數(shù)學(xué)課例題功能的解析及其教學(xué)實(shí)施

劉靜

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。對例題的功能解析和例題的教學(xué)進(jìn)行了深刻的闡述，認(rèn)為可以通過“研讀教學(xué)內(nèi)容，確定目標(biāo)指向；明確例題功能，助力目標(biāo)落實(shí)；實(shí)施例題教學(xué)，凸顯例題功能”等步驟具體從應(yīng)用示范、深化理解、解題分析示范、數(shù)學(xué)表達(dá)示范、數(shù)學(xué)精神體驗(yàn)等方面解析例題功能，經(jīng)歷“理解題意、擬定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧反思”等過程實(shí)施例題教學(xué)。

數(shù)學(xué)例題例題功能例題教學(xué)一、數(shù)學(xué)課例題功能解析中的問題

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開例題教學(xué)。例題作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，它蘊(yùn)含的功能不可忽視。然而目前關(guān)于例題教學(xué)還存在著許多問題：

1.快餐。課堂容量過大，不講究細(xì)嚼慢咽，大口大口吞食“例題”。教師急于知識的灌輸，僅以學(xué)生“知道”為目的，對例題的答案過分追求，忽視過程，寄希望于重復(fù)的機(jī)械操練。因此學(xué)生在“知道”后又被迫于大量做題，憑借自己有限的解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行簡單重復(fù)的解題實(shí)踐，超量訓(xùn)練讓學(xué)生也學(xué)會(huì)了“快餐式”學(xué)習(xí)，惡性循環(huán)，致使學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)很重且學(xué)習(xí)效率低。

2.割裂。忽視數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法的聯(lián)系性。教師在進(jìn)行例題教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，只顧眼前，有意或無意地割裂了數(shù)學(xué)知識，致使學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識或方法失去生命力，體系紊亂。

3.包辦。忽視學(xué)生的主體地位。在例題教學(xué)時(shí)，教師以自己的經(jīng)驗(yàn)替代學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，將自己對例題的認(rèn)識強(qiáng)加與學(xué)生，在過程中，以例題分析時(shí)替代學(xué)生理解、概括，使例題教學(xué)無效。

如何發(fā)揮例題教學(xué)的最大效能，已成為當(dāng)今促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的一個(gè)至關(guān)重要的問題。筆者對數(shù)學(xué)例題教學(xué)試圖尋求一種操作可行、有效的例題教育功能解析和教學(xué)方法。

二、例題的功能解析概念界定

例題的功能具有“學(xué)術(shù)”和“教育”雙重性。就“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)本身而言，它具有本體的數(shù)學(xué)功能，就“教育形態(tài)”的數(shù)學(xué)教學(xué)而言，它具有介質(zhì)的教育功能，是幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程和幫助學(xué)生提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感、態(tài)度和價(jià)值觀的介質(zhì)。學(xué)生通過例題學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)舉一反三，聯(lián)系或深化知識，推廣方法，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn)。例題功能的解析就是具體分析例題及其教學(xué)在相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容中的知識、方法、經(jīng)驗(yàn)，情感上對教學(xué)目標(biāo)達(dá)成所起到的作用。通過相對準(zhǔn)確的“例題的功能解析”，利于指導(dǎo)例題教學(xué)，提高教學(xué)效益。

三、例題的功能解析及教學(xué)的實(shí)踐

例題教學(xué)從例題的功能解析開始。下面以浙教版教材七年級上冊《6.8余角和補(bǔ)角》節(jié)例1為例具體說明如何解析例題的功能、如何開展例題教學(xué)。

