外嚙合珩齒的間齒嚙合過(guò)程分析

于渤, 石照耀, 林家春, 劉暢

(北京工業(yè)大學(xué) 北京市精密測(cè)控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京 100124)

外嚙合珩齒的間齒嚙合過(guò)程分析

于渤, 石照耀, 林家春, 劉暢

(北京工業(yè)大學(xué) 北京市精密測(cè)控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京 100124)

為了研究間齒珩齒加工方法中的空間間齒嚙合過(guò)程，將該過(guò)程分為標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程和頂刃嚙合過(guò)程。基于空間幾何學(xué)和嚙合原理，本文分別建立兩個(gè)嚙合過(guò)程的三維模型，得到各過(guò)程的接觸點(diǎn)，以及兩個(gè)齒面上接觸點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)跳牙蝸桿與齒輪的幾何關(guān)系，提出了確定各個(gè)過(guò)程分界點(diǎn)的方法。以具體參數(shù)的跳牙蝸桿與齒輪為例，對(duì)齒面上各個(gè)過(guò)程的接觸點(diǎn)跡線進(jìn)行三維仿真，并繪制接觸點(diǎn)跡線上不同位置的相對(duì)速度曲線圖，針對(duì)相對(duì)速度的大小和方向進(jìn)行了分析，為間齒珩齒加工機(jī)理的研究奠定基礎(chǔ)。繪制了整體誤差單元曲線，與實(shí)體求交法對(duì)比，完全吻合，驗(yàn)證了該模型的正確性。

間齒嚙合；三維仿真；相對(duì)速度；齒輪整體誤差；珩齒加工；頂刃嚙合

硬齒面齒輪具有承載能力強(qiáng)、耐磨性好和體積小等特點(diǎn)可以很好的滿足車用齒輪箱中所使用齒輪的要求，其加工成為了當(dāng)今齒輪制造業(yè)的熱點(diǎn)問(wèn)題[1]。硬齒面加工方式主要包括滾齒、插齒、剃齒、刮齒、磨齒和珩齒等[2]，其中，珩齒加工是一種前沿性的加工方法，適用于加工直齒輪、斜齒輪及內(nèi)外齒圓柱齒輪，能在一定程度上改善齒廓形狀和螺旋線精度[3]，有利于降低齒輪傳動(dòng)產(chǎn)生的噪聲，同時(shí)使表面殘余壓應(yīng)力提高，從而增加齒輪的耐磨性和使用壽命[1,4]。

珩齒可分為外嚙合珩齒和內(nèi)嚙合珩齒。主流的珩齒技術(shù)是內(nèi)嚙合珩齒，珩磨環(huán)和工件有更大重合度[5]，修正能力比外齒珩磨輪要強(qiáng)。內(nèi)嚙合珩齒設(shè)備價(jià)格高，推廣有難度。外嚙合珩齒機(jī)床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、造價(jià)低，其應(yīng)用不廣的主要原因是產(chǎn)生中凹齒形。外嚙合珩齒加工，重合度大于1，因此存在單嚙區(qū)和雙嚙區(qū)，導(dǎo)致加工過(guò)程中珩削力也是變化的，這就導(dǎo)致了外嚙合珩齒加工中產(chǎn)生中凹齒形。為了解決這個(gè)問(wèn)題，石照耀團(tuán)隊(duì)提出了基于間齒嚙合原理的外嚙合珩齒加工方法[6]。

間齒嚙合原理是伴隨著整體誤差測(cè)量技術(shù)而提出的。20世紀(jì)70年代，黃潼年[7]提出了整體誤差測(cè)量技術(shù)。張兆龍等[8]設(shè)計(jì)了一種具有三種齒的特殊標(biāo)準(zhǔn)齒輪用來(lái)進(jìn)行齒輪測(cè)量，其中也用到了間齒嚙合過(guò)程。FRENCO公司的Pommer[9]利用高于齒面的軌跡線設(shè)計(jì)了標(biāo)準(zhǔn)齒輪，提出了用于齒輪高速測(cè)量的RollScan技術(shù)。何鳳寶等[10]將間齒嚙合原理拓展到剃齒領(lǐng)域，糾正了齒形中凹。石照耀等[11]考慮成對(duì)齒輪的使用，提出了基于齒輪副整體誤差的齒輪動(dòng)力學(xué)模型。石照耀等[12]利用實(shí)體求交算法，在三維空間中，繪制了整體誤差單元曲線。雖然有關(guān)齒輪嚙合模型的研究不勝枚舉。李特文[13]對(duì)齒輪嚙合理論進(jìn)行了大量的研究，不僅研究了標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪、錐齒輪和面齒輪的三維嚙合模型，還對(duì)修形齒輪的嚙合過(guò)程進(jìn)行建模分析。隨后，不少學(xué)者在此基礎(chǔ)上繼續(xù)研究，完成特殊形狀齒輪的嚙合過(guò)程建模。但目前缺乏關(guān)于間齒嚙合原理三維模型的研究。

