一道綜合題中面積問題的四種解法

廣東省深圳市龍崗區(qū)龍崗中學(xué)(518116) 熊 猛 ●

一道綜合題中面積問題的四種解法

廣東省深圳市龍崗區(qū)龍崗中學(xué)(518116) 熊 猛 ●

采用點(diǎn)的整體設(shè)元，利用面積割補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算，或利用鉛錘高面積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或利用平行線間的距離處處相等，進(jìn)行三角形面積轉(zhuǎn)移，或利用點(diǎn)到直線的距離公式求高，再直接用三角形面積公式解決問題．

綜合題;面積問題;解法

∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x－3)，

∴ a(0－3)(0+1)=－3，∴a=－1，即y=x2－2x－3=(x－1)2－4．

(2)方法1:過點(diǎn)D作EF∥x軸，作PE⊥EF于點(diǎn)E，

BF⊥EF于點(diǎn)F．設(shè)P(m，m2－2m－3)．

由(1)知，D(1，－4)，B(3，0)．

整理，得m2－4m－12=0，解得，m1=－2，m2=6(舍去)．∴P(－2，5)．

說明:本方法采用點(diǎn)的整體設(shè)元P(m，m2－2m－3)，再利用面積割補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算，即 S△PBD=S梯形PEFB－S△PEDS△DBF，這是進(jìn)行面積轉(zhuǎn)換最常用方法．

方法2:設(shè)P(m，m2－2m－3)，由(1)知，D(1，－4)，B(3，0)．設(shè)直線PD: y = kx + b， 則解得

整理，得m2－4m－12=0．以下略．

說明:本方法運(yùn)用求出直線PD與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用鉛錘高面積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

方法3:設(shè)P(m，m2－2m－3)，由(1)知，D(1，－4)，B (3，0)．∴直線BD:y=2x－6．

過點(diǎn)P作PE∥BD，交y軸于E，則S△PBD=S△BED．

設(shè)直線PE:y=2x+h，則有:2m+h=m2－2m－3，h= m2－4m－3，即直線PE:y=2x+m2－4m－3，則E(0，m2－4m－3)．過點(diǎn)D作DF⊥y軸于F，則有:DF=1，OF=4，EF=a2－2a－3+4=a2－2a+1．

整理，得m2－4m－12=0．以下略．

說明:本方法利用平行線間的距離處處相等，將△PBD的面積轉(zhuǎn)化為△EBD的面積，再通過割補(bǔ)法進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解．

方法4:設(shè)P(m，m2－2m－3)，由(1)知，D(1，－4)，B (3，0)．

∴直線BD:y=2x－6．

∴ 點(diǎn)P(m，m2－2m－3)到直線2x－y－6=0的距離為:

即m2－4m+3=15或m2－4m+3=－15(無解)．

解得，m1=－2，m2=6(舍去)．

∴P(－2，5)．

說明:本題利用了高中數(shù)學(xué)知識(shí)——點(diǎn)到直線的距離公式，再直接用三角形面積公式解決問題．

以上幾種解法具有一定的通法指導(dǎo)意義，在解決有關(guān)面積問題的題目時(shí)，均可借鑒這些方法求解．

G632

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1008－0333(2017)02－0021－01