淺談開放性數(shù)學(xué)問題及其設(shè)計(jì)

歐憲勝

【摘要】開放性數(shù)學(xué)問題能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維空間，有利于學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力以及解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)。本文討論數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中開放性數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)，從生活實(shí)際中取材、教材習(xí)題中改編以及讓學(xué)生主動(dòng)參與設(shè)計(jì)三方面進(jìn)行論述。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題 開放性數(shù)學(xué)問題 問題設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6

開放性數(shù)學(xué)問題是相對(duì)于傳統(tǒng)的“條件完備、結(jié)論確定”的封閉性練習(xí)題而言的。它只是“問題”，而不是有現(xiàn)成的解決模式可套的“習(xí)題”。開放性數(shù)學(xué)問題中，可能所提供的條件不完備，需要在求解過程中不斷充實(shí)和增添假設(shè)；也可能是答案不唯一確定，結(jié)論或結(jié)果一般是豐富多彩的；解決問題的思想和途徑可能因人而異，靈活多樣；開放性問題可以是純數(shù)學(xué)的，也可以是從實(shí)際生活中提出來的。正因?yàn)檫@樣，開放性數(shù)學(xué)問題給學(xué)生留下的探索空間很大，有助于開發(fā)學(xué)生的發(fā)散性數(shù)學(xué)思維。

一、關(guān)于開放性數(shù)學(xué)問題的重要性

開放性問題由于其自身的開放特征，一改封閉性問題的條件、答案唯一的特點(diǎn)，吸引學(xué)生不依賴于教師、不依賴于書本，獨(dú)立地去探索和發(fā)現(xiàn)問題的各種各樣的答案，使學(xué)生能在不同水平的答案交流中共同的討論，互相學(xué)習(xí)，不斷進(jìn)步。

隨著新課程改革的落實(shí)，各種新題型紛紛出現(xiàn)，特別隨著近年來中考和高考開放題的相繼出現(xiàn)，開放性數(shù)學(xué)問題在中國已受到了廣大數(shù)學(xué)教師的普遍關(guān)注，學(xué)生對(duì)開放型問題非常歡迎。開放題有利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和探索的精神，開放題有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，能保障學(xué)生的主體地位，有助于學(xué)生主體意識(shí)的形成，有利于全體學(xué)生的主動(dòng)參與，有利于實(shí)現(xiàn)教學(xué)的民主性和合作性，有利于學(xué)生樹立信心、產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力等，因此在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)該適當(dāng)?shù)匾M(jìn)開放性數(shù)學(xué)問題。

二、開放性數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)原則

開放性數(shù)學(xué)問題可以培養(yǎng)學(xué)生在解題過程中的創(chuàng)新思維，可以使學(xué)生在解題中形成積極探索和創(chuàng)造的心理態(tài)勢(shì)，從而使他們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟，進(jìn)而主動(dòng)地參與到“做數(shù)學(xué)”的過程中來。

設(shè)計(jì)開放性數(shù)學(xué)問題應(yīng)遵循以下原則：

（1）參與對(duì)象的層次性原則

開放性數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)應(yīng)考慮到學(xué)生的知識(shí)水平，讓不同層次的學(xué)生能多層次、多角度地進(jìn)行探索分析，從而作出不同層次的解答。

例如：學(xué)生學(xué)完公倍數(shù)以后，教師可以出這樣一道開放題：小紅有一堆積木，若2塊分一組，剩下1塊，3塊分一組，也剩下1塊，4塊分一組，還是剩下1塊。問小紅一共有多少塊積木？

這道題最一般的解法是試誤法，這是最低層次；學(xué)生能運(yùn)用2、3、4的公倍數(shù)進(jìn)行解答，這一方法是第二層次；最高層次的解法是學(xué)生能運(yùn)用3、4的公倍數(shù)，這是因?yàn)樗芸闯?、3、4的公倍數(shù)其實(shí)就是3、4的公倍數(shù)，所以這是最高層次。一個(gè)好的開放題要能分出這樣的層次，讓不同程度的學(xué)生都可以進(jìn)行探索和嘗試，從而使所有的學(xué)生都能參與到教學(xué)中來。

（2）問題內(nèi)容的寬廣性原則

問題內(nèi)容的寬廣性是指問題涉及的事件不僅為學(xué)生所熟悉，而且知識(shí)面也應(yīng)當(dāng)寬廣。它不僅僅涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容，還要涉及日常生活與其他學(xué)科內(nèi)容，將學(xué)生在日常生活與社會(huì)活動(dòng)中接觸過的與數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的內(nèi)容加以提煉，設(shè)計(jì)成開放性問題。

