利用對(duì)稱求解最值的一種方法
——從“將軍飲馬”說(shuō)起

福建省泉州第五中學(xué)(362100) 楊蒼洲 ●

利用對(duì)稱求解最值的一種方法
——從“將軍飲馬”說(shuō)起

福建省泉州第五中學(xué)(362100) 楊蒼洲 ●

有這樣一個(gè)傳說(shuō):古希臘有一位名叫海倫的學(xué)者，有一天，一位將軍向他請(qǐng)教了一個(gè)問題:從A地出發(fā)到河邊MN去飲馬，然后再回到駐地B．問怎樣選擇飲馬地點(diǎn)，才能使路程最短?如何確定飲馬的地點(diǎn)?提起路線最短的問題，大家知道:連結(jié)兩點(diǎn)之間所有線中，最短的是線段．一位學(xué)者曾幽默地說(shuō)，這一點(diǎn)連狗都知道．狗搶骨頭吃時(shí)，決不會(huì)迂回前進(jìn)，而是徑直向骨頭撲去．但是，這個(gè)題中馬走的是一條折線．這又該怎么辦呢?

問題轉(zhuǎn)化為:在直線MN的同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，試在直線MN上確定一點(diǎn)D使得AD+BD取得最小值?

解決方案:作點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'，連結(jié)AB'，交直線MN于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為所求點(diǎn)．因?yàn)锽D=B'D，∴AD+BD=AD+ B'D=AB'．而選擇直線MN上的任何其他點(diǎn)，如E點(diǎn)，則路程AE+BE=AE+B'E＞AB'，所以點(diǎn)D即為所求點(diǎn)．

這是利用對(duì)稱求解最值的一種方法——我們?？偨Y(jié)為“同側(cè)和最小”．下面我們就此方法的應(yīng)用舉例說(shuō)明．

一、在坐標(biāo)系中考查

___在坐標(biāo)系中，幾種常見對(duì)稱點(diǎn)的求法我們必須掌握好:

對(duì)稱軸 x軸 y軸 直線y=x 直線y=－x P x0，y ()0 P1(x0，－y0) P2(－x0，y0) P3(y0，x0) P4(－y0，－x0)

掌握了上述幾種特殊的對(duì)稱后，我們就能熟練地求解點(diǎn)關(guān)于某特殊直線相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)，再利用對(duì)稱的性質(zhì)判斷出取得最小值時(shí)所在的位置．而在求解此最小值時(shí)，往往可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解．

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有兩點(diǎn)P ( －1，1)，是x軸上任意一點(diǎn)，則PM+QM的最小值是

解析 作P ( －1，1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn) P'(－1，－1)，連接P'Q交x軸于點(diǎn)M，則PM= P'M，∴PM+QM=P'M+QM =P'Q，此時(shí)PM+QM取得最小值。最 小 值 為 P'Q=

二、在平面圖形中考查

在平面圖形中構(gòu)造對(duì)稱，并判斷出最值位置后，需注意平面圖形的幾何性質(zhì)，如圓的對(duì)稱性、直角三角形的性質(zhì)等，進(jìn)而應(yīng)用平面圖形的幾何性質(zhì)求解出相應(yīng)的最值．

例2 已知:AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)C是半圓的三等分點(diǎn)，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PC，PD，則PC+PD的最小值是多少?并畫出點(diǎn)P的位置．

解析 作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，則 C'在圓上．∵點(diǎn) C是半圓的三等分點(diǎn)，則∠COB=60°，∠DOC'=90°，∴PC+PD=PC'+PD=C'D=，所以PC+PD的最小值為

三、以構(gòu)造法進(jìn)行考查

解析 如圖作AR=x，AP=2，BR=8－x，BQ=4，，于是問題轉(zhuǎn)化為:在直線AB上求一點(diǎn)R，使它到P、Q兩點(diǎn)的距離和PR+QR最?。鱍關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接PQ'交直線AB于點(diǎn)R，則QR=Q'R，∴PR+QR=PR+Q'R=PQ'，此時(shí)PR+QR取得最小值，最小值為

四、在函數(shù)圖象中考查

近年來(lái)的中考試題中，最值問題成為設(shè)計(jì)壓軸題的一種常見設(shè)問，它主要與其他知識(shí)進(jìn)行綜合，如以拋物線為背景的最值問題在中考中就十分搶眼．解決此類問題時(shí)，可類比于上述問題的解法，作出取得最小值時(shí)的點(diǎn)，然后結(jié)合幾何、函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行最值求解．

例5 定義一種變換:平移拋物線F1得到拋物線F2，使F2經(jīng)過(guò)F1的頂點(diǎn)A．設(shè)F2的對(duì)稱軸分別交F1、F2于點(diǎn)D、B，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)．

(1)如圖1，若F1:y=x2，經(jīng)過(guò)變換后，得到F2:y=x2+bx，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則①b的值等于___;②四邊形ABCD為( )．

A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

(2)如圖2，若F1:y=ax2+c，經(jīng)過(guò)變換后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，求△ABD的面積．

(2009浙江省紹興市數(shù)學(xué)中考試題)

解析 (1)－2，D;(2) SΔABD=2．

(3)①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)N，拋物線其 頂 點(diǎn) 為 A點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對(duì)稱，∴AC⊥BD，且AN=NC，∴四邊形ABCD是菱形，∴PD=PB．作PH⊥AD交AD于點(diǎn)H，則PD+PH=PB+PH．要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小．此最小值是點(diǎn)B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高故△ABD是等邊三角形最小值為當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，同理最小值為．

綜上述，點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為．

G632

B

1008－0333(2017)02－0037－02