四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的幾種情況

安徽省太湖縣寺前初級(jí)中學(xué)(246400)

吉 興●

四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的幾種情況

安徽省太湖縣寺前初級(jí)中學(xué)(246400)

吉 興●

本文針對(duì)四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的不同情況，給出相應(yīng)的求解方法，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義.

動(dòng)點(diǎn)；最值；形狀；函數(shù)

一、動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)產(chǎn)生的最值問(wèn)題

最值問(wèn)題一直與動(dòng)點(diǎn)有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，在四邊形中動(dòng)點(diǎn)的引入為最值問(wèn)題提供了良好的背景，此類題多以特殊的四邊形為主，我們要掌握四邊形的相關(guān)知識(shí)才能解答.學(xué)生在解決此類問(wèn)題時(shí)要注意找出動(dòng)點(diǎn)的特殊位置進(jìn)行求解.

例1 如圖所示，四邊形ABCD是菱形，BD=6，AC=8.對(duì)角線AC上存在一動(dòng)點(diǎn)P，AB、BC的中點(diǎn)分別為E、F，求PE+PF的最小值.

解析 這是典型的兩點(diǎn)在直線同側(cè)求線段和最小值的問(wèn)題，學(xué)生應(yīng)該對(duì)于此類問(wèn)題的求解方法較為熟悉，就是將同側(cè)的點(diǎn)變?yōu)楫悅?cè)，然后根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)判斷出只有三點(diǎn)在同一直線時(shí)和最小.故作F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F′，此點(diǎn)也為CD的中點(diǎn)，連接EF′，交AC于點(diǎn)P，此時(shí)EF′就是線段和的最小值.由于四邊形ABCD為菱形，所以存在EB平行且等于CF′.故四邊形EBCF′為平行四邊形，EF′=BC.由菱形對(duì)角線互相垂直可求出BC=5.故PE+PF最小值為5.

本題中不光是對(duì)于求最值問(wèn)題方法的考察，對(duì)菱形性質(zhì)的檢驗(yàn)也體現(xiàn)的很到位.我們要對(duì)題目有充分的認(rèn)識(shí)，看到題中所提到的圖形，我們就應(yīng)該在腦海中浮現(xiàn)出該圖形的各種性質(zhì)，這就需要學(xué)生對(duì)于知識(shí)反復(fù)記憶并使用.

二、由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)圖形形狀判定

點(diǎn)的移動(dòng)必然會(huì)帶來(lái)圖形形狀的變化，在初中數(shù)學(xué)平面幾何部分學(xué)到的特殊四邊形有可能在變化出現(xiàn)，出題者正是抓住了這點(diǎn)，經(jīng)過(guò)反復(fù)推敲就出現(xiàn)了此類問(wèn)題.學(xué)生要熟記特殊四邊形的證明方法才能正確解答.

例2 點(diǎn)O為如圖所示的△ABC中AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)點(diǎn)E、F分別為MN與∠ACB的平分線及∠ACB的外角平分線的交點(diǎn).

(1)四邊形AECF為矩形時(shí)O點(diǎn)的位置，說(shuō)明理由；

(2)四邊形AECF是正方形時(shí)點(diǎn)O的位置以及△ABC滿足的條件，說(shuō)明理由.

解析 分析兩問(wèn)，對(duì)于正方形的證明是建立在四邊形為矩形的基礎(chǔ)上的，我們只要證明出何時(shí)為矩形，就能使問(wèn)題得以解決.由題中提到的角平分線可知∠ECF=90°，故我們只需證明何時(shí)為平行四邊形就可以了.動(dòng)點(diǎn)的好處在于點(diǎn)O可以出現(xiàn)在AC上的任意位置，平行四邊形的性質(zhì)就是對(duì)角線互相平分.所以在證明出O為EF的中點(diǎn)后問(wèn)題就得證了.由直線MN∥BC及角平分線可知，∠OEC=∠OCE，∠FCO=∠CFO，因此有EO=CO=OF.當(dāng)O為AC中點(diǎn)時(shí)四邊形AECF為矩形.而在(2)問(wèn)中，只需要討論△ABC應(yīng)滿足的條件就可以.在滿足矩形的條件下要證明圖形為正方形，一種方法是證明鄰邊相等，一種是對(duì)角線互相垂直.顯然在此題中證明角是很簡(jiǎn)單的，即當(dāng)∠ACB為直角時(shí)滿足對(duì)角線垂直.

此題中對(duì)于動(dòng)點(diǎn)的討論更為深入，將幾何證明問(wèn)題與動(dòng)點(diǎn)的結(jié)合更加考驗(yàn)學(xué)生的邏輯思維能力.在解決此類問(wèn)題時(shí)我們可以運(yùn)用逆向思維，先根據(jù)要證明的圖形的性質(zhì)確定動(dòng)點(diǎn)位置，再進(jìn)行后續(xù)過(guò)程的證明.

三、與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的函數(shù)關(guān)系

前面兩種情況介紹的都是更加注重于幾何圖形的證明，而此類問(wèn)題將函數(shù)與平面幾何相結(jié)合著重考查的是學(xué)生的計(jì)算能力.這就需要學(xué)生將函數(shù)知識(shí)與幾何圖形聯(lián)系在一起，在增加出題多樣性的同時(shí)也檢驗(yàn)了學(xué)生的綜合能力.

例3 如圖所示，有一四邊形OABC是矩形，線段BC上存在一動(dòng)點(diǎn)D(不與端點(diǎn)B、C重合)，直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)D與折線OAB相交于點(diǎn)E.點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0)，(0,1).記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式.

解析 題中已經(jīng)很明確地給出點(diǎn)E在折線OAB上，相當(dāng)于提醒我們情況有兩種，一種是E在OA上，另一種是E在AB上.針對(duì)第一種情況我們只需求出OE的長(zhǎng)以及高即可，是較為簡(jiǎn)單的.第二種情況，我們就不能再通過(guò)底乘以高來(lái)求了，因?yàn)榍筮@兩個(gè)的過(guò)程繁瑣，計(jì)算量也很大.這時(shí)我們就可以利用矩形面積減掉幾個(gè)直角三角形的面積來(lái)求.先通過(guò)極限情況確定在不同直線上b的取值范圍，再按照上述思路求解.當(dāng)直線過(guò)A點(diǎn)時(shí)，求出b=3/2.當(dāng)直線過(guò)B點(diǎn)時(shí)，b=5/2.直線過(guò)C點(diǎn)時(shí)，b=1.如下面兩圖所示(1)當(dāng)E在OA上時(shí)，即1

本題中以分類討論的思想為前提，結(jié)合三角形面積的計(jì)算以及范圍的選取進(jìn)行完整的解答.數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用讓我們更好地對(duì)第二種情況進(jìn)行求解.多種數(shù)學(xué)方法以及技巧的應(yīng)用組成了解此題的要點(diǎn)，值得我們深入分析討論.

縱觀全文，三種不同情況的介紹也展示了四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的多樣出題思路.學(xué)生在解決此類問(wèn)題時(shí)必須要熟練掌握幾何證明、函數(shù)求解、圖形性質(zhì)等多方面知識(shí)，運(yùn)用邏輯思維能力將它們聯(lián)系在一起綜合運(yùn)用，求出正確答案.

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1008-0333(2017)08-0037-01