“構(gòu)造法”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王力強(qiáng)

摘要：高中階段的學(xué)習(xí)非常重要，要在短時間內(nèi)積累足夠多的知識才能更好的應(yīng)對“高考”。高中數(shù)學(xué)對于學(xué)生來說本身學(xué)習(xí)起來就很吃力，尤其是到了后期復(fù)習(xí)過程中，常規(guī)的數(shù)學(xué)思維方式很難順利求解一些數(shù)學(xué)題。因此，要善于引用新的方法來對求解高中數(shù)學(xué)題，構(gòu)造法是一種比較實(shí)用的解題解題方法，能夠幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)公式更加巧妙的結(jié)合起來，從而更加準(zhǔn)確更加有效率的解決數(shù)學(xué)難題。本文對“構(gòu)造法”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用展開分析，旨在提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)的針對性。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；構(gòu)造法；解題

G633.6

常規(guī)的解題思維就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題中已經(jīng)給出的條件，向結(jié)論方向進(jìn)行定向思考，然是目前很多數(shù)學(xué)難題通過常規(guī)的思考方法很難得出最后的正確的答案，尤其是某些數(shù)學(xué)難題在常規(guī)解題思路之下甚至?xí)翢o頭緒。這就和我們走路一樣，遇到障礙清除繼續(xù)行走是常規(guī)的思維方式，但是有些時候有些障礙沒有辦法清除，那么就需要一個新的方法進(jìn)行解決，才能更好的通行。面對無法用常規(guī)的解題方法進(jìn)行解題的情況時，我們可以嘗試新的思路，例如：構(gòu)造法，能夠幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)公式巧妙的結(jié)合起來從而尋求新的解題思路將數(shù)學(xué)題解決。

一、構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用基礎(chǔ)

目前，構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)難題中所展現(xiàn)出來的作用非常明顯，但是如果要熟練的使用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)難題，學(xué)生必須要有豐富的數(shù)學(xué)知識作為基礎(chǔ)，還有學(xué)生具有一定的觀察能力，形成一定的數(shù)學(xué)思維，能夠看出和挖掘出已知條件與結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)系。使用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)難題，還要求學(xué)生必須具備一定的綜合能力，能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)中的方程、幾何等等數(shù)學(xué)知識，同時還需要培養(yǎng)學(xué)生一定的創(chuàng)造能力，這樣是學(xué)會使用構(gòu)造法的關(guān)鍵之處。在利用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)難題時，可以發(fā)現(xiàn)題中有很對形式多樣的對象能夠用來進(jìn)行構(gòu)造，根據(jù)這些對象的特點(diǎn)將之劃分為圖形、方程、函數(shù)等等。還需要注意的是利用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)難題時，不能生搬硬套，其實(shí)我們需要先了解什么是構(gòu)造法，才能在實(shí)際解題的過程中更好的運(yùn)用構(gòu)造法。簡單來說，構(gòu)造法本身是沒有特定的套路的，這是一種非常靈活的解題方法，所謂構(gòu)造法重點(diǎn)在于怎么構(gòu)造，構(gòu)造沒有通用的法則，但是凡事都有一定的規(guī)律可循，構(gòu)造法也不例外。構(gòu)造法首先必須要明確構(gòu)造的目標(biāo)，其次就是要分析問題，掌握問題的特點(diǎn)，然后再根據(jù)具體的情況，明確構(gòu)造的方案，從而解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)難題。

