非保守系統(tǒng)的Lagrange方程

周平, 梁立孚

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；3. 黑龍江科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150022)

非保守系統(tǒng)的Lagrange方程

周平, 梁立孚

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；3. 黑龍江科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150022)

如何將Lagrange方程應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)，一直是學(xué)術(shù)界關(guān)注的理論課題。如何將Lagrange方程應(yīng)用于非保守連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)的問題的研究難度更大。本文應(yīng)用Lagrange-Hamilton體系，非保守系統(tǒng)的Lagrange方程是非保守系統(tǒng)的Hamilton型擬變分原理的擬駐值條件，成功地將Lagrange方程應(yīng)用于非保守連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)。進(jìn)而應(yīng)用非保守系統(tǒng)的Lagrange方程推導(dǎo)出非保守連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)的控制方程，為研究非保守連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)開辟了一條新的有效途徑。

連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)；Lagrange方程；非保守系統(tǒng)；擬變分原理；擬駐值條件；Lagrange-Hamilton體系

非保守系統(tǒng)的Lagrange方程的研究涵蓋了許多學(xué)科，是一個(gè)相當(dāng)重要的研究領(lǐng)域。對(duì)于非保守系統(tǒng), Leipholz提出了廣義自共軛的概念，建立了廣義的Hamilton原理，給出了著名的Leipholz桿模型，在非保守系統(tǒng)變分原理方面進(jìn)行了開創(chuàng)性研究[1-4]。我國(guó)學(xué)者通過發(fā)展Leipholz的研究，并發(fā)揚(yáng)國(guó)內(nèi)對(duì)廣義變分原理研究的優(yōu)勢(shì)，在伴生力系統(tǒng)的前提下，建立了非保守系統(tǒng)的余能原理，進(jìn)而建立了關(guān)于彈性理論非保守系統(tǒng)的一般變分原理[5]。文獻(xiàn)[6]從虛功原理出發(fā)，建立了非保守系統(tǒng)的有限變形彈性擬變分原理；文獻(xiàn)[7]基于非線性彈性理論三類共軛變量對(duì)應(yīng)的6種基本方程，建立了12種互相有聯(lián)系的非保守動(dòng)力體系的擬廣義變分原理；文獻(xiàn)[8]建立了非線性彈性理論變分原理的統(tǒng)一理論；文獻(xiàn)[9]給出并證明了微極彈性動(dòng)力學(xué)中非保守力場(chǎng)問題的幾種擬變分原理，其結(jié)果還可以推廣到非局部彈性介質(zhì)和非局部微極彈性介質(zhì)力學(xué)中去。文獻(xiàn)[10]從泛能量泛函出發(fā)，提出了非線性彈性理論靜、動(dòng)力學(xué)的非保守問題的統(tǒng)一變分原理——泛變分原理。文獻(xiàn)[11]建立了非保守系統(tǒng)自激振動(dòng)的擬固有頻率變分原理。文獻(xiàn)[12]研究了非保守系統(tǒng)的擬變分原理的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性問題。但是，關(guān)于如何將Lagrange方程應(yīng)用于非保守系統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)的文獻(xiàn)極少。

梁立孚等系統(tǒng)地研究了非保守系統(tǒng)彈性(動(dòng))力學(xué)的擬變分原理[13-15]；研究了非保守系統(tǒng)剛體動(dòng)力學(xué)的擬變分原理[16]；研究了非保守系統(tǒng)分析力學(xué)的擬變分原理[17]。文獻(xiàn)[18-19]將非保守系統(tǒng)的擬變分原理推廣應(yīng)用于航天動(dòng)力學(xué)中去，實(shí)現(xiàn)了質(zhì)點(diǎn)剛體力學(xué)與變形體力學(xué)的耦合，能夠解決航天動(dòng)力學(xué)中的一些重要問題。經(jīng)過多年研究的積累，逐步形成一部專著[20]。專著[20]中已經(jīng)注意到，在經(jīng)典分析力學(xué)中非保守系統(tǒng)的Lagrange方程是保守系統(tǒng)的Lagrange方程加上非保守廣義力項(xiàng)。

