由批改一道中考題所引發(fā)的思考

王水生

【摘要】批改一道中考題看到考生的各類型錯誤，將共同存在的問題進行歸納、分析，發(fā)現(xiàn)考生基本功較差，思維缺乏完備性，探究能力不足，當(dāng)然也有考生的解法精妙值得一提。反思數(shù)學(xué)教師的教學(xué)工作，應(yīng)把數(shù)學(xué)課當(dāng)成學(xué)生思維培養(yǎng)的主陣地！教師備課時要關(guān)注學(xué)習(xí)目標(biāo)的設(shè)置，每節(jié)數(shù)學(xué)課對于學(xué)生的邏輯思維、形象思維和直覺思維培養(yǎng)的側(cè)重點不同。在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中堅持一題多變，多題歸一。

【關(guān)鍵詞】一題多變 多題歸一 基本功 思維能力 反思

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）07-0135-02

筆者有幸參加2016年巴彥淖爾市中考第21題的閱卷工作，通過對此題的批改，對學(xué)生的解題思路和出現(xiàn)的種種錯誤有更深的了解，從而引發(fā)我對平時數(shù)學(xué)教學(xué)工作的反思，現(xiàn)撰寫成文章希望能夠?qū)ζ渌蠋熃窈蟮慕虒W(xué)工作有所啟發(fā)。

一、題目及評價：

如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE.已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF.

（1）求證：△ABC≌△EAF； （2）試判斷四邊形EFDA的形狀，并證明你的結(jié)論。

（2016年巴彥淖爾市中考數(shù)學(xué)第21題）

本題是考查三角形全等的判定和性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定，平行線的判定等綜合內(nèi)容，綜合性較強，所涉及的基本知識和技能都符合課標(biāo)的要求，通過證明全等，為學(xué)生展示思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、書寫的縝密性提供一個較好的平臺，第（2）問屬于結(jié)論探索型問題，其中第（1）問的證明為第（2）問的證明做了鋪墊，降低了難度，是難易適中的試題。在考查學(xué)生是否達到相應(yīng)學(xué)業(yè)水平的同時，也對引導(dǎo)教師在教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和推理能力的培養(yǎng)具有積極的意義。

學(xué)生答題情況分析：本題滿分8分，均分2.808分，難度0.351，考生總?cè)藬?shù)14317人，此題得滿分的有2775人，得零分?jǐn)?shù)的有6796人。本題預(yù)測得分率為60%左右，但是實際得分率是46.8%，這說明學(xué)生對幾何題的證明、探索型問題的解決能力有待提高。

二、由學(xué)生解答失誤引發(fā)的思考

1.基本功比較差

學(xué)生的錯別字太多，例如：菱形、矩形、平行四邊形等的錯誤寫法有若干種，如：零形，棱形，凌形，陵形，綾形，距形，鉅形，平行四邊行，平形四邊行，菱形四邊形等等；很多學(xué)生的符號語言有錯誤如，“≌”不會寫，全等符號中的“∽”表示兩個圖形形狀相同，即相似，但是考生竟然寫成“ ～ ”“ ≈ ”；不恰當(dāng)?shù)暮唽懛?，如等邊△，Rt∠，Rt△，直角△，等邊△等等，隨便亂用，真是讓改卷的數(shù)學(xué)老師都汗顏！反思這部分考生的任課教師是怎么進行教學(xué)的？新課標(biāo)要求在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的符號意識，即能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式。

全等三角形的證明過程簡直是“百花齊放”，例如，對于“HL”的應(yīng)用，大括號中的條件竟然是∠ACB=∠EFABA=EA或者BA=EA∠ACB=∠EFAAF=BC，對于兩個三角形判定全等的方法里竟然有“SSA”“AAA”，多人寫出這樣的模式，讓改卷老師不得不反思考生的數(shù)學(xué)老師當(dāng)時是否教錯了？

2.思維缺乏完備性

第（2）問解答出錯的考生多數(shù)是誤認(rèn)為已知條件中有∠AFD=60°、∠ADF=30°，或者∠AFD=∠EAF，誤認(rèn)為AC⊥FD，F(xiàn)D垂直平分AC或者DF平分∠ADC，這是學(xué)生“直覺思維惹的禍”，直覺認(rèn)為這些條件成立，拿來直接用，這種以直覺思維代替演繹推理造成了學(xué)生解題的不嚴(yán)謹(jǐn)。不可否認(rèn)，直覺思維具有許多優(yōu)點，特別是在創(chuàng)造活動中有著非常積極的作用，學(xué)生數(shù)學(xué)判斷能力的高低也主要取決于直覺思維。但在重視直覺思維的同時，也不可忽略演繹推理，這涉及教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性問題，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是靠演繹推理支撐的，對于數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的重視要從教學(xué)上給予支持。

