勾股數(shù)及其活動課教學(xué)研究

江蘇省揚州市竹西中學(xué)(225000)

宋 揚●

勾股數(shù)及其活動課教學(xué)研究

江蘇省揚州市竹西中學(xué)(225000)

宋 揚●

勾股定理是數(shù)學(xué)的一個很重要的定理，在人類的文明史中有著杰出的貢獻，由勾股定理引出的“勾股數(shù)”也因此嶄露頭角，繼而聲名遠揚．本文在文【1】的基礎(chǔ)上作了修改、補充和拓展，并運用到數(shù)學(xué)綜合與實踐的教學(xué)活動中，引發(fā)了同學(xué)們極大的興趣，取得了令人滿意的教學(xué)效果．現(xiàn)將活動課的內(nèi)容和教學(xué)要點展示如下，主要是闡明了勾股數(shù)的三種計算公式的由來、產(chǎn)生過程及其內(nèi)在聯(lián)系，用幾種不同的方法探尋勾股數(shù)的規(guī)律，并形成各種各樣的勾股數(shù)表達式．同時，明確回答了文【1】和文【2】中相關(guān)內(nèi)容提出的疑難問題，而且有所增強，從理論上和活動課教學(xué)實踐上都作了較為充分的研究．

數(shù)學(xué)活動課；勾股數(shù)；勾股數(shù)計算公式；勾股數(shù)表達式；勾股數(shù)的性質(zhì)；活動創(chuàng)新

一、課題：探尋勾股數(shù)的規(guī)律

二、事前準(zhǔn)備：

1．自備計算器一臺．

2．熟悉勾股數(shù)的基本概念．

3．了解并初步掌握古代數(shù)學(xué)家給出的勾股數(shù)計算公式．

三、活動內(nèi)容和實施過程

1．從任一大于1的奇數(shù)出發(fā)，尋求一組勾股數(shù)中的另兩個數(shù)

設(shè)a為大于1的奇數(shù)，(a，b，c)為一組勾股數(shù)，填表：

表1

(1)在表1中，b和c之間的數(shù)量關(guān)系是____；b、c與a2之間的關(guān)系式是____．根據(jù)以上規(guī)律，寫出勾股數(shù)(19，____，____)；(75，____，____)．

(2)一般地，從a=2n+1(n∈Z+)出發(fā)，請你推導(dǎo)出計算勾股數(shù)的一組公式．

2．從任一大于2的偶數(shù)出發(fā)，尋求一組勾股數(shù)中的另兩個數(shù)

設(shè)a為大于2的偶數(shù)，(a，b，c)為一組勾股數(shù)，填表：

(1)在表2中，b和c之間的數(shù)量關(guān)系是____；b、c與a2之間的關(guān)系式是____．根據(jù)以上規(guī)律，寫出勾股數(shù)(18，____，____)；(40，____，____)．

(2)一般地，從a=2n(n∈Z+，n>1) 出發(fā)，請你推導(dǎo)出計算勾股數(shù)的一組公式．

3．嘗試從乘法公式入手探索構(gòu)造勾股數(shù)的方法

構(gòu)造勾股數(shù)，就是要尋找三個正整數(shù)，使它們滿足( )2+( )2=( )2的形式．

(1)聯(lián)想到乘法公式，顯然有(x-y)2+4xy=(x+y)2，從這個恒等式出發(fā)，請你推導(dǎo)出計算勾股數(shù)的一組公式．

提示：為了使等式左邊的4xy也能寫成( )2的形式，可令x=m2,y=n2(m,n∈Z+，且m>n)．

(2)根據(jù)上述探索得到的勾股數(shù)表達式，構(gòu)建下列表格，并填寫勾股數(shù)，你一定能有所發(fā)現(xiàn)．

表3

mnm2-n22mnm2+n2213141516171

(3)觀察勾股數(shù)：3，4，5；…；16，63，65；20，99，101；…(*)這里的每組勾股數(shù)中都有兩個數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，你能借助3.(1)中推導(dǎo)出的勾股數(shù)計算公式，探索并構(gòu)造這樣的勾股數(shù)嗎？請試一試．

提示：可先構(gòu)建下列表格并填寫，然后推導(dǎo)出與(*)相應(yīng)的勾股數(shù)表達式(計算公式)．

表5

表6

四、活動創(chuàng)新素材

1．探討勾股數(shù)的三種計算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系

(1)畢達哥拉斯給出的計算公式：

(2)古希臘哲學(xué)家柏拉圖給出的計算公式：

n2-1，2n，n2+1.(n∈Z+，n>1)②

(3)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖給出的計算公式：

m2-n2，2mn，m2+n2.(m,n∈Z+，m>n)③

2．一位數(shù)學(xué)家在他找到的勾股數(shù)表達式中，用2n2+2n+1(n∈Z+)表示勾股數(shù)中最大的一個數(shù)，請你找出另兩個數(shù)的表達式．

