x要大于0，也就是- b/2a>0， 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號(hào)。

所以對(duì)于對(duì)稱軸的位置有左同右異來(lái)表示，同異便是說(shuō)的a、b的正負(fù)值，即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab<0 ），對(duì)稱軸在y軸右。

事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。可通過(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

3.距離說(shuō)明拋物線的解題方法和技巧

例：若動(dòng)點(diǎn)M到F（4，0）的距離比它到直線x+5=0的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程。

分析：本題若設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)題意，列出等式■=x+5-1，則化簡(jiǎn)教復(fù)雜，如果能把題中的距離不等化為距離相等，則根據(jù)拋物線定義，立即可得到方程。

解：本題等價(jià)與：“若動(dòng)點(diǎn)M到（4，0）的距離與它到直線x+4的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程。”設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F（4，0）為焦點(diǎn)的拋物線，因?yàn)镻＼2=4.所以P=8，又因?yàn)榻裹c(diǎn)在X軸的正半軸上，所以點(diǎn)M的軌跡方程為Y2=16x。

在解決拋物線問(wèn)題時(shí)，解法相對(duì)比較靈活，綜合性強(qiáng)，解決時(shí)，可以從不同角度入手，化難為易，從簡(jiǎn)單的點(diǎn)入手，會(huì)使得學(xué)生更容易解決拋物線的相關(guān)問(wèn)題。

方法比答案更重要。有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的老師都知道，當(dāng)學(xué)生來(lái)問(wèn)問(wèn)題的時(shí)候，不要把現(xiàn)成的答案告訴學(xué)生，而是要把做題的方法分析給學(xué)生聽(tīng)。有了好的學(xué)習(xí)方法，就如同學(xué)生們有了一件法寶，這件法寶可以帶領(lǐng)學(xué)生翻山越嶺，渡過(guò)千難萬(wàn)險(xiǎn)。因此學(xué)習(xí)時(shí)，盡可能多的去思考，學(xué)習(xí)起拋物線的相關(guān)知識(shí)時(shí)，能夠得心應(yīng)手，事半功倍的解決拋物線問(wèn)題。

綜上，想要在高中數(shù)學(xué)中學(xué)好拋物線，第一，就要對(duì)基本的概念和公式進(jìn)行掌握，第二，進(jìn)行鞏固和拓展，通過(guò)做大量的習(xí)題，以達(dá)到鞏固的效果，例題是考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和概念的運(yùn)用，所以要重視例題的作用，最后，進(jìn)行拋物線的深化，可以做一些有深度的習(xí)題，進(jìn)行更深層次的挖掘，循序漸進(jìn)，是學(xué)習(xí)知識(shí)的最佳途徑。

參考文獻(xiàn)：

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