例如：小明要給自己的房間的地板安上瓷磚，已知房間長6米，寬3.5米，又知道邊長為50厘米的瓷磚3.8元/塊，邊長為10厘米的瓷磚0.8元/塊，請(qǐng)問選擇哪種瓷磚可以使小明花錢更少？

（3）設(shè)計(jì)角度的動(dòng)態(tài)性原則

設(shè)計(jì)角度的動(dòng)態(tài)性原則是指同一知識(shí)點(diǎn)，采用不同的角度、不同的方式設(shè)計(jì)成不同的問題。

例如：學(xué)校的教學(xué)樓、圖書館、學(xué)生公寓樓在同一條校道上，教學(xué)樓與圖書館相距200米，圖書館與學(xué)生公寓樓相距1000米：①若教學(xué)樓和學(xué)生公寓樓分別在圖書館的兩側(cè)，請(qǐng)問教學(xué)樓與學(xué)生公寓樓相距多少米？②教學(xué)樓與學(xué)生公寓樓相距多少米？

問題①是封閉性數(shù)學(xué)問題，而問題②由于沒有規(guī)定教學(xué)樓與學(xué)生公寓樓的位置的限定就變?yōu)殚_放性問題了。

由于問題設(shè)計(jì)的角度新穎，方式豐富多彩，使學(xué)生對(duì)問題感興趣，產(chǎn)生好奇心，從而激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力。

（4）解答途徑的探索性原則

目前的數(shù)學(xué)練習(xí)中程式化、技能化的問題較多，學(xué)生只要記憶加苦練再加細(xì)心就能解決問題，數(shù)學(xué)開放題的解答途徑卻是開放的，具有探索性，它能調(diào)動(dòng)學(xué)生追求成功的潛在動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。

例如：如果將一塊形狀為三角形的木板切去一個(gè)角，那么剩下的木板還有幾個(gè)角？如果這塊木板不是三角形而是四邊形或五邊形，那么結(jié)果又如何呢？

對(duì)這樣的問題，學(xué)生不能只是根據(jù)所學(xué)知識(shí)或模仿教師傳授的某種現(xiàn)成方法就能馬上作出解答，而只有通過他們自己親身實(shí)踐、親自探索才能解決問題。

（5）解答方法的多樣性原則

它要求學(xué)生將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，善于通過多渠道來解決問題，發(fā)表自己的獨(dú)特的見解。

例如：請(qǐng)?jiān)?、2、5、4、9這幾個(gè)數(shù)字中間添上+、-、×、÷，使其能得到不同的結(jié)果。

這個(gè)題目并沒有規(guī)定+、-、×、÷四個(gè)符號(hào)的順序，因此學(xué)生可以根據(jù)添加的四個(gè)符號(hào)的不同的順序，從而得出不一樣的解答方法和結(jié)果。

由于開放題解題方法和結(jié)果的多樣性，不同的學(xué)生常常有不同的解題策略，這為“數(shù)學(xué)交流”提供了很大的“參與空間”。

（6）開放性與封閉性相結(jié)合的原則

開放性問題是相對(duì)于封閉性問題而言的，因此開放性數(shù)學(xué)問題與封閉性數(shù)學(xué)問題應(yīng)該并存而不是相互排斥。在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)以一般練習(xí)題為基礎(chǔ)，在以一般習(xí)題為主體的訓(xùn)練下引進(jìn)開放性數(shù)學(xué)問題，以彌補(bǔ)封閉性練習(xí)題的不足之處。

三、課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計(jì)

開放性數(shù)學(xué)問題能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)思維空間，有利于學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力以及解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)，因此，我們應(yīng)該改變當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育強(qiáng)調(diào)封閉型題的教學(xué)，加強(qiáng)開放型問題的研究，在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視開放題的設(shè)計(jì)，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維，激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與到問題解決活動(dòng)中去，從而提高學(xué)生解決問題的能力。

設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)開放題時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題。

1. 從實(shí)際生活中取材

現(xiàn)實(shí)生活是數(shù)學(xué)問題永不枯竭的源泉，特別是學(xué)生身邊的實(shí)際生活中提出數(shù)學(xué)問題，可以使學(xué)生有一種親切感和解題的欲望。