本文為齒輪嚙合原理補(bǔ)充了間齒嚙合原理的內(nèi)容。運(yùn)用空間幾何學(xué)，建立了整個(gè)間齒嚙合過(guò)程的三維模型，該模型可用于計(jì)算接觸點(diǎn)的位置、接觸點(diǎn)處的相對(duì)速度和計(jì)算整體誤差單元曲線等。根據(jù)實(shí)際接觸過(guò)程的幾何關(guān)系，給出了計(jì)算分界點(diǎn)的方法。

1 間齒嚙合原理

以整體誤差測(cè)量為例，說(shuō)明間齒嚙合原理。整體誤差測(cè)量采用測(cè)量蝸桿與被測(cè)齒輪嚙合來(lái)實(shí)現(xiàn)齒輪的測(cè)量，測(cè)量蝸桿與傳統(tǒng)測(cè)量蝸桿不同的是，該測(cè)量蝸桿只保留一頭作為測(cè)量功能使用，對(duì)其他頭進(jìn)行減薄，使它們?cè)跍y(cè)量過(guò)程中不參與嚙合，如圖1。在整體誤差測(cè)量整個(gè)過(guò)程中，保證只有一個(gè)齒接觸，這一個(gè)齒的完整嚙合過(guò)程就是間齒嚙合過(guò)程。

二維間齒嚙合全過(guò)程分為三個(gè)過(guò)程：齒輪頂刃嚙合過(guò)程(K1K2)、標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線嚙合過(guò)程(K2K3)和齒條頂刃嚙合過(guò)程(K3K4)[6]，如圖2。與二維情況相同，三維間齒嚙合過(guò)程同樣分為上述三個(gè)過(guò)程，不同的是參與嚙合的元素由平面曲線變成了空間曲面。在這三個(gè)過(guò)程中，兩個(gè)頂刃嚙合過(guò)程具有相似性，可以按照相同的嚙合過(guò)程研究。

圖1 跳牙蝸桿Fig.1 Tooth-skipped worm

圖2 間齒嚙合過(guò)程Fig.2 Tooth-skipped meshing process

2 漸開(kāi)螺旋齒面模型

齒面模型是研究空間嚙合原理的基礎(chǔ)，嚙合過(guò)程中的一些特殊性質(zhì)都是通過(guò)對(duì)特定齒面模型研究而獲得的。對(duì)于不同類型的齒面模型的建立，李特文等[13-14]都進(jìn)行了深入的研究，建立適合自己研究?jī)?nèi)容的對(duì)應(yīng)齒面方程形式，并獲得了嚙合過(guò)程中的特殊性質(zhì)。為了更好地研究間齒嚙合原理，本文也建立了符合本研究的齒面模型形式。

漸開(kāi)螺旋齒輪和漸開(kāi)線蝸桿的齒面都是漸開(kāi)螺旋面，它是由一根與基圓柱相切，并且與軸線有固定夾角的直線沿著基圓柱滾動(dòng)而形成的空間曲面，如圖3所示。根據(jù)空間幾何學(xué)可知，2個(gè)變量可以確定一個(gè)空間曲面，與其他學(xué)者建立齒面的思路相似，本文也采用2個(gè)變量建立漸開(kāi)螺旋面方程，其中一個(gè)變量為軸向位置z，另一個(gè)變量為θ角，θ角是漸開(kāi)線展開(kāi)角與壓力角的和。θ角可以確定某一軸向位置的端截面上的齒形形狀，z可以確定該端截面齒形對(duì)應(yīng)的軸向位置。通過(guò)這兩個(gè)變量，可以確定齒面上的兩條特征線，當(dāng)z取固定值時(shí)，得到一條漸開(kāi)線狀齒形線，即為θ線；當(dāng)θ角固定時(shí)，得到一條螺旋線，即為z線，該螺旋線以θ角處齒面上點(diǎn)到軸線的距離為半徑，導(dǎo)程與漸開(kāi)螺旋面的導(dǎo)程相同。