二、構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中非常重要的知識，高中學(xué)生一般能夠?qū)瘮?shù)知識靈活運(yùn)用的話其實(shí)可以解決很多數(shù)學(xué)難題。若要靈活運(yùn)用，首先得掌握函數(shù)的基本特征，函數(shù)特征中含有的界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)形象、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)等等，這些特性都必須掌握才能在實(shí)際解題中靈活的運(yùn)用。通常我們在解決數(shù)學(xué)難題時，可以根據(jù)題目中已經(jīng)給出條件的特征與結(jié)論的特征，對函數(shù)的特性進(jìn)行靈活的使用，從而構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，將一些不等式證明等等問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的特征進(jìn)行分析，能夠?qū)⑺鈫栴}簡單化，還能一定程度上提升解題的效率和解題的準(zhǔn)確率。需要特別注意的是，利用構(gòu)造函數(shù)的方法解決數(shù)學(xué)問題有這些難點(diǎn)：第一，數(shù)學(xué)題多種多樣，如果要分辨出那種題型比較適合運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法來進(jìn)行解決，對于高中學(xué)生目前來說難度還是很大的。第二，使用構(gòu)造法本身具有較高的難度，學(xué)生具體使用過程中需要教師進(jìn)行引導(dǎo)。第三，解題過程中，哪一個階段要使用構(gòu)造法學(xué)生也很難分清楚，有些數(shù)學(xué)題一開始需要進(jìn)行構(gòu)造，還有一些數(shù)學(xué)題解到一半才需要構(gòu)造，這些客觀的因素也就體現(xiàn)了構(gòu)造法的難度。例如：已知a、b、c∈（0，1），求證a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）<1.分析：從題目來看，這道題的條件和結(jié)論有一定的對稱性，直接證明難度比較大，推薦采用構(gòu)造法，就能提高解題的效率。證明：通過構(gòu)造函數(shù)f（a）=（b+c-1）a+（bc-b-c+1）.因為b，c∈（0，1），所以f（0）=bc-b-c+1=（b-1）（c-1）>0，f（1）=（b+c-1）+（bc-b-c+1）=bc>0.而f（a）是一次函數(shù)，圖形是一條直線，因此，當(dāng)a∈（0，1）時，恒有f（a）>0，也就是（b+c-1）a+（bc-b-c+1）>0，整理之后得出：a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）<1。

三、構(gòu)造方程應(yīng)用

對于高中學(xué)生來說方程已經(jīng)不陌生，所謂方程就是含有未知數(shù)的等式，解方程就是求未知數(shù)的值，或者求未知數(shù)的表達(dá)式。實(shí)際解題過程中，我們知道很多數(shù)學(xué)問題當(dāng)中有很多未知的條件，為了更好的避免逆向思考，可以直接將方程式列出來，可以將未知數(shù)利用數(shù)學(xué)符號來進(jìn)行替代，從而列出等式，然后根據(jù)等式之間的關(guān)系來求未知數(shù)，這樣可以提高解題的效率，還能省去很多不必要的麻煩。高中很多數(shù)學(xué)題計算量比較大，而且未知量的數(shù)量增加與未知量之間的關(guān)系變化也是非常的復(fù)雜，如果利用常規(guī)的方式去解答很多時候?qū)W生感覺無從下手，但是通過分析題目中給出的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，構(gòu)造對應(yīng)的方程，不僅能夠讓問題更加簡單，還能開闊學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力與數(shù)學(xué)知識靈活運(yùn)用的能力。例如：（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，求證：m，n，x為等差數(shù)列。針對這道題如果直面思考，感覺很難下手，經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)這個等式與解方程式的 中的b2-4ac的格式是一樣的，正好就可以利用這個特征，構(gòu)造對應(yīng)的方程（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，設(shè)W=（m-n）2-4x（n-x）（x-m），w=0，所以構(gòu)造的方程兩個實(shí)數(shù)根是相等的，從而得知（n-x）+（m-n）+（x-m）=0，得知t=1，也得知另外一個根等于1，然后根據(jù)韋達(dá)定理，m+n=2x，由此解出m，x，n都是等差數(shù)列。

綜上所述，構(gòu)造法就有一定的創(chuàng)造性，將這種創(chuàng)造性思維融入到解題思維當(dāng)中，能夠解決更多數(shù)學(xué)難題。構(gòu)造法還可以運(yùn)用更多的數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，在實(shí)踐中不斷提高學(xué)生利用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)難題的能力。構(gòu)造法能夠發(fā)散學(xué)生的思維，讓學(xué)生對所掌握的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行融會貫通，一旦真正讓學(xué)生掌握了這種方法，筆者相信很多問題都能夠迎刃而解。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生使用構(gòu)造法的能力是值得深入研究的重要課題。

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