（一）研讀教學(xué)內(nèi)容，確定目標(biāo)指向

首先，從教材看。本章內(nèi)容是初中幾何的開始，也是從圖形簡單認(rèn)識到深入研究的一次飛躍，是后續(xù)知識的基礎(chǔ)；本章從現(xiàn)實(shí)世界抽象出幾何圖形開始，再具體地呈現(xiàn)線段、直線、射線和角的概念、表示法和畫法以及線段和差、角的和差、直線關(guān)系等，本節(jié)內(nèi)容涉及余角和補(bǔ)角的概念和性質(zhì)。就數(shù)學(xué)體系而言，（1）概念體系：角的概念是通過射線來建立的，余角、補(bǔ)角則在角的和差概念基礎(chǔ)上生成，而角的和差涉及數(shù)與形的統(tǒng)一，后續(xù)教材中大量存在數(shù)形統(tǒng)一轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行計(jì)算證明的內(nèi)容。（2）公理化體系：本章是演繹表述的開始。

其次，分析本節(jié)課期望達(dá)到的廣度和深度。通過上述對這節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行分析，可以認(rèn)識到平面幾何知識板塊之間的相互聯(lián)系，進(jìn)一步可以明確：余角、補(bǔ)角的學(xué)習(xí)，需要讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)與形的統(tǒng)一，通過數(shù)形轉(zhuǎn)化可以進(jìn)行說理計(jì)算，得到讓人信服的結(jié)果；同時(shí)要讓學(xué)生體驗(yàn)到“怎樣說明，才讓人信服”。也就是后續(xù)的演繹證明。

再次，確定教學(xué)目標(biāo)。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于注重課程目標(biāo)整體實(shí)現(xiàn)的要求，每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)都可以具體化，有些隱性有些顯性，有些則是長期教學(xué)過程中的一個(gè)點(diǎn)，但這些目標(biāo)往往互相關(guān)聯(lián)。因此在確定目標(biāo)時(shí)重點(diǎn)應(yīng)明確，忌本末倒置?？梢跃C合課程標(biāo)準(zhǔn)，內(nèi)容分析，以及學(xué)生情況最終確定教學(xué)目標(biāo)。本章是初中階段的幾何起始內(nèi)容，學(xué)生對幾何概念學(xué)習(xí)和性質(zhì)探索比較陌生，尤其是說理的分析和表述。因此確定重點(diǎn)目標(biāo)是：（1）經(jīng)歷補(bǔ)角和余角概念的發(fā)生過程，認(rèn)識余角補(bǔ)角；（2）經(jīng)歷余角補(bǔ)角性質(zhì)的探索過程，理解并會(huì)應(yīng)用性質(zhì)；（3）體驗(yàn)說理的過程，積累說理表達(dá)的經(jīng)驗(yàn)。感悟數(shù)形結(jié)合思想。

（二）明確例題功能，助力目標(biāo)落實(shí)

七下教材第164頁《6.8余角和補(bǔ)角》例1：

如圖1，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠指出圖中還有哪些角相等，并說明理由。

根據(jù)所在例題章節(jié)內(nèi)容，圍繞教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合具體的例題內(nèi)容從例題的應(yīng)用示范、深化理解、解題分析示范、數(shù)學(xué)表達(dá)示范、數(shù)學(xué)精神體驗(yàn)等方面功能進(jìn)行解析。

1.知識應(yīng)用示范。教材編排時(shí)將這一例題在兩條性質(zhì)“同角或等角的余角相等”“同角或等角的補(bǔ)角相等”之后呈現(xiàn)。因此該例是對性質(zhì)“同角或等角的余角相等”的及時(shí)應(yīng)用。這里找到的角相等正是以“同角的余角相等”為依據(jù)的，通過在具體的問題中運(yùn)用這一性質(zhì)，使學(xué)生對知識的理解更具體、更深刻，達(dá)到落實(shí)本節(jié)課關(guān)于性質(zhì)的理解和應(yīng)用目標(biāo)的目的。

2.知識深化理解。該例還涉及本節(jié)課互余的概念，在新的情境中辨認(rèn)互余，鞏固對互余的認(rèn)識。條件中沒有直接給出互余的條件，而是以等價(jià)條件“∠AOC=∠BOD=Rt∠”間接告知，學(xué)生在審題時(shí)需要對條件進(jìn)行加工，這個(gè)過程是對本節(jié)課目標(biāo)“互余的認(rèn)識”的深化。

