緊扣實(shí)質(zhì) 優(yōu)化細(xì)節(jié)
——以《烙餅問(wèn)題》教學(xué)為例

王相春

近期，筆者參加了一次同課異構(gòu)活動(dòng)，課題是《烙餅問(wèn)題》（人教版四年級(jí)上冊(cè)第105頁(yè)）。在聽(tīng)課過(guò)程及交流評(píng)課中，引發(fā)了筆者對(duì)這節(jié)課教學(xué)的一些思考，寫下來(lái)與各位同行交流學(xué)習(xí)。

一、本節(jié)課的教學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？

眾所周知，“數(shù)學(xué)廣角”中的教學(xué)內(nèi)容題材豐富、生動(dòng)有趣，富有思考與探究空間。其實(shí)質(zhì)是通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)素材，比較系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，重視解決問(wèn)題的探究過(guò)程，呈現(xiàn)或突出學(xué)生的思考過(guò)程，獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

那么，《烙餅問(wèn)題》這節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法是什么？需要經(jīng)歷哪些探究過(guò)程呢？又會(huì)積累哪些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

在《烙餅問(wèn)題》的前一課時(shí)《沏茶問(wèn)題》中，學(xué)生知道了一些優(yōu)化的方法，即合理安排做事的環(huán)節(jié)，可以節(jié)省時(shí)間。教材通過(guò)日常生活中的烙餅事例，“怎樣才能盡快吃上餅”這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，引發(fā)了本節(jié)課對(duì)“最優(yōu)烙餅方案”的數(shù)學(xué)探究與思考。解決一個(gè)問(wèn)題，需要思考有哪些方案或途徑，在這些方案或途徑中，哪個(gè)又是最優(yōu)、最節(jié)省時(shí)間的？需要進(jìn)行比較和探究。這樣一種思維、發(fā)現(xiàn)、體驗(yàn)與感悟，是非常有價(jià)值的。這就是教材的編寫意圖，也是人教版教材編寫“數(shù)學(xué)廣角”的價(jià)值所在，魅力所在?！袄语灐边@樣一個(gè)或一類于現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)卻沒(méi)有被關(guān)注的事例，通過(guò)我們的教學(xué)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這其中有數(shù)學(xué)問(wèn)題，也有思維策略，從而積累一些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、教學(xué)過(guò)程中幾個(gè)細(xì)節(jié)的再優(yōu)化

1.烙餅方法的多種表征手段的融合與優(yōu)化。

烙餅方法，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)應(yīng)該是比較抽象、不易理解的，雖然學(xué)生在生活中接觸過(guò)烙餅的情境，但缺乏烙餅的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。

因而，我們要讓學(xué)生經(jīng)歷烙餅的過(guò)程，體驗(yàn)不同的烙餅方法及結(jié)果，這樣的環(huán)節(jié)必不可少。比如，烙三張餅時(shí)，就需要充分的展開，安排學(xué)生動(dòng)手操作（以桌面代替鍋，以圓片代替餅）。在動(dòng)手操作時(shí)，還要讓學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)烙餅的過(guò)程，邊操作邊講，并把過(guò)程記錄下來(lái)，邊說(shuō)邊記。從操作到語(yǔ)言，語(yǔ)言到圖示，各種表征方法融合在一起，從具體到抽象，從抽象到形象，讓學(xué)生充分經(jīng)歷烙餅的過(guò)程。然而，語(yǔ)言層次的表述比較困難，學(xué)生往往詞不達(dá)意，但這樣的環(huán)節(jié)卻必不可少，因?yàn)樗季S必然要經(jīng)歷一個(gè)從混沌到清晰的過(guò)程。因此，可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用符號(hào)、圖示、數(shù)字等表達(dá)操作過(guò)程或思維過(guò)程，使過(guò)程表述變得清晰明了。

怎樣記錄烙餅的過(guò)程呢？教師一般會(huì)這樣板書（如上圖），這似乎沒(méi)有什么問(wèn)題。然而，學(xué)生在概括時(shí)往往答非所問(wèn)或者比較困難。如果在板書上再加一個(gè)圈，即是否滿鍋顯而易見(jiàn)，容易比較得出結(jié)論也省時(shí)。即前者空著位置，后者是滿鍋的。空著位置，烙的次數(shù)多，時(shí)間也多。在討論時(shí)，大家比較認(rèn)同這樣一個(gè)細(xì)節(jié)的優(yōu)化。

2.多個(gè)餅的烙法要適時(shí)進(jìn)行優(yōu)化。

烙三個(gè)餅的最優(yōu)方案，讓學(xué)生動(dòng)手操作探究是非常有必要的。那么，當(dāng)餅數(shù)增加時(shí)，是否還需要依次讓學(xué)生動(dòng)手操作呢？筆者認(rèn)為，要適可而止。因三個(gè)餅“交替烙”的負(fù)遷移，烙四個(gè)餅時(shí)，學(xué)生也會(huì)出現(xiàn)“交替烙”的情況，我們不妨讓學(xué)生再次動(dòng)手操作，通過(guò)“兩個(gè)兩個(gè)地烙”與“交替烙”的比較，感悟不同條件應(yīng)選用不同的烙餅方法。

