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    高中數(shù)學(xué)定積分的應(yīng)用

    2017-04-08 22:40:49王榮佺
    理科考試研究·高中 2017年2期
    關(guān)鍵詞:定積分面積應(yīng)用

    王榮佺

    摘要:導(dǎo)數(shù)與定積分是普通高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,其概念抽象、公式靈活、性質(zhì)多樣、應(yīng)用廣泛,尤其是定積分的微分積分思想將定積分體現(xiàn)得淋漓盡致,教學(xué)中利用關(guān)于它的微積分基本定理(牛頓—萊布尼茨公式)計(jì)算證明曲邊圖形面積等問(wèn)題,可以說(shuō)是巧妙至極.

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué) ;定積分;應(yīng)用 ;面積;參數(shù)

    一、利用定積分,求解曲邊圖形面積

    初等數(shù)學(xué)幾何學(xué)中,我們求解平面圖形的面積,通常是一些比較規(guī)則的圖形,諸如三角形、正方形、矩形、梯形、平行四邊形、圓等等,都有現(xiàn)成的公式,即使圖形不太規(guī)則,有可能通過(guò)分割補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形,但是遇到不規(guī)則圖形,尤其是曲邊圖形的面積深感困惑.實(shí)際上,只要知道曲邊所在曲線的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),我們可以通過(guò)定積分來(lái)求曲邊圖形的面積.

    例1如圖,拋物線y=-x2+4x-3及其在點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0)處的切線所圍成圖形的面積為.

    二、利用定積分,求解參數(shù)的值

    在求解平面曲邊圖形面積時(shí),本身曲邊圖形面積就不好計(jì)算,有時(shí)還會(huì)參雜一些參數(shù),讓求參數(shù)的值或參數(shù)取值范圍,這樣的問(wèn)題更是讓人棘手.實(shí)際上,只要知道曲邊所在曲線的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),我們可以通過(guò)定積分來(lái)尋找參數(shù)滿足的條件方程(或不等式),這樣參數(shù)問(wèn)題便迎刃而解.

    例2如圖所示,直線y=kx分拋物線y=x-x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分,求k的值.

    解 拋物線y=x-x2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=0,x2=1,所以,拋物線與x軸所圍圖形的面積

    三、利用定積分,證明圓的面積

    從小學(xué)上到高中,同學(xué)們就一直利用圓的面積公式S=πR2,但是為什么是這樣,它是怎么來(lái)的,也許有人思考過(guò),也問(wèn)過(guò)老師,也許有人壓根兒就從沒想過(guò).其實(shí),學(xué)了定積分,知道函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′x=f ′(x)=dydx,我們就有能力來(lái)證明這個(gè)公式了.

    例3設(shè)圓x2+y2=R2,求證:其面積S=πR2.

    證明由圓的對(duì)稱性知,圓在四個(gè)象限內(nèi)面積相等,其面積是第一象限扇形(曲邊梯形)面積的4倍,而在第一象限內(nèi)曲線的函數(shù)關(guān)系是y=R2-x2(0≤x≤R).

    所以S=4∫R0R2-x2dx.

    四、利用定積分,證明橢圓面積

    和圓一樣,橢圓也是一個(gè)既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱的圖形,但是提及它的面積,有的同學(xué)知道,就是S=πab (其中a,b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)),而有的同學(xué)不知道,其實(shí)學(xué)了定積分,知道函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)yx=f ′(x)=dydx ,我們也有能力來(lái)證明這個(gè)公式了.

    例4設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1, 求證:其面積S=πab

    證明由橢圓的對(duì)稱性知,橢圓在四個(gè)象限內(nèi)面積相等,其面積是第一象限扇形(曲邊梯形)

    總之,初等數(shù)學(xué)中定積分的應(yīng)用相當(dāng)廣泛,這里所提及的計(jì)算證明曲邊圖形面積等問(wèn)題,只是定積分應(yīng)用的一個(gè)縮影.

    在平時(shí)的教學(xué)工作中,作為一線教師,如果我們能及時(shí)探索研究出一些有用的規(guī)律,或者有參考價(jià)值的結(jié)論,無(wú)疑對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力的增強(qiáng)和教育教學(xué)質(zhì)量的提高,勢(shì)必起到了“正能量”奇效,我們何樂(lè)而不為呢?科學(xué)在進(jìn)步,社會(huì)在發(fā)展,要求在提高,我們還有什么理由僅僅滿足于當(dāng)前教學(xué)不去挖掘發(fā)現(xiàn)它們呢?

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