本文采用Lagrange-Hamilton體系，對(duì)于保守系統(tǒng)，Lagrange方程是Hamilton原理的駐值條件；對(duì)于非保守系統(tǒng)，Lagrange方程是Hamilton型擬變分原理的擬駐值條件。本文根據(jù)這一結(jié)論，分別論述了非保守剛體動(dòng)力學(xué)、非保守彈性動(dòng)力學(xué)和粘彈性動(dòng)力學(xué)的Lagrange方程，并應(yīng)用Lagrange方程推導(dǎo)非保守彈性動(dòng)力學(xué)和粘彈性動(dòng)力學(xué)的控制方程。

1 非保守系統(tǒng)分析動(dòng)力學(xué)的Lagrange方程

非保守分析動(dòng)力學(xué)兩類變量的擬Hamilton原理：

δΠH2-δQH=0

(1)

其中

以下推導(dǎo)擬Hamilton原理的擬駐值條件。為此， 將式(1)寫成展開形式：

δΠH2-δQH=

(2)

考慮到:

(3)

可得

(4)

進(jìn)行分部積分：

(5)

將式(5)代入式(4)，按慣例在時(shí)域邊界t=t0和t=t1處取δq=0，可得

(6)

由于δq的任意性，故由式(6)可得非保守分析動(dòng)力學(xué)兩類變量的擬Hamilton原理的擬駐值條件為

(7)

可見，非保守分析動(dòng)力學(xué)兩類變量的擬Hamilton原理的擬駐值條件即為非保守分析動(dòng)力學(xué)兩類變量的Lagrange方程。

非保守分析動(dòng)力學(xué)一類變量的擬Hamilton原理：

δΠH1-δQH=0

(8)

其中

應(yīng)用類似方法，可得非保守分析動(dòng)力學(xué)一類變量的擬Hamilton原理的擬駐值條件為

(9)

可見，非保守分析動(dòng)力學(xué)一類變量的擬Hamilton原理的擬駐值條件即為非保守分析動(dòng)力學(xué)一類變量的Lagrange方程。

2 非保守系統(tǒng)剛體動(dòng)力學(xué)的Lagrange方程

如果認(rèn)為導(dǎo)致剛體運(yùn)動(dòng)的力為保守的廣義力F和非保守廣義力FN，保守的廣義力矩M和非保守廣義力矩MN，即作用于質(zhì)心的主矢為F和FN， 而主矩為M和MN，則非保守系統(tǒng)剛體動(dòng)力學(xué)的擬Hamilton原理表示為

δπH1-δQH=0

(10)

式中

M·θ+FN·Xc+MN·θ)dt

其中, 系統(tǒng)的動(dòng)能為

(11)

系統(tǒng)的勢(shì)能為

U=-F·Xc-M·θ

(12)

系統(tǒng)的擬勢(shì)能為

Uq=-FN·Xc-MN·θ

(13)

系統(tǒng)的余虛功為

(14)

應(yīng)用對(duì)合變換，可將剛體動(dòng)力學(xué)的擬Hamilton原理變換為

δπH2-δQH=0

(15)

式中

M·θ+FN·Xc+MN·θ)dt

其中, 系統(tǒng)的動(dòng)能為

(16)

系統(tǒng)的勢(shì)能為

U=-F·Xc-M·θ

(17)

系統(tǒng)的擬勢(shì)能為

Uq=-FN·Xc-MN·θ

(18)

系統(tǒng)的余虛功為

(19)

其先決條件為

(20)

以下通過推導(dǎo)剛體動(dòng)力學(xué)的擬Hamilton原理的擬駐值條件，得到其Lagrange方程。為此，將式(15)寫成展開形式δπH2-δQH=

FN·δXc+MN·δθ)dt=0

(21)

先決條件的變分式為

(22)

將式(22)代入式(21)，可得

δπH2-δQH=

(23)

應(yīng)用Green定理(分部積分)，考慮到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的對(duì)稱性，則有

(24)

(25)

將式(24)、(25)代入式(23)，并且按慣例在時(shí)域邊界t=t0和t=t1處，取δXc=0，δθ=0，可得

δπH2-δQH=

(26)

由于δXc，δθ的任意性，故由上式可得擬駐值條件為

(27)

(28)

這就是非保守系統(tǒng)剛體動(dòng)力學(xué)兩類變量的Lagrange方程。

如果將先決條件(20)代入式(27)、(28)，可得

(29)

(30)

