高中三角函數(shù)概念建構(gòu)的思考

楊玉杰

G633.6

在高中數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，有些概念是可以通過(guò)與環(huán)境的聯(lián)系來(lái)習(xí)得的，如大部分基本圖形的定義，很容易就能在現(xiàn)實(shí)中找到相應(yīng)的例子，但也有一些數(shù)學(xué)概念是不能通過(guò)這種途徑習(xí)得的，如高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的概念，這類概念只能用語(yǔ)言來(lái)作出界定，只能依靠高中生門(mén)對(duì)這些語(yǔ)言的“內(nèi)涵”與“外延”的理解與學(xué)習(xí)。這就造成了三角函數(shù)概念的抽象性，很多學(xué)生包括我在內(nèi)在角、函數(shù)、任意角三角函數(shù)等概念的認(rèn)知上與老師要求的程度還存在不小的差距，同學(xué)們普遍反映三角函數(shù)的學(xué)習(xí)很困難，很多學(xué)生寧愿使用建立代數(shù)函數(shù)的方法解決三角形相關(guān)問(wèn)題?？梢哉f(shuō)，三角函數(shù)是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。針對(duì)這種現(xiàn)象，我結(jié)合自自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)造成這種現(xiàn)象的原因進(jìn)行了分析，并總結(jié)了高中三角函數(shù)概念的建構(gòu)方法，希望能對(duì)在三角函數(shù)概念上有所困惑的同學(xué)有所幫助。

一、三角函數(shù)的教學(xué)難點(diǎn)及其原因

三角函數(shù)是高中生接觸到的第一個(gè)有多對(duì)一對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，也是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)之一，更是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。對(duì)高中學(xué)生而言，三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)存在困難已經(jīng)成為不可爭(zhēng)辯的事實(shí)，那么，這些困難具體有哪些方面的表現(xiàn)呢？為此，我對(duì)班內(nèi)的同學(xué)們進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果表明絕大部分學(xué)生都能使用初中學(xué)到的銳角三角函數(shù)知識(shí)解直角三角形，但普遍不理解銳角三角函數(shù)的定義，如回答“在直角三角形△ABC中，∠C為直角，則∠A的三角函數(shù)是只與∠A有關(guān)，還是與Rt△ABC有關(guān)？”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，有接近80%的學(xué)生回答與Rt△ABC有關(guān)。

為了探討產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因，我查閱了初中教材上對(duì)三角函數(shù)的定義。發(fā)現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)教材中，三角函數(shù)都是在直角三角形中來(lái)定義的，利用直角三角形邊與邊的比來(lái)定義銳角的正弦、余弦與正切函數(shù)，雖然教材也對(duì)高中三角函數(shù)的引入進(jìn)行了一定的鋪墊，但從當(dāng)前高中階段在三角函數(shù)方面的學(xué)習(xí)效果來(lái)看，這些鋪墊很顯然沒(méi)有起到多大效果。究其原因，首先是部分初中數(shù)學(xué)老師們?cè)诮虒W(xué)時(shí)偏重于對(duì)解題的教學(xué)，忽視對(duì)定義的教學(xué)，其次是很多教材在章頭問(wèn)題上存在不少先入為主的影響。在本次調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)能準(zhǔn)確理解并掌握三角函數(shù)概念的學(xué)生，只占了不到班內(nèi)總?cè)藬?shù)的20%，有接近50%的學(xué)生在三角函數(shù)概念的理解上存在不同程度的困難。在調(diào)查中，很多學(xué)生都談到了以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）為何高中教材要用坐標(biāo)法來(lái)定義三角函數(shù)概念呢？（2）在用坐標(biāo)法定義三角函數(shù)概念時(shí)，為何∠α中邊上的點(diǎn)P能夠任意選取呢？那么如何幫助同學(xué)們建構(gòu)三角函數(shù)這一概念結(jié)構(gòu)呢？為此我積極向老師請(qǐng)教，和同學(xué)們探討，思考出了以下幾點(diǎn)采取措施。

