都是“無(wú)形”惹的禍

何建文

[摘 要] 圖形的存在對(duì)學(xué)生解決問題大有幫助，但也往往限制了學(xué)生的思維，一道“無(wú)形”習(xí)題的大面積錯(cuò)誤反映了存在的問題和不足，暴露了平常教學(xué)的缺陷，對(duì)話解題過程，層層分析，發(fā)現(xiàn)背后是學(xué)生各種能力的缺失和數(shù)學(xué)思想方法的缺乏，反思以改進(jìn)教學(xué)，慎畫幾何圖形，以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的態(tài)度.

[關(guān)鍵詞] 幾何圖形；習(xí)慣思維；科學(xué)態(tài)度；數(shù)學(xué)思想

錯(cuò)誤反映了存在的問題和不足，分析錯(cuò)誤，反思，有利于改進(jìn)教學(xué). 一道平行四邊形習(xí)題大面積的錯(cuò)誤，兩個(gè)班級(jí)都只有少數(shù)學(xué)生做出完整、正確的解答，如此高的出錯(cuò)率讓原本平常的習(xí)題顯得非比尋常，不僅是班級(jí)里一些優(yōu)秀生出現(xiàn)錯(cuò)誤，甚至個(gè)別老師也在不經(jīng)意間出現(xiàn)錯(cuò)誤. 課后對(duì)話學(xué)生，再現(xiàn)解題過程，了解答題情況，才發(fā)現(xiàn)學(xué)生是在不經(jīng)意間自然發(fā)生了錯(cuò)誤，根本就沒有察覺；在沒有對(duì)話的班級(jí)重新解答還是出現(xiàn)同樣的錯(cuò)誤. 為什么會(huì)有這樣的錯(cuò)誤？都是“無(wú)形”惹的禍，為此，引起了筆者的思考.

試題呈現(xiàn) （2013·杭州拱墅區(qū)一模）在面積為12的平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)A作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)F，若AB=4，BC=6，則CE+CF的值為______.

參考解答 因?yàn)轭}目沒有給出可用的圖形，只有具體數(shù)據(jù)，所以先畫圖.

情形1：如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，交BC邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. 由平行四邊形的面積為12，AB=4，BC=6，得AE=2，AF=3. 在Rt△ABE中，

學(xué)生的典型錯(cuò)誤

因?yàn)槿狈χ庇^性，因此基礎(chǔ)差的學(xué)生無(wú)從下手，能解答的學(xué)生則先畫圖.

典型錯(cuò)誤1 如圖3所示，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥DC于點(diǎn)F，由平行四邊形ABCD的面積為12和AB=4，BC=6，得

典型錯(cuò)誤2 畫圖，作平行四邊形ABCD，如圖4所示，過點(diǎn)A作AE⊥BC，

與學(xué)生對(duì)話，還原解題過程

師：題目中的條件都理解了嗎？你能整合嗎？有沒有需要特別留意的細(xì)節(jié)？

生1：基本上都理解了，就是平行四邊形，已知面積和兩邊長(zhǎng)，求兩條線段的和，好像沒有需要特別留意的地方.

師：通過審題，理解題意，獲得信息后，你想到了哪些與平行四邊形有關(guān)的知識(shí)？

生2：想到了平行四邊形的性質(zhì)，兩組對(duì)邊分別相等，兩組對(duì)邊分別平行，平行四邊形的面積計(jì)算公式，面積等于底乘高.

師：還想到了哪些知識(shí)和方法？

生3：勾股定理，平行四邊形高線的畫法，類似三角形高線畫法.

師：你是否想到與解題有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法？

生4：我根本沒想到什么數(shù)學(xué)思想方法，看完題目我就無(wú)從下手.

生5：我想到了數(shù)形結(jié)合思想，要解本題，首先應(yīng)該畫圖.

師：是否聯(lián)想到鈍角三角形中高線的畫法？

生5：沒有，只是感覺平行四邊形的高與一般銳角三角形的高線相似，根本就沒聯(lián)想到鈍角三角形高線的畫法.

師：是否考慮過題目中的數(shù)值對(duì)具體圖形形狀的影響？也就是說(shuō)，圖形可能因數(shù)值而具有一些特殊的性質(zhì)，如角的度數(shù)等.

生6：沒有想到. 一直以來(lái)題目中的數(shù)值，只是用來(lái)參與計(jì)算的，只會(huì)對(duì)最終的結(jié)果有影響，從來(lái)沒有碰到會(huì)對(duì)題目所涉及的圖形有影響，進(jìn)而影響題目的答案.

