從“拓展性欄目”到數(shù)學(xué)文化

徐瑾

摘要：新課程基本理念指出：數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。本文通過人教版高中數(shù)學(xué)必修1中所配置的“章引言”、“閱讀與思考”、“探究與發(fā)現(xiàn)”、“實習(xí)作業(yè)”等學(xué)習(xí)內(nèi)容蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)文化知識，例舉高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中利用課本素材，挖掘蘊(yùn)藏在其中的豐富的數(shù)學(xué)文化資源，滲透數(shù)學(xué)文化教育的幾點(diǎn)想法。

關(guān)鍵詞：挖掘；素材；數(shù)學(xué)；文化

G633.6

新課程基本理念指出：數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。數(shù)學(xué)文化是人類傳播思想的一種基本方式。南開大學(xué)的顧沛教授認(rèn)為其內(nèi)涵有狹義和廣義之分。狹義內(nèi)涵是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及它們的形成和發(fā)展。廣義內(nèi)涵是指除上述內(nèi)涵以外，還包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美及數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)和文化的關(guān)系。

數(shù)學(xué)作為一種文化，是教學(xué)的重要內(nèi)容.有著它自己的豐厚的文化淵源。然而多少年來，在學(xué)生的心目中，數(shù)學(xué)就是為了考試而學(xué)、枯燥乏味。以往我們的數(shù)學(xué)教學(xué)都是強(qiáng)化知識，過分注重知識的傳遞，數(shù)學(xué)技巧的訓(xùn)練，過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的工具作用，而漠視數(shù)學(xué)本身所蘊(yùn)含的鮮活的文化背景，很少將其教學(xué)內(nèi)容當(dāng)作一種文化來對待。

隨著新課標(biāo)的頒布并實施，這種狀況已有很大的改變。新課標(biāo)明確指出數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，并把“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”作為新課程設(shè)計的基本理念。數(shù)學(xué)教育不僅僅是知識的傳授、能力的培養(yǎng)，更是一種文化精神的傳播，已逐步成為人們的一種共識。數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中體驗數(shù)學(xué)文化，受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的教育功能，更是引了起大家廣泛的關(guān)注。

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種主要的學(xué)習(xí)資源。人教版高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)含豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容。本文以人教版高中數(shù)學(xué)必修1為例，就高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中利用課本素材，挖掘蘊(yùn)藏在其中的豐富的數(shù)學(xué)文化資源，滲透數(shù)學(xué)文化教育談幾點(diǎn)想法。

一、從章引言，到數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)模型是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實問題深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識。這種應(yīng)用知識從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。

必修1第一章的章頭圖表現(xiàn)了運(yùn)載“神舟”五號載人航天飛船的火箭升空，以及“神舟”五號載人航天飛船進(jìn)入預(yù)定軌道后在太空飛行的場景。告訴學(xué)生其中包含了一些可以用函數(shù)描述的變化規(guī)律，如上升過程中飛船離地面的距離隨時間的變化而變化，飛船外的溫度和氣壓隨飛船與地面的距離的變化而變化，等等。引言中又介紹現(xiàn)實世界中的許多運(yùn)動變化現(xiàn)象都表現(xiàn)出變量間的依賴關(guān)系。數(shù)學(xué)上，我們用函數(shù)模型描述這種依賴關(guān)系，并通過研究函數(shù)的性質(zhì)了解它們的變化規(guī)律。我們在講課時要再作進(jìn)一步的講解，初步滲透數(shù)學(xué)建模的思想。

第二章章頭圖的主圖是海底游弋的魚，配圖是一塊魚化石。章引言不僅指出了章頭圖所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模型，并且還列舉了這些數(shù)學(xué)模型的其他背景實例，章頭圖與章引言還說明了數(shù)學(xué)模型與實際問題之間的關(guān)系--任何數(shù)學(xué)模型都是以大量的具體例子為現(xiàn)實原型的。這樣就給出了建模的基本方法，因此，教學(xué)時要充分注意從實際例子中觀察、抽象概括并建立數(shù)學(xué)模型，同時，又要注意把數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實際問題中去，進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)建模的思想。