學(xué)生解答失誤反映出的問題，應(yīng)當(dāng)引起我們的一線老師的重視，因為這折射出的是我們?nèi)粘＝虒W(xué)中的失誤和不足。華羅庚教授曾說過：在數(shù)學(xué)表達上要做到“想得清楚，說得明白”。數(shù)學(xué)所特有的嚴(yán)謹(jǐn)、簡潔、靈活的優(yōu)良品質(zhì)都應(yīng)建立在嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的基礎(chǔ)之上，而“學(xué)”的嚴(yán)謹(jǐn)在很大程度上又取決于“教”的嚴(yán)謹(jǐn)，嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的“教”具有潛移默化的示范作用。重視教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，可以促進學(xué)生思維的不斷加強。

3.探究能力不足

第（2）問判斷四邊形EFDA的形狀，竟然有許多考生認(rèn)為是菱形、矩形，這是多么明顯的錯誤。鄰邊AE與EF分別是△AEF的斜邊和直角邊，怎么會相等？既然知道斜邊不可能等于直角邊，那么平行四邊形EFDA的鄰邊不等，它的形狀不會是菱形。另外觀察對角線AF，將∠EAD分成兩個角分別是∠EAF=60°，∠FAD=90°，兩角不等，也可以推斷四邊形EFDA的形狀不可能是菱形。由圖可以目測，四邊形EFDA的四個內(nèi)角都不能是直角，自然不會出現(xiàn)矩形。大部分考生正確的判定了四邊形EFDA是平行四邊形，但對平行四邊形EFDA的對邊EF與AD平行且相等的證明沒有找到依據(jù)，等量代換、內(nèi)錯角相等是本題的突破口，遺憾的是考生不能找到此突破口，所以不能給出正確的、完整的證明過程！

三、解法引發(fā)的思考

1.值得一提的解法

本題第（2）問猜測到四邊形EFDA是平行四邊形，有多種方法來驗證結(jié)論的正確性，但是有一種解法值得一提。

解：如圖，連接CF，F(xiàn)D與AC交于點G，

∵△AEB是等邊三角形

又∵EF⊥AB

∴AF=BF=AB

∵∠ACB=90°

∴CF=AB

∴CF=AF 即點F在AC的垂直平分線上

∵△ACD是等邊三角形

∴DA=DC 即點D在AC的垂直平分線上

由兩點確定一條直線可得，DF垂直平分AC，即∠AGF=∠FGC=90°

由（1）可知，∠EAB=60°，∠BAC=30°，∠EAC=60°+30°=90°

∴∠EAC=∠FGC，∴FD∥EA

∵∠DAF=∠DAC+∠BAC=60°+30°=90°

∴∠EFA=∠DAF=90°可得EF∥AD

∴四邊形EFDA是平行四邊形。

事實上，若證明FD⊥AC，則可得FD∥BC，還可利用角之間的關(guān)系，證明四邊形EFDA是平行四邊形。當(dāng)然還有其他證明方法。選擇做輔助線CF很關(guān)鍵，這要依靠學(xué)生對直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)的熟練掌握才可能聯(lián)想到這條輔助線。

2.幾點思考

（1）根據(jù)學(xué)生在答題過程中出現(xiàn)的問題，作為數(shù)學(xué)教師首先反思自己的數(shù)學(xué)教學(xué)，要想提升學(xué)生的思維能力，教師要提高自身的教學(xué)水平。如何有效、高效上好一節(jié)數(shù)學(xué)課？認(rèn)真?zhèn)湔n是第一要素，不能僅僅依靠學(xué)校統(tǒng)一編制的學(xué)案，或者靠“題海戰(zhàn)術(shù)”，數(shù)學(xué)教師要把個人的智慧和學(xué)生的活動結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)課當(dāng)成學(xué)生思維培養(yǎng)的主陣地！

（2）數(shù)學(xué)是思維的體操，教師首先樹立明確目標(biāo)，數(shù)學(xué)課的開設(shè)，目的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，所以課堂教學(xué)是關(guān)鍵。目前采用的“學(xué)案導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)模式應(yīng)該是利于學(xué)生的思維培養(yǎng)，教師備課時要關(guān)注學(xué)習(xí)目標(biāo)的設(shè)置，每節(jié)數(shù)學(xué)課對于學(xué)生的邏輯思維、形象思維和直覺思維培養(yǎng)的側(cè)重點不同，具體的教學(xué)中創(chuàng)設(shè)的問題情境、新知探究、選擇鞏固訓(xùn)練題等都要用心去研究。

3.對教學(xué)的幾點建議

3.1通過一題多變，提高學(xué)生全面分析問題的能力

習(xí)題變式的具體操作方法很多，從題目的形式入手有：變化條件，變化結(jié)論，逆向調(diào)換條件和結(jié)論；從題目條件結(jié)論之間的邏輯關(guān)系入手有：類比、強化、弱化。這兩種分類，一般都屬于一題多變的范圍。例如，對某一題目的條件進行變化，從而得到變式題組。

以2016年巴彥淖爾市中考數(shù)學(xué)第21題為例。

將條件改變：

（1）增加條件，若BC=2，求四邊形EFDA的周長；

（2）把條件∠ABC=60°去掉，改為：當(dāng)=____時，四邊形EFDA是平行四邊形；

（3）增加條件，連接ED交AB于點H，下列結(jié)論：

①DF⊥AC；②四邊形EFDA為平行四邊形；

③AE=4AH；④△EBF≌△DFA.其中正確結(jié)論的序號是 _________.