師：對(duì)具體數(shù)值的大小，你都有具體、直觀的印象和感受嗎？能感知、把握它的相對(duì)大小嗎？

生7：老師，這與解答本題有關(guān)系嗎？數(shù)值就是個(gè)值，還要感知、把握相對(duì)大??？

（對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生一臉茫然，基本都不理解，認(rèn)為這與解答本題根本就沒有關(guān)系）

師：平常在輔助解題的畫圖中是否都有固定的傾向和習(xí)慣？如標(biāo)頂點(diǎn)字母的順序都是固定不變的，角的位置、度數(shù)的大小等都是通常的方向、一般正常的大小，很少做其他的嘗試，也不會(huì)根據(jù)具體的題目考慮具體的圖形？

生8：平時(shí)作圖習(xí)慣一般都是固定的，標(biāo)字母都基本是同一個(gè)方向，如順時(shí)針，很少會(huì)有變化；角度一般也都是“中規(guī)中矩”，不會(huì)過大也不會(huì)過小，角的位置一般都是平的，不會(huì)有傾斜，除非題目中有明顯的要求和提示.

生9：我平常解題畫圖中，標(biāo)字母一般都是從圖形的左下角開始，按逆時(shí)針的方向，這次正好歪打正著，∠A標(biāo)在銳角的位置（如圖4），因此得到一個(gè)正確答案，對(duì)了一半.

師：解題進(jìn)程中是否隨著解題的進(jìn)度而隨時(shí)調(diào)整解題的思路和方向，并隨著解題進(jìn)程邊反思邊調(diào)整，而不是一成不變？

生10：解題平常都是開始解答前思考，想出來(lái)之后，就開始解答，而不會(huì)邊解答邊反思、調(diào)整思路，基本上都是不會(huì)變的.

師：通過以上對(duì)話，你覺得自己的解答錯(cuò)誤在哪里？

生11：審題沒有注意細(xì)節(jié)，圖形可能還有其他的情形，再說(shuō)解答的那種情形，圖形中垂足的位置也不對(duì)，應(yīng)該在平行四邊形的外面，我根本就沒注意3與4的大小關(guān)系.

學(xué)生似乎慢慢認(rèn)識(shí)到了自己的錯(cuò)誤.

錯(cuò)誤原因分析

這是一題難度并不是很大的習(xí)題，主要考查平行四邊形的性質(zhì)、平行四邊形面積計(jì)算方法、勾股定理、作圖能力、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等知識(shí)方法，所涉及的計(jì)算量并不復(fù)雜，對(duì)作圖能力的考查也不是很難，為什么會(huì)有如此高的錯(cuò)誤率？是“無(wú)心”？是知識(shí)掌握有缺陷？還是平常的教學(xué)存在問題所致？下面從教與學(xué)的角度進(jìn)行分析.

1. 審題不細(xì)，理解不透

學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤首先是非知識(shí)性的，審題不清，沒有注意細(xì)節(jié)，題目中“過點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)A作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)F”，很多學(xué)生都沒注意“直線”這個(gè)細(xì)節(jié)，于是出現(xiàn)在作圖中只有平行四邊形的邊，而邊只是線段，這就決定了垂足的位置“理所當(dāng)然”在線段上，這種情況也是平常在教學(xué)和練習(xí)中出現(xiàn)最多的情形. 而本題，至少有一個(gè)垂足在線段的延長(zhǎng)線上，即“直線”上，因?yàn)榈谝徊經(jīng)]有審清，學(xué)生開始滑向錯(cuò)誤的“深淵”. 如果學(xué)生能注意“直線”這一細(xì)節(jié)，明確過點(diǎn)A作直線CD的垂線，就是過點(diǎn)A作對(duì)邊CD所在直線的垂線，那么垂足就有可能不在線段CD上，而在線段CD的延長(zhǎng)線（或反向延長(zhǎng)線）上，從而能避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.

2. 受習(xí)慣思維的影響

已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)都會(huì)影響人們對(duì)事物的思維方式，習(xí)慣是一種因循式的思維形式. 與四邊形知識(shí)緊密聯(lián)系的是三角形的有關(guān)知識(shí)，對(duì)題中凸顯的過平行四邊形的頂點(diǎn)A作直線BC的垂線，學(xué)生受已有一般銳角三角形高線畫法的習(xí)慣思維影響（如圖5），而畫出如圖3所示的圖形，使得垂足點(diǎn)F在線段CD上，而對(duì)于需要突破習(xí)慣思維的鈍角三角形BC邊上高線的畫法（如圖6），則根本聯(lián)想不到，從而自然得出CF=CD-DF，導(dǎo)致錯(cuò)誤，此其一. 其二，很多學(xué)生包括一些教師在輔助解題畫圖時(shí)，標(biāo)識(shí)字母的順序受習(xí)慣思維的影響，都基本一成不變，如四邊形或平行四邊形都基本從圖形的左上角開始，按逆時(shí)針方向來(lái)標(biāo)識(shí)（如圖7），很少有變動(dòng)，如果能稍作改變或作多種嘗試，如在本題中，把字母A標(biāo)識(shí)在左下角，就能作出如圖4所示的圖形，也不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，就像那個(gè)唯一碰巧做對(duì)的學(xué)生那樣，也能得到一個(gè)正確答案. 另外，如果能不受習(xí)慣思維的影響，作圖時(shí)把角度做多種嘗試，銳角、鈍角都試試，圖形橫畫、豎畫或稍微傾斜，也不會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤. 正是受習(xí)慣思維的影響，促成了這樣的錯(cuò)誤.