圖3 漸開(kāi)螺旋面模型Fig.3 Model of the involute helicoid

圖3中M點(diǎn)為漸開(kāi)螺旋面上任意一點(diǎn)，根據(jù)空間幾何關(guān)系，該點(diǎn)的位置為

r=OE+EF+FM=xi+yj+zk

(1)

其中

x=OEcos(τ+μ+θ)+FMsin(τ+μ+θ)=rbcos(τ+μ+θ)+θrbsin(τ+μ+θ)

y=OEsin(τ+μ+θ)-FMcos(τ+μ+θ)=rbsin(τ+μ+θ)-θrbcos(τ+μ+θ)

z=EF=z

式中：rb為基圓柱半徑，τ為該齒面對(duì)應(yīng)的位置角。在ΔAEC內(nèi)可以確定tanβb=rb/p，p為導(dǎo)程，βb為基圓螺旋角，因此μ=ztanβb/rb。

如果考慮齒輪嚙合過(guò)程中的轉(zhuǎn)角φ，漸開(kāi)螺旋面方程可表示為

(2)

其中，αt=τ+ztanβb/rb+θ+φ。

空間曲面上一點(diǎn)處任意兩個(gè)不共線的切向量的叉乘可以得到該點(diǎn)的法向量，因此漸開(kāi)螺旋面的法向量可以由下式：

(3)

3 間齒嚙合接觸點(diǎn)計(jì)算

為了更好地研究間齒嚙合過(guò)程，建立了對(duì)應(yīng)的空間坐標(biāo)系，如圖4所示。S1(O1-X1,Y1,Z1)和S2(O2-X2,Y2,Z2)分別是與蝸桿和齒輪固連的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，Z1和Z2分別與蝸桿和齒輪的軸線重合。Sc(Oc-Zc,Zc,Zc)和Sg(Og-Zg,Zg,Zg)分別是蝸桿和齒輪的靜止坐標(biāo)系，Zc和Zg分別與蝸桿和齒輪的軸線重合。λ為蝸桿與齒輪軸線的軸交角，ro1和ro2分別為蝸桿和齒輪的分度圓半徑。

圖4 空間嚙合坐標(biāo)系Fig.4 Coordinates of the space meshing process

3.1 標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程

標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程就是交錯(cuò)軸漸開(kāi)螺旋齒輪嚙合過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，蝸桿與齒輪以固定傳動(dòng)比勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。由李特文的研究可知，接觸點(diǎn)處的法線，即嚙合線，通過(guò)工作節(jié)圓柱切點(diǎn)T[13]，如圖5所示。因此，在蝸桿中有

(4)

式中：(xTc,yTc,zTc)為T點(diǎn)在坐標(biāo)系Sc中的坐標(biāo)，(xn1c,yn1c,zn1c)為蝸桿在接觸點(diǎn)處齒面法向的方向向量，xTc=ro1，yTc=0，zTc=0。式(4)中存在兩個(gè)等號(hào)，第一個(gè)等號(hào)可以得到

cos(τ1+μ1+θ1+φ1)=rb1/ro1

(5)

圖5 嚙合線Fig.5 Action line

由式(4)的第二個(gè)等號(hào)可以得到

θ1-tanαt1=μ1cot2βb1

(6)

將兩個(gè)等號(hào)所得到的方程組成方程組：

(7)

解方程組(7)可以得到

(8)

將式(8)代入齒面方程(2)中，可以得到單個(gè)漸開(kāi)螺旋面接觸點(diǎn)方程為

(9)

式(9)只能得到單個(gè)漸開(kāi)螺旋面上接觸點(diǎn)，并不能明確兩個(gè)曲面上接觸點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為了得到兩個(gè)齒面之間的關(guān)系，需要將兩個(gè)齒面聯(lián)合考慮，在齒面接觸點(diǎn)處有以下性質(zhì)：

(10)

通過(guò)化簡(jiǎn)式(10)，可以得到

φ1rb1cosβb1+φ2rb2cosβb2=

rb1cosβb1(αt1-tanαt1)+rb2cosβb2(αt2-tanαt2)

(11)

