關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性的一些探討

陸嘉瑋

摘 要： 函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)體系中位置毋庸置疑，歷年來高考也經(jīng)常從各個(gè)方面考函數(shù)的思想，其中函數(shù)的對(duì)稱性作為函數(shù)的重要性質(zhì)一直是考察的重點(diǎn)。本文將首先介紹一下什么是函數(shù)的對(duì)稱性，然后對(duì)不同函數(shù)對(duì)稱性進(jìn)行一些探討，最后通過例子驗(yàn)證函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：函數(shù) 對(duì)稱性 軸對(duì)稱 中心對(duì)稱

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2017）02-0127-01

前言

函數(shù)思想作為我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線，廣泛應(yīng)用于我們的解題過程中，對(duì)稱關(guān)系作為函數(shù)的一個(gè)主要性質(zhì)，往往可以幫助我們使問題更簡(jiǎn)捷的獲得解決。有調(diào)查表明：有80%以上的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性是有所了解的，但學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)中對(duì)稱性的認(rèn)識(shí)還大都是一種自發(fā)的狀態(tài)，處于潛意識(shí)的狀態(tài)，認(rèn)識(shí)比較簡(jiǎn)單，知識(shí)面很窄[1]?，F(xiàn)今高考命題日益新穎，變形較多，這種淺顯的認(rèn)知現(xiàn)狀使我們無法快速準(zhǔn)確的利用對(duì)稱性這一性質(zhì)進(jìn)行問題的解決。本文就這一現(xiàn)狀對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的一些性質(zhì)進(jìn)行了探討。

一、什么是函數(shù)的對(duì)稱性

所謂函數(shù)的對(duì)稱性一般體現(xiàn)在函數(shù)圖像上，我們常見的函數(shù)對(duì)稱性主要有兩種：1.函數(shù)軸對(duì)稱。如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的軸對(duì)稱，該直線稱為該函數(shù)的對(duì)稱軸。2.函數(shù)中心對(duì)稱。如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的中心對(duì)稱，該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對(duì)稱中心。

二、不同函數(shù)對(duì)稱性匯總

高中階段我們接觸的函數(shù)類型眾多，不同函數(shù)因?yàn)闃?gòu)成的不同所具有的對(duì)稱性質(zhì)也不盡相同。下面就對(duì)我們高中學(xué)習(xí)過程中涉及到的幾類函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行一下匯總：

1.常數(shù)函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱函數(shù)，與該直線垂直的直線均是它的對(duì)稱軸，直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心。

2.一次函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱函數(shù)，與該直線垂直的直線均是它的對(duì)稱軸，直線上的所有點(diǎn)均為它的對(duì)稱中心。

3.二次函數(shù)：是軸對(duì)稱函數(shù)，而不是中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)稱軸方程式為x=-b/（2a）。

4.三次函數(shù)：三次函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱中心是原點(diǎn)，其他的三次函數(shù)是否具備對(duì)稱性需因題而異。

5.正弦函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱函數(shù)，其中（kπ，0）為其對(duì)稱中心，x=kπ+π/2為其對(duì)稱軸。由正弦函數(shù)變形而來的正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）同樣既是軸對(duì)稱也是中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)可以通過ωx+φ=kπ解出，縱坐標(biāo)依然為零；其對(duì)稱軸x可以通過ωx+φ=kπ+π/2解出。需要特別提一下，如果圖像向上或向下平移，對(duì)稱軸不會(huì)變，但對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)會(huì)跟著變化。

6.余弦函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱函數(shù)，其中x=kπ為其對(duì)稱軸，（kπ+π/2，0）為其對(duì)稱中心，其變形函數(shù)可參考正弦函數(shù)解法。

7.正切函數(shù)：是中心對(duì)稱函數(shù)，不是軸對(duì)稱函數(shù)，它的對(duì)稱中心為（kπ/2，0）；

8.反比例函數(shù)：既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱函數(shù)，它的對(duì)稱中心是原點(diǎn)，它的對(duì)稱軸為y=x和y=-x。