3．如果用2n2+2n+1(n∈Z+)表示勾股數(shù)(表達式)中最小的一個數(shù)，你能找出另外兩個數(shù)的表達式嗎？

4．觀察勾股數(shù)6，8，10；10，24，26；…；22，120，122；26，168，170；… 這里的每組勾股數(shù)中都有兩個數(shù)是連續(xù)的偶數(shù)，你能借助1．③探索并求出相應(yīng)的勾股數(shù)表達式嗎？

5．設(shè) 2n(n∈Z+，n≥2)是勾股數(shù)組中的一個數(shù)，但不是最大的一個，試尋求勾股數(shù)組中的另兩個數(shù)．

(1)當(dāng)n=2，3，4，5，6時，請分別求出含有2n的所有勾股數(shù)組；

(2)當(dāng)n=k時，含有2k的全部勾股數(shù)組有什么規(guī)律？

6．如圖1，已知四邊形ABCD是長方形，AC為對角線．

圖1 圖2

如圖2，ABCD-A1B1C1D1是長方體．圖1中的線段AB、BC、AC分別對應(yīng)圖2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1．設(shè)這三個面的面積分別為α、β、γ，試問α、β、γ是否滿足勾股定理？為什么？α、β、γ是不是一組勾股數(shù)？又為什么？

7．是否存在這樣的3個非零的整數(shù)a、b、c，使得a3+b3=c3成立？你能進行一番探索嗎？試一試．

五、部分答案或析解

活動1．(1)c=b+1；b+c=a2；180，181；2812，2813．

(2)解法一：a=2n+1，根據(jù)(1)中的兩個關(guān)系式，有2b+1=a2=(2n+1)2,得b=2n2+2n，c=2n2+2n+1．

解法二：由c=b+1和勾股數(shù)定義，有(2n+1)2+b2=(b+1)2，

得b=2n2+2n，c=2n2+2n+1．

(3)從填表結(jié)果可以看到，表5和表6實際上是完全相同的，這說明勾股數(shù)表達式

也可由直接進行理論推導(dǎo)而得到：設(shè)勾股數(shù)中兩個連續(xù)的奇數(shù)為2m-1和2m+1，則顯然有(2m+1)2-(2m-1)2=8m，令m=2n2，有(4n2+1)2-(4n2-1)2=(4n)2,故所求勾股數(shù)表達式(計算公式)為(4n2-1，4n，4n2+1)(n∈Z+)．

活動創(chuàng)新1．①是③當(dāng)m=n+1時的特殊情形．用集合的觀點看，把每一組勾股數(shù)看作一個元素，則由①表示的集合是由③表示的集合的子集．類似地，②也是③的特殊情形，集合②也是集合③的子集．

即(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2．故所求為2n+1和2n2+2n．

(1)當(dāng)n=2時，求得1組勾股數(shù)：(4，3，5)．

當(dāng)n=3時，求得2組勾股數(shù)：(8，17，15)，(8，10，6)．

當(dāng)n=4時，求得3組勾股數(shù)：(16，65，63)，(16，34，30)，(16，20，12)．

當(dāng)n=5時，求得4組勾股數(shù)：(32，257，255)，(32，130，126)，(32，68，60)，(32，40，24)．

當(dāng)n=6時，求得5組勾股數(shù)：(64，1025，1023)，(64，1014，1010)，(64，260，252)，(64，136，120)，(64，80，48)．

(2)當(dāng)n=k時，可求得k-1組含有2k的勾股數(shù)．能否寫出一般的勾股數(shù)表達式？留作練習(xí)．

當(dāng)2n為勾股數(shù)組中最大的一個數(shù)時，能否求出另外兩個數(shù)？也留作練習(xí)．

6．α、β、γ滿足勾股定理．證：設(shè)AB=a，BC=b，AC=c，BB1=h，則可推得α2+β2=γ2．但α，β，γ不一定是勾股數(shù)，因為α，β，γ未必都是整數(shù)．

7．先了解一下著名的費馬最后定理：“對于任何自然數(shù)n(n>2)，方程xn+yn=zn關(guān)于x，y，z無正整數(shù)解”．根據(jù)費馬最后定理，方程x3+y3=z3沒有正整數(shù)解．以下分三種情形討論：

(ⅰ)當(dāng)a、b都為正整數(shù)時，由關(guān)系式a3+b3=c3知，c也為正整數(shù)，這與費馬最后定理相矛盾．

(ⅱ)當(dāng)a、b都為負(fù)整數(shù)時，由關(guān)系式知，c必為負(fù)整數(shù)．設(shè)a=-u，b=-v，c=-w，則有 (-u)3+(-v)3=(-w)3，從而有u3+v3=w3(其中u、v、w都是正整數(shù))，這也與費馬最后定理相矛盾．

(ⅲ)當(dāng)a、b中有一個為負(fù)整數(shù)時，不妨設(shè)a為正整數(shù)，b為負(fù)整數(shù)，設(shè)b=-v，則有a3+(-v)3=c3，若a>v，則c>0，從而有c3+v3=a3(其中c、v、a都是正整數(shù))，這仍然與費馬最后定理相矛盾；若a