式(11)揭示了轉(zhuǎn)角φ1和φ2之間的關(guān)系，除了轉(zhuǎn)角φ1和φ2以外，其他參數(shù)都是常量，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可以得到dφ1/dφ2=rb2cosβb2/rb1cosβb1，即漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程中，蝸桿和齒輪以固定傳動(dòng)比轉(zhuǎn)動(dòng)。

最終，通過(guò)式(9)、(11)可以確定該過(guò)程漸開(kāi)螺旋面上接觸點(diǎn)跡線及其對(duì)應(yīng)關(guān)系。

3.2 頂刃嚙合過(guò)程

在間齒嚙合原理中，兩個(gè)齒輪在嚙合過(guò)程中存在頂刃嚙合過(guò)程。設(shè)蝸桿轉(zhuǎn)動(dòng)為主動(dòng)運(yùn)動(dòng)，那么齒輪頂刃嚙合過(guò)程發(fā)生在標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合之前，此過(guò)程中齒輪的齒頂在蝸桿的齒面上刮行。蝸桿頂刃嚙合過(guò)程發(fā)生在標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合之后，此過(guò)程中蝸桿的齒頂在齒輪的齒面上刮行。齒輪或蝸桿的齒頂為一條螺旋線，螺旋線半徑為齒頂圓半徑，那么頂刃嚙合過(guò)程實(shí)際上是一條螺旋線與漸開(kāi)螺旋面嚙合的過(guò)程[15]，如圖6。本節(jié)以齒輪頂刃嚙合過(guò)程為例，建立模型，蝸桿頂刃嚙合過(guò)程與此相同。首先要建立蝸桿的齒面模型和齒輪的齒頂螺旋線模型，齒面模型在第2節(jié)中已經(jīng)給出。

在坐標(biāo)系S2中，建立齒輪的齒頂螺旋線方程：

(12)

將式(12)轉(zhuǎn)化到坐標(biāo)系Sc中，可得

(13)

其中，ξ2=τ2+z2tanβb2/rb2+θa2-αa2+φ2，其切向量可表示為

(14)

由于漸開(kāi)螺旋面與螺旋線在某一點(diǎn)相切，那么在這一點(diǎn)應(yīng)該滿足以下條件：

(15)

式(2)、(14)代入式(15)中，得到

(16)

式(16)中的未知量為z1、θ1、φ1、z2、φ2，當(dāng)給定轉(zhuǎn)角φ2時(shí)，可以確定對(duì)應(yīng)的其他未知量，從而得到頂刃嚙合過(guò)程接觸點(diǎn)坐標(biāo)。

4 分界點(diǎn)分析

圖7 二維間齒嚙合過(guò)程的分界點(diǎn)Fig.7 Demarcation points of 2-D tooth-skipped meshing process

間齒嚙合的每個(gè)過(guò)程都存在分界點(diǎn)，整個(gè)過(guò)程中共有4個(gè)分界點(diǎn)：齒輪頂刃嚙合過(guò)程起始點(diǎn)、漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程起始點(diǎn)、漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程終止點(diǎn)和蝸桿頂刃嚙合過(guò)程終止點(diǎn)?？蓪⑦@四個(gè)點(diǎn)分為兩類，一類是標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程起始點(diǎn)，另一類是頂刃嚙合過(guò)程起始點(diǎn)。蝸桿漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程起始點(diǎn)與齒輪漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程終止點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的，蝸桿漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程終止點(diǎn)與齒輪漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程起始點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的。同理，頂刃嚙合過(guò)程的起始終止點(diǎn)也是相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此只要給出計(jì)算頂刃嚙合過(guò)程起始點(diǎn)和漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程起始點(diǎn)的方法，就可以獲得蝸桿和齒輪嚙合的四個(gè)分界點(diǎn)。蝸桿的四個(gè)分界點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為φ11、φ12、φ13和φ14，齒輪的四個(gè)分界點(diǎn)轉(zhuǎn)角為φ21、φ22、φ23和φ24，根據(jù)以上的分析，可以得到當(dāng)蝸桿轉(zhuǎn)到φ11、φ12、φ13和φ14時(shí)，齒輪對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)到φ24、φ23、φ22和φ21，圖7為二維間齒嚙合過(guò)程分界點(diǎn)對(duì)應(yīng)圖[6]，三維間齒嚙合過(guò)程對(duì)應(yīng)關(guān)系與此相同。4.1 標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程起始點(diǎn)

