一道幾何題的多種解法

湖南省郴州市北湖區(qū)郴州市九中(423000) 李林強(qiáng) ●

一道幾何題的多種解法

湖南省郴州市北湖區(qū)郴州市九中(423000) 李林強(qiáng) ●

一、原題呈現(xiàn)

如圖1、四邊形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，AD= DC=5，AB=7，BC=1，則BD=___．

二、解法展示

解法1 如圖2，連接AC，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥BD，垂足于H點(diǎn)．因?yàn)椤螦BC=∠CDA=90°，所以，A、B、C、D四點(diǎn)共圓;又因?yàn)锳D=DC=5，所以∠CAD=∠DCA=45°，所以△ACD是等腰直角三角形，所以∠CBD=∠CAD=45°．又因?yàn)锽C=1，所以．在Rt△CDH中，CD=5，所△BCH是等腰直角三角形．所以由勾股定理可得:

解法2 如圖3，把△DBC繞D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得△DC'A．因?yàn)锳D=CD=5，∠ADC=∠ABC=90°，所以∠ADC+∠ABC=90°，所以∠BCD+∠BAD=180°，由旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性可知:∠BCD=∠DAC'，BD=DC'．BC=AC' =1，所以∠BAD+∠DAC=180°，所以B、A、C'三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，所以BC'=8，△BDC'是等腰直角三角形，BD=

解法3 如圖4，分別延長(zhǎng)AB、DC，兩延長(zhǎng)線(xiàn)交于E點(diǎn)．設(shè)BE=a，CE=b，過(guò)B點(diǎn)作BH⊥DE，垂足于H點(diǎn)．因?yàn)椤螦DC=∠ABC=90°，所以∠A+∠DCB=180°．又因?yàn)椤螧CD+∠BCE=180°，所以∠A=∠BCE．又因?yàn)椤螮=∠E，所以△EBC∽△EDA，所以，即，所以5a=5+b①．在Rt△ADE中，有AD=CD=5，AB=7，由勾股定理得:AD2+DE2=AE2，即(a+7)2=52+(5+b)2②．把①式代入②式解得(舍去)．所以b=由可得．在Dt△BCH中，在Dt△BDH中，BD=

解法5 如圖5，在四邊形ABCD外部構(gòu)造矩形ADEF．設(shè)CE=a，BE=b，那么BF=5－b，AF=5+a．由△AFB∽△BEC可得，即

在Rt△BDE中，

總之，這是一道好題，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析問(wèn)題能力，所求問(wèn)題轉(zhuǎn)換圖形的轉(zhuǎn)換的思考很有益．一題多解的自然產(chǎn)生，基于扎實(shí)的數(shù)學(xué)思想、準(zhǔn)確的切入點(diǎn)、教學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換、一定的解決方法和解題技巧．建立教學(xué)模型，達(dá)到舉一反三的效果．

復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通俗易懂，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有時(shí)圖形轉(zhuǎn)換能力要求較高，但解法的確來(lái)源于學(xué)生，對(duì)于不會(huì)做的通過(guò)講解，很容易接受，因此也屬于較自然的解法．

［1］文東．明晰本質(zhì)，自然構(gòu)造［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:中旬，2016(3):35－36

［2］王忠剛．一題多法的產(chǎn)生力求自然［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:中旬，2016(3):40－42

G632

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1008－0333(2016)32－0025－01