第三章章頭圖是一群兔子，給出了一個種群的數(shù)量，如果在理想狀態(tài)下，那么它們將呈指數(shù)增長；但在自然狀態(tài)下，種群數(shù)量一般符合對數(shù)增長模型。這樣，面對不同情況時，如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述它們就很重要。我們要教會學(xué)生選擇模型、應(yīng)用模型，讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)建模。

二、從閱讀與思考，到數(shù)學(xué)發(fā)展的過程及數(shù)學(xué)家的魅力

必修1中共有四個閱讀與思考，我就它們具體一一說明。

1.集合中元素的個數(shù)：在這一部分主要介紹歷史上數(shù)學(xué)的三次危機(jī)。

第一次危機(jī)發(fā)生在公元前580～568年之間的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，邊長為1的正方形的對角線不可度量。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物—數(shù)域擴(kuò)充為實數(shù)。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)。十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物--微積分更完善。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)經(jīng)過第一、二次數(shù)學(xué)危機(jī)，人們把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的無矛盾性，歸結(jié)為集合論的無矛盾性，集合論已成為整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)這座富麗堂皇的大廈就算竣工了。看來集合論似乎是不會有矛盾的，數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性的目標(biāo)快要達(dá)到了，數(shù)學(xué)家們幾乎都為這一成就自鳴得意。英國著名數(shù)理邏輯學(xué)家和哲學(xué)家羅素（1872—1970）宣布了一條驚人的消息：集合論是自相矛盾的，并不存在什么絕對的嚴(yán)密性！史稱“羅素悖論”。 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物——數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。 這一過程中還可以介紹說謊者悖論、理發(fā)師悖論、阿基里斯追龜、飛矢不動等引起學(xué)生的興趣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的過程。

2.函數(shù)概念的發(fā)展歷程：這段材料主要講述了函數(shù)概念從變量說到對應(yīng)說的一個簡單發(fā)展過程，讓學(xué)生閱讀后再簡單介紹材料中涉及到的數(shù)學(xué)家及成果。

主要給學(xué)生介紹萊布尼茲與微積分；李善蘭與《幾何原本》對中西方數(shù)學(xué)融合做出的貢獻(xiàn)；約翰·伯努利及伯努利家族的三代八位數(shù)學(xué)家；狄利克雷的抽屜原理；歐拉從19歲開始發(fā)表論文直到76歲的孜孜不倦，失明后17年里寫1400余篇論文的堅毅不拔；高斯3歲能幫爸爸算賬、10歲能快速計算出1+2+3+…+100的結(jié)果的機(jī)智，19歲能給出正十七邊形的尺規(guī)作圖方法的才智，一生對數(shù)學(xué)的執(zhí)著。通過這些讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的魅力。

3.對數(shù)的發(fā)明：這段材料主要介紹對數(shù)的發(fā)明，給學(xué)生再講述一些納皮爾的故事如：納皮爾鄰家養(yǎng)的鴿子吃了他的糧食，他感到煩惱。他恫嚇鄰居道：“如果你再不管好你的鴿子，讓它們亂飛，我就要把它們抓起來了?！编従痈静幌嘈偶{皮爾能捉住鴿子，就對他說：“如果你能捉住它們，盡管捉好了?！钡诙欤従涌吹剿镍澴诱诩{皮爾的草坪上搖搖晃晃地走著，而納皮爾把它們一只只裝進(jìn)大口袋，感到十分驚訝。原來，納皮爾在草坪上撒上了用白蘭地酒泡過的豌豆，醉倒了鴿子。還有一個故事，納皮爾懷疑他的仆人暗地里偷他的東西，為了找出小偷，納皮爾宣稱自己的黑公雞有識別罪犯的特異功能。隨后，他要求仆人按順序進(jìn)小黑屋輕拍黑公雞的背，當(dāng)然他已私下將黑公雞涂了一層煙灰。等所有的仆人出門后攤開雙手的那一刻，小偷自然原形畢露，因為只有他的手是干凈的——不知情的小偷害怕自己的劣跡被發(fā)現(xiàn)而不敢觸摸那只神奇的“黑公雞”。 讓學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)家的幽默與魅力。