蝸桿的漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程起始點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是齒輪的齒頂剛剛進(jìn)入漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程，此位置同時(shí)具有漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程和頂刃嚙合過(guò)程的特征。在頂刃嚙合過(guò)程中，有θ2=θa2。在漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程中，式(8)對(duì)于與蝸桿嚙合的齒輪同樣成立，只是參數(shù)的腳標(biāo)改為2，將θ2=θa2代入到式(8)的第2個(gè)等式中，可以得到齒輪漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程終止點(diǎn)轉(zhuǎn)角：

φ23=(αt2cos2βb2-θa2+tanαt2sin2βb2)/cos2βb2

已知轉(zhuǎn)角φ23與蝸桿漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程起始點(diǎn)轉(zhuǎn)角φ12是對(duì)應(yīng)的，第3.1節(jié)中的式(11)表示了轉(zhuǎn)角φ1和轉(zhuǎn)角φ2之間的關(guān)系。因此，將φ23代入到式(11)可以得到轉(zhuǎn)角φ12。

同理，可以求出蝸桿漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程終止點(diǎn)轉(zhuǎn)角φ13與齒輪漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程起始點(diǎn)轉(zhuǎn)角φ22。

4.2 頂刃嚙合起始點(diǎn)

與整體誤差測(cè)量中所使用的測(cè)量蝸桿相同，跳牙蝸桿可以選用2頭、3頭或者更多頭數(shù)，本文以頭數(shù)為3的跳牙蝸桿為例進(jìn)行研究，其第2頭和第3頭為減薄齒以確保在嚙合過(guò)程中不與齒輪接觸。

如圖7所示，當(dāng)蝸桿從φ11轉(zhuǎn)到φ14的同時(shí)，齒輪則從φ24轉(zhuǎn)到φ21，嚙合過(guò)程中，蝸桿與齒輪分別轉(zhuǎn)動(dòng)了3個(gè)齒，因此

(17)

(18)

在齒輪頂刃嚙合過(guò)程起始點(diǎn)處，式(16)成立。在齒輪頂刃嚙合過(guò)程終止點(diǎn)處，需要將式(16)中參數(shù)的腳標(biāo)1、2對(duì)調(diào)，得到另一個(gè)方程組。將這2個(gè)方程組與式(17)和式(18)聯(lián)立，得到一個(gè)具有10個(gè)方程的新方程組，同時(shí)也具有10個(gè)未知數(shù)，因此可以求解得到所有未知數(shù)，包括φ11、φ14、φ21和φ24。

5 間齒嚙合三維仿真

為了更好地了解間齒嚙合過(guò)程，本節(jié)以具體參數(shù)的蝸桿和齒輪為例，進(jìn)行間齒嚙合三維仿真。仿真中所使用的模型為前文所建立的三維模型，采用C++語(yǔ)言編程對(duì)模型進(jìn)行求解，然后將其結(jié)果進(jìn)行顯示。實(shí)例中所用蝸桿和齒輪參數(shù)見(jiàn)表1。該仿真實(shí)例主要展示了三個(gè)內(nèi)容：1)繪制間齒嚙合過(guò)程齒面接觸點(diǎn)跡線圖，清晰地顯示三維間齒嚙合過(guò)程接觸點(diǎn)軌跡，得到運(yùn)動(dòng)規(guī)律；2)接觸點(diǎn)相對(duì)速度圖，顯示了間齒嚙合過(guò)程中，接觸點(diǎn)處的相對(duì)速度大小和方向；3)整體誤差單元曲線圖，與其他方法對(duì)比，驗(yàn)證了模型正確性。

5.1 齒面接觸點(diǎn)跡線

利用C++語(yǔ)言編程，對(duì)上文建立的間齒嚙合三維模型進(jìn)行求解，可以獲得齒面接觸跡線的離散坐標(biāo)，將這些坐標(biāo)值導(dǎo)入到仿真軟件，繪制三維圖，便可以得到齒面接觸點(diǎn)跡線。