這就是非保守系統(tǒng)剛體動(dòng)力學(xué)一類變量的Lagrange方程。

由以上分析可見，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)剛體動(dòng)力學(xué)，非保守系統(tǒng)的Lagrange方程等于保守系統(tǒng)的Lagrange方程加上非保守廣義力。需要說明一下，這里的相加一般指的是代數(shù)相加。

3 非保守系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)的Lagrange方程

3.1 推導(dǎo)非保守系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)的Lagrange方程

非保守系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)兩類變量的擬Hamilton原理：

δΠH2-δQH=0

(31)

式中:

其先決條件為

=0, 在V內(nèi)

(32)

(33)

(34)

將式(32)、(34)代入式(31)，可得

δΠH1-δQH=0

(35)

式中:

其先決條件為式(33)。這就是非保守系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)一類變量的擬Hamilton原理。其中，系統(tǒng)的動(dòng)能為

(36)

系統(tǒng)的勢(shì)能為

(37)

系統(tǒng)的擬勢(shì)能為

(38)

非保守系統(tǒng)的余虛功為

(39)

以下通過推導(dǎo)擬Hamilton原理的擬駐值條件得到Lagrange方程。為此，將式(35)寫成展開形式：

δΠH1-δQH=

(40)

進(jìn)行分部積分

(41)

將式(41)代入式(40)，按慣例在時(shí)域邊界t=t0和t=t1處取δu=0，并且考慮到位移邊界條件的變分式δu=0，可得

(42)

因?yàn)?/p>

(43)

故有

(44)

由于δu的任意性，故由式可得非保守彈性動(dòng)力學(xué)一類變量的Lagrange方程：

(45)

用類似的方法可以推導(dǎo)出非保守系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)兩類變量的Lagrange方程，不贅述。

3.2 應(yīng)用Lagrange方程推導(dǎo)非保守系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)的控制方程

非保守系統(tǒng)線性彈性動(dòng)力學(xué)的動(dòng)能可以表示為

(46)

線性彈性動(dòng)力學(xué)的勢(shì)能可以表示為

(47)

非保守系統(tǒng)線性彈性動(dòng)力學(xué)的擬勢(shì)能和余虛功可以表示為

(48)

(49)

位移邊界條件為

u-ū=0

(50)

Lagrange方程表示為

(51)

推導(dǎo)計(jì)算Lagrange方程中的各項(xiàng)：

(52)

勢(shì)能變導(dǎo)項(xiàng)的推導(dǎo)較為復(fù)雜：

(53)

(54)

(55)

應(yīng)用Green定理，并考慮到式(50)，可得

(56)

將相關(guān)各式代入Lagrange方程，可得

(58)

脫去積分號(hào)，可得非保守彈性動(dòng)力學(xué)控制方程：

u+u):a]-f-fN=0

(59)

(60)

先決條件為式(50)。

應(yīng)用類似方法，可得非保守彈性動(dòng)力學(xué)兩類變量的控制方程：

·ε:a-f-fN=0

(61)

ε:a·n-T-TN=0

(62)

由以上分析可見，對(duì)于連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)，當(dāng)作用非保守體積力和面積力時(shí)，“非保守系統(tǒng)的Lagrange方程等于保守系統(tǒng)的Lagrange方程加上非保守廣義力”的論述原則上是正確的，但是非保守體積力和面積力均取積分形式。

4 粘彈性動(dòng)力學(xué)的Lagrange方程

粘彈性動(dòng)力學(xué)的本構(gòu)方程由彈性和粘性兩部分組成，彈性部分服從廣義胡克定律，粘性部分服從廣義牛頓粘性定律。彈性部分的問題，在上一節(jié)中已得到解決；粘性部分的問題與粘性流體力學(xué)的問題相類似，由于本文作者較好的解決了Lagrange方程應(yīng)用于粘性流體動(dòng)力學(xué)的問題，這里應(yīng)用同樣的方法來解決粘彈性動(dòng)力學(xué)中粘性部分的問題。應(yīng)用Kelvin模型，粘彈性本構(gòu)關(guān)系(μ為粘性系數(shù))表示為

σ=a:ε+μ(v+v)(兩類變量)

(63)

(一類變量)

(64)

需要說明一下，在工程應(yīng)用中，多數(shù)文獻(xiàn)給出粘彈性本構(gòu)關(guān)系的簡(jiǎn)化形式。本文屬于基礎(chǔ)理論研究，這里給出的是粘彈性本構(gòu)關(guān)系的一般表達(dá)式。