9.冪函數(shù)：冪函數(shù)中的奇函數(shù)很顯然是中心對(duì)稱函數(shù)，它的對(duì)稱中心是原點(diǎn)；冪函數(shù)中的偶函數(shù)則為軸對(duì)稱函數(shù)，它的對(duì)稱軸是y軸；而其他的冪函數(shù)不具備對(duì)稱性。

10.對(duì)號(hào)函數(shù)：是中心對(duì)稱函數(shù)，不是軸對(duì)稱函數(shù)，對(duì)號(hào)函數(shù)y=x+a/x（其中a>0）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)所以是中心對(duì)稱，它的對(duì)稱中心是原點(diǎn)；很多同學(xué)誤以為它的對(duì)稱軸是在最值處，但舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們畫“√”時(shí)不會(huì)把兩邊畫的一模一樣，這樣大家就好理解了。

11.絕對(duì)值函數(shù)：我們要說的絕對(duì)值函數(shù)主要是y=f（│x│）和y=│f（x）│這兩類。前者顯然是偶函數(shù)并且是軸對(duì)稱，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；后者是把x軸下方的圖像對(duì)稱到x軸的上方，是否仍然具備對(duì)稱性，沒有一個(gè)絕對(duì)的定論，例如y=│lnx│沒有對(duì)稱性，而y=│sinx│卻仍然為軸對(duì)稱函數(shù)。

12.指數(shù)函數(shù)：既不是軸對(duì)稱，也不是中心對(duì)稱；對(duì)數(shù)函數(shù)：既不是軸對(duì)稱，也不是中心對(duì)稱。

三、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用舉例

學(xué)習(xí)知識(shí)的目的是為了應(yīng)用，上面我已經(jīng)就我們高中階段經(jīng)常遇到的函數(shù)類型在對(duì)稱性上的一些規(guī)律進(jìn)行了總結(jié)，下面舉幾個(gè)例子來展示一下函數(shù)對(duì)稱性在具體解題中的應(yīng)用。

例1[2].設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f （x） = x，則f （7.5 ） = （ ）

A. 0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

解析：∵y = f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴其對(duì)稱中心為點(diǎn)（0，0）；

又∵f （x+2 ）= -f （x） = f （-x），即f （1+ x） = f （1-x）， ∴直線x = 1是y = f （x） 對(duì)稱軸，故y = f （x）是周期為2的周期函數(shù)；∴f （7.5 ） = f （8-0.5 ） = f （-0.5 ） = -f （0.5 ） =-0.5 ，故B選項(xiàng)為答案。

例2.函數(shù)y=4sin（2x-π/6）的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是（ ）

A.（π/12，0） B.（π/3，0） C.（-π/6，0） D.（π/6，0）

解析：三角函數(shù)的性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容，由正弦函數(shù)是中心對(duì)稱函數(shù)，且其對(duì)稱中心是（kπ，0）可知，令2x-π/6=kπ（k？？）得出的x值即為正弦函數(shù)中心對(duì)稱的橫坐標(biāo)，計(jì)算得x=kπ/2+π/12（k？？），取k=0時(shí)，x=π/12，故A選項(xiàng)為答案。

結(jié)論

對(duì)稱性是函數(shù)的一項(xiàng)基本性質(zhì)，不僅準(zhǔn)確詳細(xì)地刻畫了函數(shù)各部分之間的關(guān)系，同時(shí)利用對(duì)稱性也能巧妙解題[3]。作為一個(gè)高中生，本文簡(jiǎn)單的對(duì)函數(shù)對(duì)稱性進(jìn)行了一些論述，希望可以成為同學(xué)們解答相關(guān)問題的參考資料。

參考文獻(xiàn)

[1]王小杭. 高一學(xué)生函數(shù)對(duì)稱性的認(rèn)知研究[D].華東師范大學(xué)，2008.

[2]李紅偉. 函數(shù)對(duì)稱性的探究[J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2012，03：45-46.

[3]葛雯雯. 淺談函數(shù)教學(xué)中的對(duì)稱性問題[J]. 數(shù)理化解題研究，2016，30：31.