圖8為齒輪齒面的接觸點(diǎn)跡線圖。位于齒面中部，占接觸點(diǎn)跡線主要部分的是標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程的接觸點(diǎn)跡線。齒頂部分為齒輪頂刃嚙合過(guò)程的接觸點(diǎn)跡線，由于整個(gè)過(guò)程中只有齒輪的齒頂參與嚙合，因此接觸點(diǎn)全部位于齒頂，這也是頂刃嚙合這個(gè)名字的由來(lái)，這個(gè)過(guò)程可以用于齒輪加工過(guò)程中的齒頂?shù)估夤ば?。位于齒根部分，與標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程接觸點(diǎn)跡線有一定夾角的跡線為蝸桿頂刃嚙合過(guò)程的接觸點(diǎn)跡線，這一過(guò)程表示間齒嚙合過(guò)程中，在完成了標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程后，接觸點(diǎn)反向移動(dòng)，從齒面齒根開(kāi)始向齒頂移動(dòng)，有效的利用該過(guò)程，可以進(jìn)行齒根部分的修形加工。

表1 蝸桿與齒輪參數(shù)

圖8 齒輪齒面接觸點(diǎn)跡線Fig.8 Trail of the contact point on the flank of the gear

圖9為蝸桿齒面的接觸點(diǎn)跡線圖，與圖8相比較，由于接觸點(diǎn)跡線過(guò)長(zhǎng)，并不容易看出規(guī)律，但是實(shí)際上，蝸桿齒面上接觸點(diǎn)跡線的規(guī)律與齒輪齒面上的跡線規(guī)律相同。

5.2 相對(duì)速度

計(jì)算接觸點(diǎn)處兩個(gè)齒面的相對(duì)速度有助于間齒珩齒機(jī)理的研究。通過(guò)相對(duì)速度的方向可以確定磨削截面的位置，并且兩個(gè)齒面在接觸點(diǎn)處沿著相對(duì)速度方向的分量比值可用于G. Wener磨削力模型來(lái)計(jì)算接觸點(diǎn)處的磨削力[16]。

圖9 蝸桿齒面接觸點(diǎn)跡線Fig.9 Trail of the contact point on the flank of the worm

圖10 相對(duì)速度Fig.10 Relative speed

在整個(gè)間齒嚙合過(guò)程中，蝸桿與齒輪都是時(shí)刻接觸的，因此，給定其中一個(gè)元素的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，另一個(gè)元素的運(yùn)動(dòng)也是確定的。設(shè)定蝸桿以角速度1 000 r/min轉(zhuǎn)動(dòng)，由于間齒嚙合并非標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合，其整個(gè)嚙合過(guò)程中，對(duì)應(yīng)齒輪的轉(zhuǎn)速也就不是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)第3節(jié)的模型可以建立蝸桿與齒輪之間的轉(zhuǎn)速關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，可以得到同一接觸點(diǎn)在蝸桿和齒輪上的速度，也就獲得了接觸點(diǎn)處的相對(duì)速度，如圖10。由于實(shí)例為蝸桿和齒輪傳動(dòng)，因此相對(duì)速度沿著軸向的分量遠(yuǎn)大于沿著端面漸開(kāi)線切線方向的速度分量，在圖10中并不能明顯的顯示出相對(duì)速度方向，圖11(b)更好地說(shuō)明了相對(duì)速度方向。

圖11展示了整個(gè)過(guò)程中接觸點(diǎn)相對(duì)速度大小和方向。圖11(a)是在齒輪齒面上，接觸點(diǎn)相對(duì)速度大小與半徑的關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程中，從齒根到齒頂，相對(duì)速度逐漸減?。晃仐U頂刃嚙合過(guò)程中，相對(duì)速度大小基本恒定；齒輪頂刃嚙合過(guò)程中，距離標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程越遠(yuǎn)，相對(duì)速度越大。圖11(b)是接觸點(diǎn)相對(duì)速度和θ線夾角與半徑的關(guān)系。虛線為分度圓位置，該位置相對(duì)速度方向?yàn)閦線的切線方向，其他位置速度方向以分度圓為界限，分別指向齒頂和齒根。根據(jù)這個(gè)現(xiàn)象采用間齒珩齒加工齒輪可以在齒面上形成交叉網(wǎng)紋，交叉網(wǎng)紋有利于提高齒輪傳動(dòng)質(zhì)量[17]。但是間齒珩齒加工形成的網(wǎng)紋之間的夾角非常小，接近于平行線紋理，可以通過(guò)改變跳牙蝸桿狀珩磨輪的參數(shù)來(lái)增加網(wǎng)紋之間的夾角。

