復(fù)Finsler度量射影等價(jià)

翁 桂 英

(仰恩大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 福建 泉州 362014)

復(fù)Finsler度量射影等價(jià)

翁 桂 英

(仰恩大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 福建 泉州 362014)

主要研究復(fù)流形上復(fù)Finsler度量射影等價(jià)及仿射等價(jià)的若干充要條件，討論了復(fù)Finsler流形上的測(cè)地線及2種平行移動(dòng)，從而得到復(fù)Finsler度量仿射等價(jià)的另一充要條件，并將其應(yīng)用于乘積復(fù)Finsler流形中.

復(fù)Finsler度量; 測(cè)地線; 射影等價(jià); 仿射等價(jià); 乘積復(fù)Finsler度量

Projectively equivalent complex Finsler metrics. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(2):154-160

流形上Finsler度量的射影等價(jià)性是Finsler幾何的一個(gè)重要課題，文獻(xiàn)[1]在實(shí)Finsler度量下研究了一般射影等價(jià)及仿射等價(jià)成立的充要條件.復(fù)Finsler度量的射影等價(jià)這一概念由YAN[2]和ALDEA等[3-6]于2012年引入并進(jìn)行研究.本文將對(duì)復(fù)Finsler度量的射影等價(jià)、仿射等價(jià)性及復(fù)Finsler流形上的2種平行移動(dòng)進(jìn)行研究并給出其應(yīng)用例子.

1 預(yù)備知識(shí)

首先,簡(jiǎn)單介紹本文所需的一些記號(hào)，更多細(xì)節(jié)參見文獻(xiàn)[7].

定義1[7]復(fù)流形M上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)F:T1,0M→R+若滿足下列條件,則稱其為復(fù)Finsler度量:

3)任意v∈T1,0M,ξ∈C,F(ξv)=|ξ|F(v).

賦有復(fù)Finsler度量的復(fù)流形稱為復(fù)Finsler流形，簡(jiǎn)記為(M,F).

下文若不特別說明,復(fù)Finsler度量總表示強(qiáng)擬凸的.

(1)

且稱D為(M,F)上的Chern-Finsler(c.n.c.)聯(lián)絡(luò).

在局部坐標(biāo)下,Chern-Finsler(c.n.c.)聯(lián)絡(luò)系數(shù)為

(2)

定理2[8]設(shè) (M,F)為復(fù)Finsler流形, 則其為復(fù)Berwald當(dāng)且僅當(dāng) (M,F) 為K?hler且為弱的復(fù)Berwald度量.

2 測(cè)地線

由文獻(xiàn)[7],復(fù)Finsler流形上的測(cè)地線需滿足:

(3)

從而，測(cè)地線σ=σ(s)需滿足:

(4)

證明 充分性. 在局部坐標(biāo)系下, 有

因此，

必要性顯然.

3 射影等價(jià)及仿射等價(jià)

因此，

由σ(s)的正則性, 得

等式兩邊積分，有

最終得到

必要性顯然.

(5)

注4 若一階齊次函數(shù)P1(z,υ)滿足式(5),S為(0,1)階齊次,則P2=P1+S也為一階齊次,且P2亦滿足式(5);反之,若一階齊次函數(shù)P1(z,υ),P2(z,υ)滿足式(5),則S=P2-P1為(0,1)階齊次.故滿足式(5)的一階齊次解相差一個(gè)(0,1)階齊次函數(shù).

(6)

所以，

(7)

(8)

(9)

將式(9)代入式(7),可得

(10)

因此，

(11)

而且，

代入式(11),定理7得證.

反復(fù)利用式(6)可得：

證明 1)?2)

(12)

因此，有

2)?3)

3)?1)

(13)

由Gτ為(2,0)齊次,可知

必要性顯然.

