例說(shuō)軸對(duì)稱在解題中的妙用

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注意把握軸對(duì)稱在解題中的妙用，它能夠使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，使我們的思路豁然開(kāi)朗。

【關(guān)鍵詞】軸對(duì)稱 解題 妙用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）10-0119-02

軸對(duì)稱的圖案，外在美體現(xiàn)在整齊、美觀，內(nèi)在美體現(xiàn)在性質(zhì)的間接、實(shí)用，尤其是關(guān)于最值作圖、求多角和、構(gòu)造全等形、解三角形、尋找符合條件的圖形個(gè)數(shù)等問(wèn)題，面對(duì)條件散、隱含條件深的難題，如果運(yùn)用軸對(duì)稱的觀點(diǎn)去觀察、尋找、構(gòu)造，可以使我們的思路豁然開(kāi)朗，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：

一、作對(duì)稱點(diǎn)，求最小值

問(wèn)題1.如圖已知：∠AOB=30°，點(diǎn)C是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，OC=4cm，（1）請(qǐng)?jiān)贠A邊上找一點(diǎn)G、在OB邊上找一點(diǎn)H，連接CG、CH，使得△CGH的周長(zhǎng)最小，并求其最小值。

解析：要使△CGH的周長(zhǎng)最小，考慮作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D、點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)E、連接DE，分別交OA、OB于點(diǎn)G、H，連接CG、CH，則△CGH的周長(zhǎng)最小。

因?yàn)辄c(diǎn)C、點(diǎn)D關(guān)于OA對(duì)稱，所以O(shè)A垂直平分CD，因此想到連接OD，得到OC=OD、CG=DG、∠COG=∠DOG，同理，連接OE，得到OC=OE，CH=EH、∠COH=∠EOH，結(jié)合條件∠AOB=30°，OC=4cm，容易證明△DOE是等邊三角形，邊長(zhǎng)為4cm，因此△CGH的周長(zhǎng)=CG+GH+CH=DG+GH+HE=DE=4cm。

說(shuō)明：關(guān)于最小值的計(jì)算或作圖問(wèn)題，常運(yùn)用軸對(duì)稱的觀點(diǎn)尋找或者作已知點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)，用軸對(duì)稱的性質(zhì)，使問(wèn)題獲解。

二、找對(duì)稱角，求多角和

問(wèn)題2.已知4×4正方形網(wǎng)格中，各角如圖所示，求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)。

解析：在如圖所示的正方形圖案中，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，得到：∠4=∠7、∠5=∠8、∠6=∠9，因此，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠1+∠2+∠3+∠7+∠8+∠9=3×90°=270°

說(shuō)明：在成軸對(duì)稱的圖案中，利用軸對(duì)稱性質(zhì)可以得到很多相等的量，對(duì)于解決問(wèn)題大有幫助。

三、找對(duì)稱點(diǎn)，造全等形

問(wèn)題3.如圖已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)O關(guān)于三邊AB、BC、CA的對(duì)稱點(diǎn)分別是D、E、F三點(diǎn)，求∠D+∠E+∠F的度數(shù)。

解析：要求∠D+∠E+∠F的度數(shù)，考慮到三個(gè)角比較分散，因此想到通過(guò)尋找等角將三個(gè)角集中，因?yàn)辄c(diǎn)O關(guān)于三邊AB、BC、CA的對(duì)稱點(diǎn)分別是D、E、F三點(diǎn)，想到連接OA、OB、OC，由對(duì)稱性知：△OAB≌△DAB、△OBC≌△EBC、△OAC≌△FAC、于是∠D=∠AOB、∠E=∠BOC、∠F=∠AOC，所以∠D+∠E+∠F=∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°.

說(shuō)明：如果題目中的已知條件或結(jié)論中的量比較分散，且有對(duì)稱點(diǎn)這一條件時(shí)，常利用軸對(duì)稱構(gòu)造全等形，從而將分散的條件或結(jié)論加以集中，讓隱含的條件暴露出來(lái)，從而順利解決問(wèn)題。

四、用軸對(duì)稱，解三角形

問(wèn)題4.小王站在河岸邊B觀看空中一個(gè)氣球C的仰角是45°，觀看它在水中的像D的俯角是60°，如果小王的眼睛A到水平面的距離AB是1.6 m，求氣球距離水平面的高度。（精確到0.1m）

解析：要求氣球距離水平面的高度，需解直角三角形，因此，作AE⊥CD，垂足是點(diǎn)E，作BF⊥CD于點(diǎn)F，得到EF=AB=1.6m，根據(jù)平面鏡成像的軸對(duì)稱性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)題目中隱含的等量關(guān)系有：

說(shuō)明：有關(guān)平面鏡成像問(wèn)題，要考慮軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到相等的線段或相等的角這些隱含的等量關(guān)系。

五、用對(duì)稱性，找適合條件點(diǎn)的個(gè)數(shù)

問(wèn)題5.如圖已知正方形ABCD，在正方形內(nèi)確定一點(diǎn)，使得這一點(diǎn)與正方形的四個(gè)頂點(diǎn)相連，得到的四個(gè)三角形都是等腰三角形，像這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？

解析：因?yàn)檎叫渭仁禽S對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，容易發(fā)現(xiàn)兩條對(duì)角線的交點(diǎn)O符合題目的條件；另外當(dāng)AD是等腰三角形的底時(shí)，符合條件的點(diǎn)必在AD邊的垂直平分線上，當(dāng)△BCE是等邊三角形時(shí)，則△ADE、△ABE、△CDE均為等腰三角形，這樣容易找到符合條件的點(diǎn)E.根據(jù)對(duì)稱性能迅速找出點(diǎn)F、G、H都符合該題條件，所以在正方形內(nèi)部符合條件的點(diǎn)共有5個(gè)。

說(shuō)明：如果在軸對(duì)稱圖形中確定符合某條件的點(diǎn)時(shí)，常根據(jù)圖形的對(duì)稱性使問(wèn)題迅速得到解決。

作者簡(jiǎn)介：

劉長(zhǎng)良（1962.9-），男，山東省蒙陰縣垛莊鎮(zhèn)人，畢業(yè)于臨沂師專數(shù)學(xué)教育專業(yè)，本科學(xué)歷，中學(xué)副高級(jí)教師。