3.解題分析示范。例題要求尋找相等的角，并且說明理由，對于初學(xué)者來說并不簡單，這是幾何計(jì)算和證明初級階段，根據(jù)之前的分析可以知道，后面涉及了大量的問題需要學(xué)生有“如何分析一個(gè)問題”的經(jīng)驗(yàn)。綜合法和分析法是常用的分析方法，這里通過例題就可以給學(xué)生以“分析問題，形成思路”的過程性示范，以達(dá)到提升分析和解決問題能力、發(fā)展合情推理和演繹推理能力、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等目的。

4.數(shù)學(xué)表達(dá)示范。在學(xué)習(xí)分析，形成思路后，為了方便交流，需要有讓人看得明白并值得信賴的說理表達(dá)。這一例正是說理表達(dá)學(xué)習(xí)的開始，學(xué)生通過經(jīng)歷口頭說理，書面表達(dá)，示范參考等過程，不斷完善說理表達(dá)，為演繹證明打下基礎(chǔ)。因此該例可助力于學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)推理、清晰表達(dá)等目標(biāo)的落實(shí)。

5.數(shù)學(xué)精神體驗(yàn)。說理需要步步有據(jù)，通過找到相等的角后，再說說理由，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)生經(jīng)歷了例題從分析到解決的過程，就能體會(huì)到數(shù)學(xué)的這一特點(diǎn)，長期的體驗(yàn)，最終能促使他們形成科學(xué)的態(tài)度。通過對例題學(xué)習(xí)的回顧反思，讓學(xué)生體驗(yàn)反思的好處，示范“可以如何反思”，以落實(shí)關(guān)于“初步形成評價(jià)與反思意識”的課程目標(biāo)。

例題的功能解析形成需要教師先宏觀把握整體教學(xué)內(nèi)容，確定教學(xué)的具體目標(biāo)，再圍繞教學(xué)目標(biāo)從例題的應(yīng)用示范、深化理解、解題分析示范、數(shù)學(xué)表達(dá)示范、數(shù)學(xué)精神體驗(yàn)等方面功能進(jìn)行解析。

（三）實(shí)施例題教學(xué)，凸顯例題功能

對例題功能的解析目的在于更好的實(shí)施例題教學(xué)。筆者在實(shí)踐中進(jìn)行了一些嘗試，認(rèn)為例題教學(xué)可以圍繞波利亞《怎樣解題》的四個(gè)步驟展開。下面以上述例題作具體說明。在兩條性質(zhì)之后呈現(xiàn)例題的題目：

如圖1，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠指出圖中還有那些角相等，并說明理由。

1.理解題目：①學(xué)生審題，在圖形中標(biāo)注直角符號。②回溯（回到已有的知識方法或經(jīng)驗(yàn)）：問題是什么，對找相等的角，你有什么經(jīng)驗(yàn)？條件是什么？由條件可以獲得哪些結(jié)論？

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)再創(chuàng)造的過程，學(xué)生需要從他頭腦中調(diào)取已有的知識方法，進(jìn)行加工創(chuàng)造。因此在例題教學(xué)時(shí)，需要先喚醒那部分已有的知識方法或經(jīng)驗(yàn)，即例題回溯。在這個(gè)例題回溯中，教師是跳出例題本身，引導(dǎo)學(xué)生回憶以往找相等角的經(jīng)驗(yàn)（角平分線），以及從條件“∠AOC=∠BOD=Rt∠”獲得的結(jié)論回憶直角、互余等知識，使該例在“深化互余概念認(rèn)識”上的功能得以發(fā)揮。

