焦點(diǎn)三角形背景下的圓錐曲線定義解題探析

陳小霞

一、三角形的形狀、周長(zhǎng)和面積

例1（1）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2-y224=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3PF1=4PF2，則△PF1F2的面積=.

（2）已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓x23+y2=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是.

解（1）雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為F1F2=2×5=10.據(jù)題意和雙曲線的定義知，2=PF1-PF2=43PF2-PF2=13PF2，所以PF2=6，PF1=8.

所以PF21+PF22=F1F22，所以PF1⊥PF2，

所以S△PF1F2=12PF1·PF2=12×6×8=24.

（2）根據(jù)橢圓定義，△ABC的周長(zhǎng)等于橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的2倍，即43.

題后反思借助定義，利用已知條件，明確三角形的三邊長(zhǎng)，確定形狀，從而計(jì)算出面積.這一類(lèi)問(wèn)題往往都是通過(guò)定義和三角形中正弦或余弦定理解出三角形.

二、離心率問(wèn)題

例2（1）F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn).若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為.

圖1（2）如圖1，雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1 、F2，過(guò)其右焦點(diǎn)F2的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，連AF1，BF1，△F1AB是以∠F1AB為直角的等腰三角形，求雙曲線的離心率.解（1）如圖2，由雙曲線定義得，BF1-BF2=AF2-AF1=2a，因?yàn)椤鰽BF2是正三角形，所以BF2=AF2=AB，因此AF1=2a，AF2=4a，且∠F1AF2=120°，在△F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×12=28a2，所以e=7.

答案：7

圖2（2）設(shè)AF1=m，AF2=x，ΔF1AB是等腰直角三角形，

∴BF2=m-x，BF1=2m.

在ΔAF1F2和ΔBF1F2中，由雙曲線的第一定義可得，AF1-AF2=2a，即m-x=2a，①

BF1-BF2=2a，即2m-m-x=2a②

由①②可得m=22a，x=22-1a

又在RtΔAF1F2中，4c2=F1F22=AF21+AF22=m2+x2=45-22a2，

即2c=25-22a

答案：e=5-22

題后反思處理本題的關(guān)鍵是如何將題中的圖形信息反映出來(lái).充分注意兩焦點(diǎn)，聯(lián)系雙曲線的第一定義，結(jié)合解三角形的知識(shí)，將問(wèn)題得到處理.

三、定值問(wèn)題

例3橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點(diǎn)P，兩個(gè)焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）， ΔF1PF2的內(nèi)切圓記為⊙M，求證：點(diǎn)P到⊙M的切線長(zhǎng)為定值.

證明設(shè)⊙M與△PF1F2的切點(diǎn)為A、B、C，因⊙M是△PF1F2的內(nèi)切圓，所以|F1A|=|F1C|、|F2C|=|F2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F1C|+|F2C|=2c，∴ |F1A|+|F2B|=2c，由橢圓第一定義知|PF1|+|PF2|=2a，∴|PA|+|F1A|+|PB|+|F2B|=2a， ∴2|PA|=2a-2c即|PA|=a-c為定值.證畢.

題后反思圓錐曲線定義不僅是推導(dǎo)圓錐曲線方程及性質(zhì)的基礎(chǔ)， 而且也是解題的重要工具.對(duì)于有些解析幾何問(wèn)題，若從圓錐曲線的定義上去思考，往往會(huì)收到避繁就簡(jiǎn)，捷足先登的解題效果.

四、位置關(guān)系問(wèn)題

例4以橢圓上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)所連結(jié)的線段為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系是.

解析設(shè)線段是PF1，O1是線段PF1的中點(diǎn)，連結(jié)O1O，PF2，其中O是橢圓的中心，F(xiàn)2是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，則在△PF1F2中，由三角形中位線定理可知，兩圓的連心線的長(zhǎng)是OO1=12PF2=12（2a-PF1）=a-12PF1=R-r.

答案：內(nèi)切

五、動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

例5一動(dòng)圓與已知圓O1：（x+3）2+y2=1外切，與圓O2：（x-3）2+y2=81內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

解兩定圓的圓心和半徑分別為O1（-3，0），r1=1，O2（3，0），r2=9，設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R，則由題設(shè)條件可得|MO1|=1+R， |MO2| =9-R，所以|MO1|+|MO2|=10，由橢圓的定義知：M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a=5，c=3.

∴b2=a2-c2=25-9=16.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為x225+y216=1.

題后反思本題的關(guān)鍵是要借助于動(dòng)圓的半徑反映出兩圓的位置關(guān)系，再依托橢圓的定義得到動(dòng)圓圓心的軌跡是橢圓.

六、方程問(wèn)題

例6如圖3，已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，雙曲線的右支上有一點(diǎn)P，∠F1PF2=π3，且△PF1F2的面積為23，雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程.圖3

解設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），P（x0，y0）.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosπ3=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|·|PF2|，即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|，又因?yàn)镾△PF1F2=23，所以12|PF1|·|PF2|sinπ3=23，所以|PF1|·|PF2|=8，所以4c2=4a2+8即b2=2，又因?yàn)閑=ca=2，所以a2=23.故所求雙曲線方程為3x22-y22=1.

題后反思如果在△PF1F2中僅知一個(gè)角，我們經(jīng)常要聯(lián)想到余弦定理解決問(wèn)題，表達(dá)式的變形過(guò)程中使用雙曲線的定義，根據(jù)條件建立基本量的方程，從而求出雙曲線的方程.

七、最值、范圍問(wèn)題

例7已知點(diǎn)F是橢圓x225+y29 =1的右焦點(diǎn)，M是這橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A（2，2）是一個(gè)定點(diǎn)，求|MA|+|MF|的最小值.

解設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，則|MF|+|MF′|=2a=10.要使|MA|+|MF|最小，

由A（2，2）可知，點(diǎn)A在橢圓的內(nèi)部，故有|MA|+|MF|=|MA|+（2a-|MF′|）=2a-（|MF′|-|MA|）.

∵|MF′|-|MA|

≤|AF′|=（2+4）2+（2-0）2=210，

即|MF′|-|MA|的最大值為210，

∴|MA|+|MF|的最小值為2a-210=10-210

題后反思本題的關(guān)鍵是利用定義將不可求最值的表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，類(lèi)似于這種距離之和最?。ɑ騼删嚯x之差最大）的問(wèn)題，常利用“兩點(diǎn)間以直線為最短”或三角形中“兩邊之和大于第三邊（兩邊之差小于第三邊）的極值等.

圓錐曲線的定義是圓錐曲線一章的根本，在學(xué)習(xí)過(guò)程中必須深刻理解其內(nèi)涵，不斷總結(jié)和積累應(yīng)用圓錐曲線的定義解題的經(jīng)驗(yàn)，以提高靈活應(yīng)用定義解題的能力.

（收稿日期：2016-10-24）