非保守系統(tǒng)粘彈性動(dòng)力學(xué)兩類變量的擬Hamilton原理：

δΠH2-δQH=0

(65)

式中

其先決條件為

=0， 在V內(nèi)

(68)

(69)

(70)

將式(68)、(70)代入式(65)，可得

δΠH1-δQH=0

(71)

式中:

(72)

(73)

其先決條件為式(69)。這就是非保守系統(tǒng)粘彈性動(dòng)力學(xué)一類變量的擬Hamilton原理。其中，系統(tǒng)的動(dòng)能為

(74)

系統(tǒng)的勢(shì)能為

(75)

將粘性阻力引起的流體剪切應(yīng)力視為非保守廣義力，表示為τN=μ(vq+vq)，則系統(tǒng)的擬勢(shì)能為

(76)

非保守系統(tǒng)的余虛功為

(77)

參照第3節(jié)的論述，通過推導(dǎo)擬Hamilton原理的擬駐值條件得到粘彈性動(dòng)力學(xué)一類變量的Lagrange方程：

(78)

用類似的方法可以推導(dǎo)出非保守系統(tǒng)粘彈性動(dòng)力學(xué)兩類變量的Lagrange方程，不贅述。

同樣，參照第3節(jié)的論述，可以應(yīng)用粘彈性動(dòng)力學(xué)的Lagrange方程推導(dǎo)出粘彈性動(dòng)力學(xué)的控制方程：

(79)

(80)

應(yīng)用類似方法，可得非保守粘彈性動(dòng)力學(xué)兩類變量的控制方程：

·[ε:a+μ(v+v)]-f-fN=0

(81)

[ε:a+μ(v+v)]·n-T-TN=0

(82)

由以上分析可見，對(duì)于連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)，當(dāng)同時(shí)作用非保守體積力和面積力與非保守內(nèi)應(yīng)力時(shí)，“非保守系統(tǒng)的Lagrange方程等于保守系統(tǒng)的Lagrange方程加上非保守廣義力”的論述原則上是正確的，但是非保守體積力和面積力與非保守內(nèi)應(yīng)力均取積分形式。

5 結(jié)束語

本文采用Lagrange-Hamilton體系，對(duì)于保守系統(tǒng)，Lagrange方程是Hamilton原理的駐值條件；對(duì)于非保守系統(tǒng)，Lagrange方程是Hamilton型擬變分原理的擬駐值條件。借助于Hamilton型擬變分原理推導(dǎo)出Lagrange方程，并且應(yīng)用連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)的Lagrange方程推導(dǎo)其控制方程。論文涉及質(zhì)點(diǎn)剛體動(dòng)力學(xué)、非保守系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)和粘彈性動(dòng)力學(xué)，可以說較全面地解決了將Lagrange方程應(yīng)用于非保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的問題。

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Lagrange equation of non-conservative systems

ZHOU Ping1，3, LIANG Lifu2

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2. College of Aerospace and Civil Engineering Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 3. College of Mechanical Engineering, Heilongjiang University of Science and Technology, Harbin 150022, China)

How to apply the Lagrange equation to continuum dynamics has always been a theoretical subject in the academic field. How to apply the Lagrange equation to the problem of non-conservative continuum dynamics is even more difficult. The Lagrange equation of non-conservative systems is a quasi-stationary condition for the Hamiltonian quasi-variational principle of non-conservative systems using the Lagrange-Hamilton system. In this paper, the Lagrange equation was successfully applied to non-conservative continuum dynamics. Then, the governing equations of non-conservative continuum dynamics were deduced by the Lagrange equation of non-conservative systems, which opens up a new effective way of studying non-conservative continuum dynamics.

continuum dynamics; Lagrange equation; non-conservative system; quasi-variational principle; quasi-stationary condition; Lagrange-Hamilton system

2016-06-07.

日期：2017-01-11.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10272034).

周平(1978-), 女, 副教授； 梁立孚(1939-), 男, 教授,博士生導(dǎo)師.

梁立孚，E-mail: lianglifu@hrbeu.edu.cn.

10.11990/jheu.201606026

O313

A

1006-7043(2017)03-0452-08

周平, 梁立孚.非保守系統(tǒng)的Lagrange方程 [J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2017, 38(3):452-459.

ZHOU Ping, LIANG Lifu. Lagrange equation of non-conservative systems[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(3):452-459.

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