在討論五個(gè)餅的烙法時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生脫離操作，對(duì)操作方法進(jìn)行抽象，然后討論，有意識(shí)地讓學(xué)生對(duì)餅數(shù)分組，運(yùn)用已有的結(jié)論去解決問(wèn)題。這樣做有幾個(gè)好處：其一，能提高課堂的效率。如果三個(gè)也操作，五個(gè)也操作，讓學(xué)生繼續(xù)停留在操作的層面，而謂之為讓學(xué)生體驗(yàn)，筆者認(rèn)為沒(méi)有意義。教學(xué)應(yīng)該適時(shí)進(jìn)行提升，讓學(xué)生掌握運(yùn)用已有的知識(shí)去解決未知的東西，這種思想應(yīng)該是必備的。其二，讓學(xué)生體會(huì)到分組解決問(wèn)題的便捷性。最后，讓學(xué)生體會(huì)遷移的思想。為后面多個(gè)餅的烙法提供一個(gè)策略，或者說(shuō)是一個(gè)模型。

3.經(jīng)歷規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，優(yōu)化觀察的結(jié)論。

幾位教師通過(guò)多個(gè)餅的探討，形成了一張表格（見(jiàn)上圖），然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，提問(wèn)發(fā)現(xiàn)了什么？當(dāng)學(xué)生說(shuō)餅數(shù)與次數(shù)相同時(shí)，教師馬上進(jìn)行“餅數(shù)×每面烙的時(shí)間=總時(shí)間”這個(gè)數(shù)量關(guān)系的引導(dǎo)與概括（且不說(shuō)這個(gè)數(shù)量關(guān)系的正確與否），然后就安排練習(xí)的環(huán)節(jié)。

筆者認(rèn)為，這樣安排有“走過(guò)場(chǎng)”的形式之嫌。經(jīng)過(guò)多個(gè)餅的探討而有意識(shí)形成的表格，是一個(gè)非常好的教學(xué)資源，應(yīng)該放手、留足時(shí)間讓學(xué)生經(jīng)歷多個(gè)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，所以讓學(xué)生經(jīng)歷從一堆數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進(jìn)行探因，是有必要的。

如果說(shuō)餅數(shù)與次數(shù)之間存在相等關(guān)系（一個(gè)餅除外），這個(gè)發(fā)現(xiàn)是容易的，也是比較直觀的。那么“餅數(shù)都是分成兩個(gè)兩個(gè)或兩個(gè)兩個(gè)與三個(gè)”，這個(gè)發(fā)現(xiàn)卻是有價(jià)值的。為什么有這種分組？是因?yàn)榍懊娴奶骄啃纬闪艘环N思維上的策略，分組也就意味著利用已掌握的方法或規(guī)律去解決問(wèn)題。

餅數(shù)與次數(shù)相等時(shí)（一個(gè)餅除外），多數(shù)教師急于引出“餅數(shù)×每面烙餅時(shí)間＝總時(shí)間”這個(gè)數(shù)量關(guān)系，并計(jì)算多個(gè)餅的總時(shí)間。那這個(gè)數(shù)量關(guān)系正確嗎？在這道題目里看是正確的，因?yàn)轱灁?shù)與次數(shù)相等。然而，當(dāng)條件發(fā)生變化時(shí)，顯然不正確。那么，這個(gè)數(shù)量關(guān)系的提出是否有必要？筆者認(rèn)為，可以有這個(gè)過(guò)程，但需要引導(dǎo)學(xué)生探究一下數(shù)量關(guān)系的背后是什么原因。因?yàn)檫@個(gè)數(shù)量關(guān)系的背后實(shí)則是有一種“轉(zhuǎn)化”的思想。一個(gè)鍋每次烙好兩個(gè)面，相當(dāng)于一個(gè)餅的兩面，即一次能烙好一個(gè)餅，幾個(gè)餅就要烙幾次。把每次烙好餅的面數(shù)，轉(zhuǎn)化為一次烙好幾個(gè)餅。這個(gè)轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)換的思想非常具有推廣價(jià)值。所以表面上的規(guī)律總結(jié)，還需要再挖掘一次才顯得更加科學(xué)。

三、時(shí)間不夠用——一個(gè)不能回避的問(wèn)題

“烙餅”所蘊(yùn)含的優(yōu)化思想得以滲透或感悟，需要讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程。這個(gè)過(guò)程包括觀察、操作、思考、交流和概括。

通過(guò)動(dòng)手操作去“烙一烙”，直接感知“同時(shí)烙”和“交替烙”的烙餅方案，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)才會(huì)積累，理解才會(huì)深刻。操作也許是表面的體驗(yàn)，知識(shí)的內(nèi)化還需要讓學(xué)生經(jīng)歷思考與交流。為什么“交替烙”能節(jié)省時(shí)間？為什么每次烙兩個(gè)餅時(shí)，餅數(shù)（一個(gè)餅除外）會(huì)與烙的次數(shù)相等？通過(guò)觀察、思考、交流，所產(chǎn)生的智慧的碰撞，還需要教師能夠抓住時(shí)機(jī)，適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去概括和提升，這樣才會(huì)加深對(duì)知識(shí)的理解，才會(huì)積累思考的經(jīng)驗(yàn)，才會(huì)感悟思考問(wèn)題的方式，才會(huì)體會(huì)本節(jié)課所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，往往需要時(shí)間的保證。筆者比較認(rèn)同“磨刀不誤砍柴工”的觀點(diǎn)，過(guò)程的充分經(jīng)歷，是非常有價(jià)值的。因此不必陷于時(shí)間不夠用而產(chǎn)生“取舍或壓縮”環(huán)節(jié)的痛苦之中。當(dāng)然，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程也是必要的。學(xué)生對(duì)新知的牢固掌握需要教師提供內(nèi)容豐富、形式多樣的練習(xí)，使學(xué)生在情境的變換中依然能夠用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。在應(yīng)用中，積累應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值。如果時(shí)間不夠用，不妨增加一些課時(shí)，舍得花時(shí)間去落實(shí)“數(shù)學(xué)廣角”編排的實(shí)際意圖，才能達(dá)到效果的最大化。