結(jié)合定理10和定理11，可以得到以下結(jié)論：

4 平行移動(dòng)

如不特別說明,下面復(fù)Finsler流形均指弱K?hler,其測(cè)地線σ=σ(s)滿足二階微分方程

定義5 復(fù)Finsler流形(M,F)上,σ=σ(s)為光滑正則曲線,U=Uα(s)?α|σ(s)為沿著σ定義的向量場(chǎng),則U(s)沿著σ的線性共變導(dǎo)數(shù):

(14)

注意到F為K?hler,則

定義7 弱K?hler-Finsler流形(M,F)上,設(shè)σ=σ(s)為光滑正則曲線,U=Uα(s)?α|σ(s)是沿著σ定義的向量場(chǎng),那么U(s)沿著σ的共變導(dǎo)數(shù):

(15)

證明 由于

因此，

注意到

經(jīng)化簡(jiǎn), 可得

又因?yàn)?/p>

則

即F(σ(s),U(s))為常數(shù).

例1 設(shè)二元函數(shù)f:R2→R+滿足:對(duì)任意的λ>0,f(λs,λt)=λf(s,t),且對(duì)于任意的 (s,t)≠(0,0)，f(s,t)>0.

又(Mi,αi),i=1,2為Hermitian度量,M=M1×M2,M1為n維,M2為m維復(fù)流形. 可以構(gòu)造新的度量

fs>0,ft>0,fs+sfss>0,ft+tftt>0

及

fsft-ffst>0.

Ga(z,v)=Ga(z1,v1)，Gα(z,v)=Gα(z2,v2),

[1]CHENSS,SHENZM. Riemann-Finsler Geometry[M]. Singapore: World Scientific,2005:1-85.

[2] YAN R M. Affinely equivalent K?hler-Finsler metrics on a complex manifold[J]. Science in China： Mathematics,2012,55(4):731-738.

[3] ALDEA N, MUNTEANU G. On projective complex Randers changes[J]. Bulletin of the Transilvain University of Brasov,2012,54(4):1-10.

[4] ALDEA N, MUNTEANU G. On projective invariants of the complex Finsler spaces[J]. Differential Geometry and Its Applications,2012,30(6):562-575.

[5] ALDEA N, MUNTEANU G. Projectively related complex Finsler metrics[J]. Real World Applications,2012,13(5):2178-2187.

[6] ALDEA N, MUNTEANU G. The main invariants of a complex Finsler space[J]. Acta Mathematica Sciential,2014,34(4):995-1011.

[7] ABATE M, PATRIZIO G. Finsler Metrics-a Global Approach with Applications to Geometric Function Theory[M]. Berlin: Springer-Verlag,1994:1-101.

[8] ZHONG C P. On real and complex Berwald connections associated to strongly convex weakly K?hler Finsler metric[J]. Differential Geometry and Its Applications,2011,29:388-408.

[9] ZHONG C P. On unitary invariant strongly pseudoconvex complex Finsler metrics[J]. Differential Geometry and Its Applications,2015,40:159-186.

[10] ALDEA N, MUNTEANU G. On complex Landsberg and Berwald spaces[J]. Journal of Geometry and Physics,2012,62(2):368-380.

[11] 肖金秀,嚴(yán)榮沐.復(fù)Finsler流形上的兩個(gè)問題[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,45(5):614-616. XIAO J X, YAN R M. Two topics in complex Finsler geometry[J]. Journal of Xiamen University: Natural Science,2006,45(5):614-616.

[12] WU Z C, ZHONG C P. Some results on product complex Finsler manifolds[J]. Acta Mathematica Scientia,2011,31B(4):1541-1552.

WENG Guiying

(DepartmentofMathematics,YangenUniversity,Quanzhou362014,FujianProvince,China)

complex Finsler metrics; geodesics;projectively equivalent; affinely equivalent; product complex Finsler manifold

2016-01-28.

翁桂英(1983-),ORCID:http://orcid.org/0000-0002-3469-1466,女,碩士,講師,主要從事多復(fù)變數(shù)和復(fù)Finsler幾何研究,E-mail: yeuwgy@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.02.006

O 186.1

A

1008-9497(2017)02-154-07