4.中外歷史上的方程求解：在這主要介紹我國古代數(shù)學(xué)家的成就。

約公元50年—100年編成的《九章算術(shù)》，就以算法形式給出了求一次方程、二次方程和正系數(shù)三次方程根的具體方法；公元7世紀(jì)，隋唐數(shù)學(xué)家王孝通找出了求三次方程正根的數(shù)值解法；公元11世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲在《黃帝九章算法細(xì)草》中提出的“開方作法本源圖”，以“立成釋鎖法”來解三次或三次以上的高次方程式。同時，他還提出了一種更簡便的“增乘開方法”；公元13世紀(jì)，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“正負(fù)開方術(shù)”，提供了一種用算籌布列解任意數(shù)字方程的有效算法，此法可以求出任意次代數(shù)方程的正根。再介紹一些中國古代數(shù)學(xué)的成績，讓學(xué)生感受中國古代數(shù)學(xué)的魅力，并產(chǎn)生強(qiáng)烈的愛國主義情懷。

三、從探究與發(fā)現(xiàn)，到思維過程的展示

必修1的探究與發(fā)現(xiàn)是互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系，教材以問題串的形式由學(xué)生熟悉的兩個函數(shù) 和 出發(fā)，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象的對稱關(guān)系，然后推廣到同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象的對稱關(guān)系。

問題1 在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出指數(shù)函數(shù) 及其反函數(shù) 的圖象。你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么對稱關(guān)系嗎？

問題2 取 圖象上的幾個點(diǎn)，如 ， ， ， 關(guān)于直線 的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？它們在 的圖象上嗎？為什么？

問題3 如果點(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上，那么 關(guān)于直線 的對稱點(diǎn)在 的圖象上嗎？為什么？

問題4 由上述探究過程可以得到什么結(jié)論？

問題5 上述結(jié)論對于指數(shù)函數(shù) 且 及其反函數(shù) 且 也成立嗎？為什么？

這樣將思維過程展示出來，讓學(xué)生親自體驗發(fā)現(xiàn)奧秘的快樂。

四、從實習(xí)作業(yè)，到體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值

必修1有兩個實習(xí)作業(yè)，一個是以了解函數(shù)形成、發(fā)展的歷史為目的的實習(xí)報告，這個作業(yè)可以作為十一長假的寫作業(yè)，讓學(xué)生自己查找資料，在前面介紹了函數(shù)發(fā)展的背景下再查一查函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，可以在網(wǎng)上閱讀權(quán)平健一郎的《函數(shù)在你身邊》，這樣既讓學(xué)生看到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值又使得抽象的函數(shù)具體化、生動化。另一個是牛頓的冷卻模型，指導(dǎo)學(xué)生設(shè)計一個方案，對牛的的冷卻模型進(jìn)行驗證。然后在探究以下問題：

1.一杯開水的溫度降到室溫大約需要多少時間？

2.應(yīng)在炒菜之前多長時間將冰箱里的肉拿出來解凍？

3.在寒冷的冬季，是冷水管容易結(jié)冰，還是熱水管容易結(jié)冰？

讓學(xué)生進(jìn)一步感知函數(shù)就在身邊，數(shù)學(xué)無處不在，體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

數(shù)學(xué)的文化特征不僅僅在于它的歷史性和美學(xué)價值，凝聚在數(shù)學(xué)之中的數(shù)學(xué)思想方法及在應(yīng)用方面的廣泛性，它還包括用數(shù)學(xué)思維和思考問題的方式和方法。隨著課程改革的深入，數(shù)學(xué)文化將會真正滲透到教材、進(jìn)入課堂、溶入教學(xué)之中，成為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分。我們在平時的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中在承認(rèn)和弘揚(yáng)數(shù)學(xué)工具價值的同時，更應(yīng)該看到它的文化價值。要充分挖掘教材中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)文化的素材，讓學(xué)生接受它的熏陶。通過滲透數(shù)學(xué)文化的教育，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的魅力，使學(xué)生的人格品性的得到教育，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)真正得到提高。

參考文獻(xiàn)：

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[4]《數(shù)學(xué)思維方法》 人民教育出版社

[5]《中學(xué)數(shù)學(xué)名師教學(xué)藝術(shù)》 華東師范大學(xué)出版社