題目條件不變，將題目的結(jié)論橫向、縱向拓展求異，以達到以點串線，觸類旁通的目的。以2016年巴彥淖爾市中考數(shù)學(xué)第21題為例，只改變結(jié)論可以有如下變式：

（1）求證：AC=EF；

（2）求證：△ABC≌△DFA；

（3）求證：四邊形EFDA是平行四邊形。

教學(xué)中常常會見到從題目的邏輯關(guān)系入手產(chǎn)生變式題，從某種意義上講，是一種狹義的變式。通過創(chuàng)設(shè)這樣的變式題組，可以使學(xué)生從不同章節(jié)知識間的聯(lián)系，實現(xiàn)對基礎(chǔ)知識和基本技能的運用與掌握，通過變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生透徹理解題目的本質(zhì)屬性，開闊解題思路，從而提高了學(xué)生的解題能力。

3.2通過多題歸一培養(yǎng)學(xué)生綜合分析、解決問題的能力

數(shù)學(xué)中的許多不同的章節(jié)，同一章節(jié)內(nèi)又劃分為若干個單元，在不同章節(jié)之間或者同一章節(jié)不同單元之間，常常會出現(xiàn)在內(nèi)容上的相互轉(zhuǎn)換與滲透。據(jù)此我們可以將某一單元的題目改變表達形式，改變?yōu)榱硪粏卧念}目，無論形式和內(nèi)容，都變了，而題目的本質(zhì)沒有變化，解答題目的方法相同。通過這些解法相同的“跨知識點”的題，可以體會多題一解，或多題歸一的含義。

例題：如圖，已知拋物線y=-（x+2）（x-m）（m>0）與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點E，且點B在點C的左側(cè)。

（1）若拋物線過點M（2，2），求拋物線的解析式。

（2）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使BH+EH最小，并求出點H的坐標(biāo)。

（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點P，使△EPB的周長最小，并求出點P的坐標(biāo)。

對于（2）的解答，只需確定點B與點C關(guān)于對稱軸直線x=1對稱，連接EC交對稱軸于點H，點H即為所求。此題的解法實質(zhì)上是將拋物線的對稱軸看作一條河，點B、點E看作在河的同側(cè)的兩個村莊，在河岸邊建泵站，向兩個村莊供水，如何選擇泵站地點，使得所用管道最短？對于（3）求△EPB的周長最小值，由于點E和點B是確定的點，EB的長也是定值，若使周長最小，實質(zhì)是在對稱軸上求一點P，使BP+EP的值最小，這樣（3）和（2）實際是同類問題，求周長最小值轉(zhuǎn)換為求線段和的最小值，即可歸結(jié)為在河岸上建泵站問題。將二次函數(shù)中求線段之和的最小值或求周長的最小值問題，轉(zhuǎn)換成已經(jīng)學(xué)習(xí)過的軸對稱中最短路徑問題，難度降低了，學(xué)生思路容易被打開，會感到有收獲，產(chǎn)生成就感！

關(guān)于“多解歸一，多題歸一”，實際上就是華羅庚教授說的要“由厚到薄”，要把知識技能總結(jié)歸納，對解題來說，就是要把解題的經(jīng)驗總結(jié)歸納，日常教學(xué)中要關(guān)注共性，形成結(jié)構(gòu)，新線索進行串聯(lián)重組。作為數(shù)學(xué)教師，不是簡單的多做題，要深入思考，要重視“一題多法”“先舉三反一，再舉一反三”，不僅要樹立這種意識，而且要肯下功夫。

數(shù)學(xué)課實質(zhì)就是教學(xué)生“怎樣解題”、“怎樣學(xué)會解題”，內(nèi)蒙古師范大學(xué)的代欽教授認(rèn)為：分析典型例題的解題過程是學(xué)會解題的有效途徑，而學(xué)會解題有四步驟基本程式：簡單模仿、變式練習(xí)、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析。作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)堅持不斷學(xué)習(xí)，更新自己的教育教學(xué)理念，認(rèn)真對待每一節(jié)數(shù)學(xué)課，針對不同的教學(xué)內(nèi)容選取適當(dāng)教學(xué)方法，針對不同層次的學(xué)生，采用不同的教學(xué)策略來提高學(xué)生思維能力。

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