3. 數(shù)學(xué)思想方法的缺乏

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是解決問題的核心. 一部分基礎(chǔ)弱的學(xué)生拿到問題就無(wú)從入手，這是缺乏幾何直觀性的表現(xiàn)，同時(shí)也暴露出數(shù)形結(jié)合思想的缺乏. 如果頭腦里有數(shù)形結(jié)合思想，就自然會(huì)畫圖，開始問題的解決. 另外，畫出一種情形的圖形后，如果有分類討論的思想，就會(huì)嘗試去畫不同形狀的平行四邊形，比如那位碰巧答對(duì)一半的學(xué)生，如果能按∠A是銳角、∠A是鈍角進(jìn)行分類討論，或許能解答正確，不會(huì)遺漏另一種情況，出現(xiàn)失誤.

4. 數(shù)感及調(diào)控能力的缺失

數(shù)感是人對(duì)于數(shù)及其運(yùn)算的一般理解和感受，將實(shí)際問題與數(shù)聯(lián)系起來(lái)，形成數(shù)物對(duì)應(yīng)的思想，數(shù)感就是主動(dòng)地、自覺地感知數(shù)、理解數(shù)的意識(shí). 在學(xué)生的解題過程中，當(dāng)畫出如圖3所示的圖形時(shí)，沒有意識(shí)到AE=2，AB=4，直角邊恰好是斜邊的一半，因此Rt△ABE中AE邊所對(duì)的角∠B應(yīng)是30°，而圖3中，∠B則遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于30°，這正是缺少數(shù)感的體現(xiàn). 解題繼續(xù)進(jìn)行，當(dāng)求得CF=CD-DF=4-3時(shí)，如果學(xué)生具有良好的數(shù)感，能感知、把握數(shù)的相對(duì)大小，DF=3已經(jīng)大于邊CD的長(zhǎng)，求得的CF=4-3已經(jīng)是個(gè)負(fù)數(shù)，也不會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤. 另外，由于學(xué)生解題調(diào)控能力的缺失，而沒有及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，當(dāng)學(xué)生求得DF=3，沒有發(fā)現(xiàn)DF大于CD，就不會(huì)想到“過點(diǎn)A作直線CD的垂線，垂足為點(diǎn)F”，點(diǎn)F的位置已經(jīng)不在線段CD上，而應(yīng)在DC的延長(zhǎng)線上，才在所畫錯(cuò)誤的垂線基礎(chǔ)上繼續(xù)解答，最終導(dǎo)致錯(cuò)誤.

教學(xué)思考與建議

縱觀整個(gè)解題過程，這樣的錯(cuò)誤并非朝夕形成，很多單元測(cè)試和一些重要的考試，學(xué)生感覺良好，但結(jié)果往往出乎意料，很多都是源于這樣“無(wú)形”的錯(cuò)誤. 如何避免這樣的錯(cuò)誤？教學(xué)需要從點(diǎn)滴做起.

1. 加強(qiáng)審題訓(xùn)練. 在理解題意基礎(chǔ)上捕捉問題細(xì)節(jié)，進(jìn)行信息的提取和整合，把握關(guān)鍵字、詞所蘊(yùn)含的信息，如“直線”包含“線段所在直線”的含義，同時(shí)把一些抽象的、看不見的、隱含的條件轉(zhuǎn)化為具體的、形象的、直觀條件，如有必要，可以借助圖表、模型等直觀表示出來(lái)，以全面理解問題.

2. 注重培養(yǎng)思維靈活性. 在問題的解決過程中，不從固定的角度、方位去思考，使自己的思維形成習(xí)慣，落入俗套. 對(duì)于形象的畫圖，要經(jīng)常嘗試從正面、側(cè)面、順時(shí)針、逆時(shí)針、上下、左右等相反方向進(jìn)行探討，對(duì)不確定的角，特殊的等腰、直角三角形要從各種類型進(jìn)行考慮，是否具有多種可能性，讓學(xué)生放開眼界，認(rèn)識(shí)全面，這樣就會(huì)突破習(xí)慣思維.

3. 加強(qiáng)思想方法滲透. 數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)的精髓，它是策略性的知識(shí)，對(duì)解決問題起著關(guān)鍵的指導(dǎo)作用. 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想不僅使問題變得更加簡(jiǎn)單自然，還能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，更加直觀地理解問題. 而應(yīng)用分類討論思想，則能夠讓學(xué)生考慮問題更加全面，思維更廣、更深刻，從而使問題解決更有實(shí)效.

在幾何教學(xué)中，我們常利用幾何圖形啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生分析幾何圖形的特點(diǎn)，從而建立幾何概念，理解幾何定理，并應(yīng)用它們解決相關(guān)問題. 畫出幾何圖形在幾何教學(xué)中起著重要的作用，此題的關(guān)鍵是給出的圖形決定了其結(jié)果的正確性. 慎畫幾何圖形，能培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，這也是數(shù)學(xué)教師的一項(xiàng)基本功！