綜上所述，不存在這樣的非零整數(shù)a、b、c，使得a3+b3=c3成立．

六、勾股數(shù)的基本概念

1．勾股數(shù)的定義

定義1．直角三角形三條邊的長a、b、c如果都是整數(shù)，則稱a，b，c為一組勾股數(shù)．

定義2．滿足關(guān)系式a2+b2=c2的3個正整數(shù)a，b，c稱為一組勾股數(shù)，記為(a，b，c)．例如(3，4，5)就是一組最簡單的勾股數(shù)．

定義3．方程x2+y2=z2的任一正整數(shù)解(a，b，c)，稱為一組勾股數(shù)．

顯然，上述三個定義是等價的．

2．勾股數(shù)的性質(zhì)

(1)勾股數(shù)中的三個數(shù)不可能全是奇數(shù)．

(2)勾股數(shù)中的三個數(shù)只有下列兩種類型：要么三個全是偶數(shù)，要么只有一個偶數(shù)．

思路點睛：根據(jù)定義2，等式兩邊必須同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，即可證得．

(3)滿足關(guān)系式a2-b2=c2的3個正整數(shù)a，b，c，是一組勾股數(shù)．

(4)若(a，b，c)是勾股數(shù)，則(ka，kb，kc)(k∈Z+)也是勾股數(shù)．

(5)勾股數(shù)有無數(shù)組．

(6)對大于2的任何一個整數(shù)，都可以找到至少一組勾股數(shù)．

(7)如果一組勾股數(shù)中兩個較大的數(shù)相差1，那么這兩個數(shù)的和就是第三個數(shù)的平方．

(8)如果兩個較大的數(shù)相差2，那么這兩個數(shù)中間所夾的整數(shù)是第三個數(shù)的一半的平方．

(9)任一勾股數(shù)表達式都不能覆蓋所有的勾股數(shù)．例如，勾股數(shù)表達式

(m2-n2，2mn，m2+n2)(m,n∈Z+且m>n)盡管可表示無數(shù)組勾股數(shù)，但不能表示所有的勾股數(shù)，比如，勾股數(shù)(9，12，15)就不能由該表達式算出．

七、本次活動課教學(xué)要領(lǐng)

1．認(rèn)真籌劃好活動課事前準(zhǔn)備工作．可提前3～5天印發(fā)活動課預(yù)習(xí)單，明確預(yù)習(xí)要求，讓全班每個同學(xué)都有所準(zhǔn)備．

2．預(yù)習(xí)單上的主要內(nèi)容有(1)勾股數(shù)的概念：定義和幾個有趣的性質(zhì)；(2)古代數(shù)學(xué)家給出的計算勾股數(shù)的三個公式，要求學(xué)生根據(jù)勾股數(shù)定義分別加以驗證；(3)活動1和活動2的內(nèi)容，包括觀察表中數(shù)字的規(guī)律、填表、填空等．這樣，可為活動課大容量教學(xué)贏得許多時間．

3．充分發(fā)揮數(shù)學(xué)興趣小組的助手、先行和引領(lǐng)作用．興趣小組成員可適當(dāng)分工，每2～3人領(lǐng)一個專題(比如，對勾股數(shù)某個性質(zhì)的論證)或一項活動內(nèi)容，各自做好重點準(zhǔn)備，以確?；顒诱n順暢進行．

4．利用板報、墻報或數(shù)學(xué)之窗(數(shù)學(xué)角)，分階段公布活動課相關(guān)內(nèi)容，緊密配合活動課的開展．

5．教學(xué)方式主要是引導(dǎo)、探究式．采用頂層設(shè)計、分項實施，逐步引導(dǎo)、共同探究，舉一反三、層層遞進，最終到達目標(biāo)．老師指點少而精，及時、準(zhǔn)確到位，并運用好多媒體教學(xué)手段，及時展現(xiàn)當(dāng)前所要解決的問題、解決的過程和結(jié)果．讓同學(xué)們自主探究、分組討論的時間既緊湊又充分．

6．對具體的勾股數(shù)，讓同學(xué)們適時使用計算器進行演算，幫助探尋規(guī)律，以節(jié)省時間．

7．與本次活動課鏈接的課本基礎(chǔ)知識有：勾股定理、代數(shù)式、乘法公式、恒等變形、方程(組)、不定方程及正整數(shù)解、集合、簡單的推理論證等．

8．活動創(chuàng)新素材的收集、整理待課后完成．可發(fā)動全班同學(xué)每人收集1～2項，經(jīng)匯總、整理、去重、甄別、修訂后，印發(fā)補充講義，實現(xiàn)成果共享，擴大教學(xué)效應(yīng)．

實踐又一次表明，數(shù)學(xué)活動課的教學(xué)豐富多彩、成效顯著，探究性學(xué)習(xí)越來越展現(xiàn)出強大的生命力．?dāng)?shù)學(xué)新課標(biāo)已經(jīng)為我們照亮了勝利前進的航程，乘風(fēng)破浪、勇敢向前，就一定能夠到達理想的境界．

[1]《數(shù)學(xué)綜合與實踐活動》編寫組. 勾股數(shù)的探索，數(shù)學(xué)綜合與實踐活動(八年級上冊).南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2010．

[2]楊裕前，董林偉．勾股定理，數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書(八年級上冊)．南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2016．

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