2.擬定計(jì)劃：①說說回溯中的問題，同時(shí)教師板書學(xué)生說的“找角相等的經(jīng)驗(yàn)”“由條件得到的結(jié)論”。②你覺得你的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軒椭阍谶@里找到相等的角嗎？在由條件得到的結(jié)論中你對找相等的角有用嗎？

這里將回溯環(huán)節(jié)獲得的已有知識方法或經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行刪選加工，以縮小條件和結(jié)論的距離。在這個(gè)過程中學(xué)生需要激活剛剛獲得的性質(zhì)“同角的余角相等”，這正是條件和結(jié)論的連接點(diǎn)。通過上述引導(dǎo)自然地用“同角的余角相等”來連接例題的條件和結(jié)論，本例題在“知識應(yīng)用示范”和“解題分析示范”上的功能就得以發(fā)揮了。

3.執(zhí)行計(jì)劃：①你找到相等的角了嗎？你能說明理由嗎？說給同學(xué)聽一聽。②請學(xué)生口述，教師進(jìn)行規(guī)范的解題板書。

該例作為幾何說理的開始，通過學(xué)生自己說說，和同學(xué)說說，教師矯正并進(jìn)行仔細(xì)規(guī)范的板書示范，不斷完善學(xué)生的說理表達(dá)，發(fā)展數(shù)學(xué)表達(dá)能力，同時(shí)也體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。這一過程充分發(fā)揮了該例題在“數(shù)學(xué)表達(dá)示范”上的功能。

4.回顧反思。回顧整個(gè)例題解決的過程，這里用到了哪些知識？是怎么分析的？你對你的結(jié)論確信嗎？

解出例題不是教學(xué)的目的，例題作為現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，教材中更給出了答案。因此在解完一個(gè)題之后及時(shí)的回顧反思是非常必要的。上述對例題“用到了哪些知識”是對所學(xué)知識的一次回顧；“是怎么分析的？”是通過對解題過程的回顧再一次學(xué)習(xí)“如何解題”，積累分析問題的經(jīng)驗(yàn)；“你對你的結(jié)論確信嗎？”又是對演繹的一次認(rèn)識，對“怎么說理？”的更清晰的認(rèn)識。提升反思意識是本學(xué)段教學(xué)的目標(biāo)之一，該例題的教學(xué)在“數(shù)學(xué)精神體驗(yàn)”之“學(xué)習(xí)反思”上的功能就由上述環(huán)節(jié)體現(xiàn)，同時(shí)該回顧反思的過程還是例題“應(yīng)用示范、深化理解、解題分析示范、數(shù)學(xué)表達(dá)示范、數(shù)學(xué)精神體驗(yàn)”等方面功能的升華。值得說明的是反思的形式可以多樣化，如反思表、交流形式、教師點(diǎn)撥等，同時(shí)反思意識的培養(yǎng)需要一個(gè)長期持續(xù)的指導(dǎo)，因此在例題教學(xué)的反思環(huán)節(jié)應(yīng)該根據(jù)例題的功能結(jié)合不同的階段循序漸進(jìn)地進(jìn)行。

四、結(jié)束語

綜上所述，例題是教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分。作為數(shù)學(xué)教育的一線教師只有理解例題配置的目的，解析例題的功能才能有方向地進(jìn)行例題教學(xué)。在例題教學(xué)中可以從“研讀教學(xué)內(nèi)容，確定目標(biāo)指向”、“明確例題功能，助力目標(biāo)落實(shí)”、“實(shí)施例題教學(xué)，凸顯例題功能”三個(gè)步驟完成例題在“應(yīng)用示范、深化理解、解題分析示范、數(shù)學(xué)表達(dá)示范、數(shù)學(xué)精神體驗(yàn)”等方面的功能解析，經(jīng)歷“理解題意、擬定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧反思”等過程實(shí)施例題教學(xué)。例題的功能解析不僅可以幫助理解教材設(shè)置該例的目的，指導(dǎo)例題教學(xué)，也是例題改編或替換的依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

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