二、高中三角函數(shù)概念的建構(gòu)方法

1.復(fù)習(xí)初中三角函數(shù)的定義，建構(gòu)三角函數(shù)的新定義

從復(fù)習(xí)初中教材入手，有助于激活學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容的記憶。再利用高中函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)解析初中三角函數(shù)概念，即“高中三角函數(shù)概念是對(duì)初中三角函數(shù)概念的深化，也是對(duì)初中三角函數(shù)概念的局限性（主要指定義域上的局限性）的揭示，是建構(gòu)三角函數(shù)新定義的‘催化劑”。函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，對(duì)幫助學(xué)生理解三角函數(shù)新定義具有很大的幫助，是學(xué)生實(shí)現(xiàn)從舊定義向新定義轉(zhuǎn)化的有力保證。在高中函數(shù)定義的解釋下，學(xué)生能準(zhǔn)確的看到初中定義的不足：舊定義中的自變量局限為銳角，只能解決銳角三角函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，而高中三角函數(shù)概念中，角的范圍變大了，因此，三角函數(shù)的定義域也必須相應(yīng)擴(kuò)大才行，將角納入到直角坐標(biāo)系中，在規(guī)定了始邊與終邊之后，用“坐標(biāo)法”來(lái)定義三角函數(shù)概念的方法也就更加容易理解了。將角納入到直角坐標(biāo)系中之后，角就變得更加富有“生命力”了，新定義也不再那么抽象，而是在涵蓋舊定義的基礎(chǔ)上有了新的內(nèi)涵。

2.鞏固新定義，重視數(shù)學(xué)思想方法

在三角函數(shù)概念的定義中，舊定義內(nèi)容少、淺、易，而新定義內(nèi)容豐富，外延廣泛，概括程度高，理解難度大，學(xué)生在學(xué)習(xí)新定義時(shí)，常對(duì)新定義的把握不夠穩(wěn)定，容易還原，因此，不間斷、及時(shí)的幫助學(xué)生鞏固新定義是老師們不得不考慮的問(wèn)題。

我們知道，三角函數(shù)舊定義的最大優(yōu)點(diǎn)就是直觀性和情境性較好，“形”的特征突出，而新定義則是“數(shù)”、“形”兼?zhèn)洌壕嚯x、坐標(biāo)、比值屬于“數(shù)”的范疇，而坐標(biāo)系的引進(jìn)，角的旋轉(zhuǎn)，則屬于“形”的范疇，以“數(shù)”解“形”、以“形”助“數(shù)”、“數(shù)”“形”結(jié)合是我們幫助學(xué)生理解新定義的有力武器，轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法，無(wú)疑是幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)新定義的明智途徑。

3.課堂上注重教學(xué)情境，挖掘問(wèn)題本質(zhì)，引出三角函數(shù)的定義

在數(shù)學(xué)課堂上，老師們可以向?qū)W生講述數(shù)學(xué)悠久的歷史，并由此引出三角函數(shù)的定義，這樣在學(xué)生的心中就能夠其出現(xiàn)的背景以及發(fā)展的歷程，同時(shí)還能夠開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，也就是由具體的問(wèn)題到抽象的概念。選擇較為恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，讓學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)的過(guò)程中體會(huì)到樂(lè)趣，如此他們才會(huì)對(duì)這個(gè)概念在充分理解的情況下有更深刻的記憶。

三、結(jié)語(yǔ)

在新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，明確的標(biāo)定要掌握三角函數(shù)，也就是說(shuō)，能夠?qū)⑷呛瘮?shù)的相關(guān)內(nèi)容全部理解并且能夠準(zhǔn)確無(wú)誤的應(yīng)用在實(shí)際的例子中。可以說(shuō)，三角函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值非常高，僅僅是利用其圖像和性質(zhì)，在數(shù)形結(jié)合使用方面體現(xiàn)為：求解三角不等式、三角方程，證明三角不等式、恒等式，倘若將“數(shù)”“形”分開(kāi)對(duì)待，能夠成為三角函數(shù)研究其基本問(wèn)題的重要工具。三角函數(shù)對(duì)于老師們來(lái)說(shuō)，詳細(xì)準(zhǔn)確的講解也是非常困難的，倘若老師們?cè)谥v解之前進(jìn)行足夠的鋪墊渲染，那么相信我們學(xué)生理解起來(lái)就會(huì)容易多了。

總而言之，在高中教學(xué)階段，定義性的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)與學(xué)習(xí)是存在較大難度的，以上方法也只是我自身的探討，具體的效果還需要同學(xué)們自己去感悟和理解。我相信，只要切實(shí)理解高中生門(mén)的學(xué)習(xí)難處，加強(qiáng)新舊知識(shí)的銜接，做好師生間的溝通，就一定能使學(xué)生更好的掌握三角函數(shù)的新定義，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。 。