圖11 相對(duì)速度曲線Fig.11 Curve of the relative speed

5.3 齒輪整體誤差單元曲線

間齒嚙合原理起源于齒輪整體誤差測(cè)量技術(shù)，該模型可以建立整體誤差單元曲線。整體誤差單元曲線是整體誤差測(cè)量過(guò)程中的理論曲線，每一個(gè)齒在間齒嚙合過(guò)程中都對(duì)應(yīng)著一條單元曲線。單元整體誤差曲線實(shí)際上是一個(gè)齒進(jìn)行間齒嚙合過(guò)程中的傳動(dòng)誤差曲線，滿足：

Δφ2=φ2-φ1Z1/Z2

利用本文中的空間間齒嚙合模型建立的單元整體誤差曲線如圖12所示，與實(shí)體求交法[12]獲得的單元整體誤差曲線進(jìn)行對(duì)比，兩者完全吻合，實(shí)體求交法得到的曲線長(zhǎng)于本文方法得到的曲線，這是因?yàn)閷?shí)體求交法并沒(méi)有計(jì)算分界點(diǎn)，計(jì)算的角度超過(guò)了分界點(diǎn)，在實(shí)際間齒嚙合過(guò)程中，這部分曲線是不存在的。

圖12 齒輪單元整體誤差曲線Fig.12 Gear integrated error unit curve

6 結(jié)論

1) 將間齒嚙合過(guò)程分為標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)螺旋面嚙合過(guò)程和頂刃嚙合過(guò)程，通過(guò)空間幾何學(xué)和嚙合原理，分別建立了兩個(gè)過(guò)程的三維模型。根據(jù)跳牙蝸桿和齒輪之間的幾何關(guān)系，提出了各個(gè)過(guò)程之間分界點(diǎn)的確定方法。

2) 以具體參數(shù)的跳牙蝸桿和齒輪為例，對(duì)蝸桿和齒輪齒面上的接觸點(diǎn)軌跡進(jìn)行三維仿真，分析了接觸點(diǎn)在齒面上的分布規(guī)律，頂刃嚙合過(guò)程中的特殊運(yùn)動(dòng)規(guī)律經(jīng)過(guò)變化，可用于齒頂?shù)估夂妄X根修形加工。

3) 繪制了接觸點(diǎn)處的相對(duì)速度曲線，得到了接觸過(guò)程中相對(duì)速度大小和方向的變化規(guī)律，相對(duì)速度大小有助于研究間齒珩齒機(jī)理，相對(duì)速度的方向可作為跳牙蝸桿狀珩磨輪設(shè)計(jì)的參考。

4) 繪制了齒輪整體誤差單元曲線，與實(shí)體求交法得到的單元整體誤差曲線完全相同，驗(yàn)證了文本模型的正確性。

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Analysis of the tooth-skipped meshing process of the external-meshing gear honing

YU Bo, SHI Zhaoyao, LIN Jiachun, LIU Chang

(Beijing Engineering Research Center of Precision Measurement Technology and Instruments, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

In order to research the spatial tooth-skipped meshing process in the tooth-skipped gear honing, the process was divided into the standard involute helicoid meshing process and the addendum meshing process. Based on the space geometry and the gearing principle, this paper established a 3D model of each process that included the position of the contact points of each process and the relation between them. The method to calculate the demarcation points of each process was proposed according to the geometry relation between the tooth-skipped worm and the gear. An example of the tooth-skipped worm and the gear with specific parameters was given to simulate the trail of the contact points of each process. In addition, the curves of the relative speed at different locations of the contact trail were drafted, and the direction and the value of the relative speed were analyzed, which can lay a foundation for the research of the tooth-skipped gear honing mechanism. An integrated error unit curve was drafted, and comparison with the entity intersection method shows that they are completely coinciding, verifying the correctness of the model.

tooth-skipped meshing; 3D simulation; relative speed; integrated gear error; gear honing; tip meshing

2015-12-13.

日期：2017-01-11.

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(51375026)；北京市基金面上項(xiàng)目(3132009).

于渤(1987-), 男, 博士研究生; 石照耀(1964-), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師，長(zhǎng)江學(xué)者.

石照耀, E-mail: shizhaoyao@bjut.edu.cn.

10.11990/jheu.201512042

TH111

A

1006-7043(2017)03-0425-08

于渤, 石照耀, 林家春，等.外嚙合珩齒的間齒嚙合過(guò)程分析[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2017, 38(3): 425-432.

YU Bo, SHI Zhaoyao, LIN Jiachun，et al.Analysis of the tooth-skipped meshing process of the external-meshing gear honing[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(3): 425-432.

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