利用數學模型巧解初中物理電學中的極值問題

西北師范大學第二附屬中學(730070)

范勝邦●

利用數學模型巧解初中物理電學中的極值問題

西北師范大學第二附屬中學(730070)

范勝邦●

針對初中學生在求解物理電學中的極值問題時出現(xiàn)的“一聽就懂，一做就錯”現(xiàn)象，本文以相對較難的初中電學極值問題為例，提出了一種利用數學模型的方法巧解初中物理電學中的極值問題，讓學生體會如何通過物理公式建立數學模型，達到應用數學方法解決物理問題的目的.

數學模型；物理電學；極值；應用

本文提出了一種利用數學模型的方法巧解初中物理電學中的極值問題，以相對較難的初中電學極值問題為例，通過教學一方面讓學生深入理解數學在實際中的應用，培養(yǎng)學生較高的數學應用能力，同時也讓學生體會如何通過物理公式建立數學模型，用數學方法解決用物理方法無法解決的物理問題，認識到數學方法在解決物理問題中的重要性.

初中電學求極值問題例析

1.利用基本不等式或二次函數求電功率的極值

例1 如圖1所示，一標有“50Ω1A”字樣的滑動變阻器R1與一個20Ω的定值電阻R2串聯(lián)，接在一個電壓為12V的穩(wěn)壓電源上，求滑動變阻器接入電路的阻值為多大時它消耗的功率最大？最大功率是多少？

解析 在電源電壓和定值電阻R2不變的情況下，隨著R1電阻的增大，通過它的電流減小，但它兩端的電壓會增大，根據P=UI，學生很難確定什么時候它的功率最大，更無法求出它的最大功率.此時，數學方法就凸顯優(yōu)勢.根據自變量設定的不同，可用兩種數學模型求解這道題.

解法一 基本不等式(a-b)2≥0的拓展應用設滑動變阻器接入電路的電阻為Rx，則電路中的電流為I=U/

解法二 二次函數的極值

設電路中的電流為I，則R2兩端的電壓為U2=IR2，根據串聯(lián)電路的電壓關系，R1兩端的電壓為U=U-U2=U-IR2.則R1消耗的電功率為P1=U1I=(U-IR2)I=I2R2+UI.因為-R2<0，所以當I=-U/2(-R2)=U/(2R2)=12V/(220Ω)=0.3A時，P1最大.P1m=R2I2+UI=-20Ω×(0.3A)2+12V×0.3A=1.8W.

此時，滑動變阻器的電阻為R1=U/I-R2=12V/0.3A-20Ω=20Ω .

點撥 在滑動變阻器跟一個定值電阻串聯(lián)的電路中，當滑動變阻器的電阻跟定值電阻的阻值相等時，滑動變阻器消耗的電功率最大.同時，比較這兩種方法，基本不等式法在八年級就有所涉及，學生能夠理解，但過程比較復雜.而二次函數在九年級數學中才涉及到，對新課教學過程的學生來講難度較大，但過程相對簡單，在數學知識學完后能夠更好地理解.

2.利用函數定義域和值域求電流的極值

例2 如圖2所示，已知定值電阻R1=10Ω，R2=20Ω，電源電壓恒定.開關S1閉合、S2斷開時電流表的示數為0.3A，試判斷開關S1斷開、S2閉合時電流表的示數.

解析 當開關S1斷開、S2閉合時R2和R0串聯(lián)，由于定值電阻R0未知，電源電壓未知，因此，電流表的示數是無法準確計算的.這對很多初中學生來講，分析到這個地方就進行不下去了，是一道難度較大的電學極值求解問題.實際上，在電源電壓不變的情況下，電流表的示數顯然與R2和R0的取值有關，R2是已知的；R0作為一個定值電阻，其取值范圍為0

當開關S1閉合、S2斷開時，電流表的示數為0.3A，則電源電壓為U=I1(R1+R0)=0.3A×(10Ω+R0).當開關S1斷開、S2閉合時，R2和R0串聯(lián)，電流表的示數為I2=U/(R2+R0)=0.3A×(10Ω+R0)/(20Ω+R0).其中0

點撥 從題型上來講，屬于電學中最常見的開關引起電路變化的題目，解題時應抓住電源電壓和定值電阻R0不變，把變化前后聯(lián)系起來，用已知量和不變量把待求量表示出來，就會建立起相應的數學函數模型求解極值問題.

3.利用一元二次方程有實數解的條件求電功率的極值

例3 如圖3所示，是小勇設計的某電器設備的部分電路.電源電壓9V保持不變，燈泡L標有“8V4W”字樣，電流表的量程為0～3A，電壓表的量程為0～15V，滑動變阻器R2的最大阻值為20Ω.閉合開關S和S1時，電路消耗的功率為4.05W，小燈泡L的電阻是16Ω，開關S、S1、S2都閉合時，通過電流表的最小電流是0.9A.(不計燈絲電阻隨溫度的變化)求：在不超過電表量程和燈泡額定電壓的條件下，只閉合開關S2時滑動變阻器R2的電功率變化范圍.

要使式(14)中的RX有實數解，需滿足條件：

解得：PX≤1.27W.

所以滑動變阻器R2的電功率變化范圍是：0.5W≤PX≤1.27W.

點撥 求解極值的解題方法不是唯一的，如果要求不高，也可以直接采用例1的方法，當滑動變阻器的電阻跟燈泡的電阻相等時，滑動變阻器的功率最大求解.

綜合以上幾道例題的解法，我們可以體會到建立數學模型，運用數學方法解決電學極值問題時邏輯嚴密，學生容易理解，比單純的利用物理方法分析有說服力.但這種方法對學生的數學能力要求較高，需要教師多次訓練和示范，學生才能逐漸體會并掌握，因此教師要善于捕捉這樣的機會，對學生進行數學能力的訓練，同時也讓這方面有特長的同學體驗成功的喜悅，激發(fā)學習和創(chuàng)新的興趣.

[1]2015年第11期 總第379期 教育論壇

[2]程敏. 初中生應具備的數學能力及評價方法[J]. 新校園(中旬), 2015, 11:31.

[3]葛付平. 初中電學中的極值問題[J]. 數理化解題研究(初中版), 2014, 09:43-44.

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1008-0333(2017)08-0072-02