例如，一位工人師傅在加工時(shí)，需要找出一個(gè)圓形木板的圓心，請(qǐng)你幫他想出一個(gè)能找出圓心位置的方法。

再如，如圖，用兩根鋼索加固直立的電線桿，若要使鋼索AB與AC的長度相等，需添加什么條件？理由是什么？

通過在現(xiàn)實(shí)生活中提出問題，可以把數(shù)學(xué)問題形象化，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)系是密不可分的，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并能使學(xué)生在實(shí)際生活中注意發(fā)現(xiàn)問題，把從課本上學(xué)到的知識(shí)很好地運(yùn)用到實(shí)際中來。

2. 從教材的例題和習(xí)題中改編

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以根據(jù)教學(xué)的內(nèi)容，在進(jìn)行某一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)后，根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的特征，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，有意識(shí)、有目的地改造封閉型練習(xí)題，設(shè)計(jì)開放性數(shù)學(xué)問題。

（1）改變?cè)}的條件，要求從中探索新的結(jié)論

例如：已知正方形 的邊長為1米，將其分為 個(gè)相同的三角形，求出每個(gè)三角形的面積。

可以將命題設(shè)計(jì)為：已知有一塊正方形的空地，現(xiàn)要將其分為面積相等、形狀相同的八塊，以便種上八種不同的花草，請(qǐng)問該如何設(shè)計(jì)？你能設(shè)計(jì)出幾種不同的方案？

例如：學(xué)習(xí)了兩個(gè)三角形全等的條件后，把書本的練習(xí)改為：如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加什么條件可使△ADF≌△CBE

這樣在原命題的已有條件的基礎(chǔ)上，再增減條件，使解題者要選擇部分條件或運(yùn)用全部條件才能得出結(jié)果，使得題目成為開放性問題。

（2）保留原命題的結(jié)論，要求尋找得到結(jié)論的新條件

對(duì)一個(gè)封閉性問題，保留其原來的結(jié)論，要求學(xué)生尋找使其結(jié)論成立的各種可能條件，從而得到開放性問題。

例如： 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 、 、 三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。

將二次函數(shù)的圖象經(jīng)過“點(diǎn) ”變?yōu)椤皩?duì)稱軸為 軸”，問題就變?yōu)殚_放性問題了。

根據(jù)教材的封閉型例題、習(xí)題改編的開放性問題與原題之間有一定的聯(lián)系，又由于改編后的題目解答途徑和結(jié)果的多樣性，相比之下，學(xué)生對(duì)開放性問題更有興趣，而從解決這些開放性問題的過程中，學(xué)生也能獲得更多的樂趣，這樣就大大地提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，從而也提高了教學(xué)的質(zhì)量。

3.讓學(xué)生主動(dòng)參與設(shè)計(jì)

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，給出一個(gè)問題，讓學(xué)生在課堂內(nèi)或在課后自己動(dòng)手，設(shè)計(jì)新的問題，再由學(xué)生自己解決問題，或者讓學(xué)生相互交換問題進(jìn)行解決。

例如：要求學(xué)生對(duì)問題“用一個(gè)平面去截正方體，可得到截面的情況如何？”進(jìn)行思考，再根據(jù)自己思考得到的答案設(shè)計(jì)新的問題，再對(duì)問題進(jìn)行解答或?qū)W生之間交換問題進(jìn)行解答。

這樣，學(xué)生就可以根據(jù)可得到的截面為三角形、四邊形、五邊形、六邊形等情況進(jìn)行設(shè)計(jì)新的問題，例如：能否截出正三角形、怎么截、可以截出多少個(gè)、能否截出菱形、能否截出六邊形、截出的六邊形會(huì)有什么樣的特性等各式各樣的問題。此外，學(xué)生還可以對(duì)截面的面積等問題進(jìn)行探討。

通過這一有趣的練習(xí)，不但可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造、創(chuàng)新能力，還能激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，從而大大地提高了教學(xué)的質(zhì)量。

隨著時(shí)代的發(fā)展，社會(huì)的需求，培養(yǎng)創(chuàng)新人才在現(xiàn)代教育中越來越重要。數(shù)學(xué)開放題的設(shè)計(jì)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)工作中是一項(xiàng)創(chuàng)造性的工作，它要求我們廣大教師不斷充實(shí)和提升自己，并結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)可以真正開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維而又提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性的數(shù)學(xué)開放性問題。

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