淺析高中同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用

崔婭蘭

[摘要]在高中階段，三角函數(shù)是重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，而同角三角函數(shù)的關(guān)系式涉及到求值、化簡和證明三大題型的應(yīng)用。幫助學(xué)生理解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘其本質(zhì)屬性，有利于靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)公式，創(chuàng)新思維，解決數(shù)學(xué)問題。

[關(guān)鍵詞]三角函數(shù)；本質(zhì)屬性；創(chuàng)新思維

中圖分類號(hào)：G633.6

從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容上看，高中所學(xué)的三角函數(shù)是在初中已有的知識(shí)上拓寬視野，將00到900的三角函數(shù)拓展到任意角的三角函數(shù)，并引入直角坐標(biāo)系，而其中的函數(shù)關(guān)系式依然成立。從本質(zhì)上來看，它們即是任意角的一個(gè)集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射[1]。高中階段的三角函數(shù)即初中直角三角形中有向線段的比值。在解題過程中，理解了三角函數(shù)的本質(zhì)，靈活運(yùn)用關(guān)系式，則求值、化簡、證明等有關(guān)問題就迎刃而解，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和創(chuàng)新能力。

一、理解內(nèi)在聯(lián)系，挖掘本質(zhì)屬性

由單位圓中的三角函數(shù)（如圖1）可以得出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

二、靈活運(yùn)用公式，創(chuàng)新解題思維

了解同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，可以解決同角三角函數(shù)中求值、化簡及證明等題型。在充分理解知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系下，創(chuàng)新思維，總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法，可以增強(qiáng)邏輯推理，提高解題速度，從而提高學(xué)習(xí)效率。

1.求值新解

高中階段的同角三角函數(shù)求值的問題主要分為兩種：知道三角函數(shù)取值范圍，計(jì)算并確定符號(hào)；沒有范圍，分類討論。由于同角的三角函數(shù)之間存在聯(lián)系，那么，正弦、余弦和正切，可知一求二，正余弦的和差與乘積之間有著直接的聯(lián)系。解決這兩種問題的一般方法也分為兩種：一是利用公式，建立方程組，代入消元；一種是利用推廣公式，已知和差求乘積或已知乘積求和差。

前面提到，高中階段所學(xué)的三角函數(shù)是在初中直接三角形的基礎(chǔ)上引入符號(hào)，將角度拓展到任意角。在高中《必修四》前面的知識(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了各個(gè)三角函數(shù)在不同象限中的符號(hào)，那么，我們?cè)谝恍┣笾档膯栴}中可以利用這個(gè)本質(zhì)，從直角三角形著手，再考慮符號(hào)，就可以將問題化難為易了。

例1：已知tanα=-2，求sinα和cosα。

分析：首先，這類題型屬于求值問題中沒有范圍，需分類討論的題型，再利用公式聯(lián)立方程組求解。這樣做就涉及到解二次方程、開方，這又是學(xué)生最容易出錯(cuò)的地方。所以，利用直角三角形解題可以突破這一難點(diǎn)。

解：由已知tanα=-2，則α屬于第二象限或第四象限，∣tanα∣=2

如圖2：

∵|tanα|=2

∴可令α=∠ACB|AB|=2，|BC|=1

∴|AC|=

由定義可得：|sinα|= ， |cosα|=

當(dāng)α屬于第二象限時(shí)，sinα= ，cosα=

當(dāng)α屬于第四象限時(shí)，sinα= ，cosα=

2.升冪降冪，化簡證明

化簡問題和證明問題本質(zhì)相同，解決問題時(shí)注意觀察三個(gè)差異：函數(shù)差異；次數(shù)差異；結(jié)構(gòu)差異?；舅悸酚兴姆N：一、利用同角三角函數(shù)公式及推廣公式化繁為簡；二、利用正余弦平方關(guān)系升冪降冪；三、證明時(shí)，左右同時(shí)化簡，方向歸一；四、再加分析，作差變形求解。

例2：（1）化簡

（2）已知 ，求：

（3）證明：

分析：

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：

（1）式中分子分母都為關(guān)于x的一次三角函數(shù)，但是前半部分含有x的正切函數(shù)，可以利用公式①將正切轉(zhuǎn)化為正弦余弦，再經(jīng)過通分化簡即可得出結(jié)果為tanx。

（2）式是已知tanx的值，求解復(fù)雜三角函數(shù)的值問題。可以利用例1中的方法得出sinx與cosx的值，再帶入求解，但問題在于需要考慮兩種不同的情況，后續(xù)計(jì)算較為復(fù)雜。那么，什么方法更為簡便呢？求解這樣的式子的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化分子分母為相同次數(shù)，再利用分子分母同除cosx（cosx≠0），結(jié)果不變，再代值求解。前半部分可以直接利用公式②，將1轉(zhuǎn)化為sin2x+cos2x，后半部分是關(guān)于正弦余弦的二次式，可以將分母看做1，再利用②式升冪，最后由分式的性質(zhì)可得出一個(gè)關(guān)于tanx的式子求解。

（3）式是三角函數(shù)證明題中比較典型的例題，通過觀察分析，它不屬于化繁為簡的類型，也無法直接從左到右變形處理或者作差化簡，由于兩邊式子都比較復(fù)雜，那么我們首先考慮左右歸一的方法。

利用公式④⑤，化簡可得出左邊=

利用公式①，再通分化簡可得右邊=

左邊=右邊即得證。

三、結(jié)束語

綜上所述，在三角函數(shù)教學(xué)中，幫助學(xué)生理解同角三角函數(shù)關(guān)系式的本質(zhì)屬性，提煉總結(jié)解決數(shù)學(xué)問題的思想方法比單純的強(qiáng)化解題技巧更有助于建構(gòu)學(xué)生自己的數(shù)學(xué)知識(shí)。

參考文獻(xiàn)

[1]何子堯.基于任意角的三角函數(shù)研究[J].赤子，2009（4）.