試論問題表征在數(shù)學(xué)問題解決中的重要性

首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(100048) 覃淋

試論問題表征在數(shù)學(xué)問題解決中的重要性

首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(100048) 覃淋

問題解決是數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)問題之一,數(shù)學(xué)問題解決主要表現(xiàn)為解題.數(shù)學(xué)問題解決的認(rèn)知過程包括四個(gè)階段：?jiǎn)栴}表征、模式識(shí)別、解題遷移和解題監(jiān)控.其中問題表征是中心環(huán)節(jié),問題表征的正確與否直接影響問題的解決;同時(shí),如果問題表征不當(dāng),也會(huì)極大地影響數(shù)學(xué)問題的解決.

一、引言

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P.R.Halmos)認(rèn)為,“問題是數(shù)學(xué)的心臟”[1].實(shí)際上,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)問題解決的過程.在數(shù)學(xué)里,問題解決(problem solving)主要表現(xiàn)為解題.問題解決是目前數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題,也是數(shù)學(xué)教育研究的核心問題之一.所謂問題解決,就是指在具有明確目標(biāo)卻不明確達(dá)到目標(biāo)的途徑或方法的情況下,經(jīng)過一系列具有目標(biāo)指引性的認(rèn)知操作,使問題得以解決的心理過程.

安德森(J.R.Anderson)認(rèn)為,任何一個(gè)問題解決都具有以下3個(gè)特點(diǎn)[2]：(1)目標(biāo)指引性,是指為問題找到一個(gè)答案或結(jié)論;(2)操作序列,是指任何一個(gè)問題解決活動(dòng)必須包含一系列的認(rèn)知活動(dòng);(3)認(rèn)知性操作,是指問題解決活動(dòng)必須具有重要的認(rèn)知成分.問題解決作為一個(gè)活動(dòng),包含了若干個(gè)步驟.即為了完成這個(gè)活動(dòng),要經(jīng)過一系列的步驟,稱之為問題解決過程.文獻(xiàn)[3]總結(jié)了從傳統(tǒng)問題解決模式到現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)派幾乎所有的問題解決模式的觀點(diǎn).許多數(shù)學(xué)教育家也提出了一些數(shù)學(xué)問題解決模式,比較有影響的有以下3種：

1.波利亞在《怎樣解題》一書中提出了著名的“怎樣解題表”,把解題過程分為弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和解題回顧;

2.奧加涅相在其著作《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》中將解題過程分為理解問題條件、制定解題計(jì)劃、實(shí)施解題計(jì)劃和研究所得;

3.舍費(fèi)爾得(A.schoenfeld)把數(shù)學(xué)問題解決過程分為問題的理解與分析、解決方案的設(shè)計(jì)、困難問題解法的探索和結(jié)果驗(yàn)證.

從以上這些問題解決模式理論中,不難看出,要解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題,首先就是要對(duì)需要解決的問題進(jìn)行表征(problem representation).所謂表征,就是指信息在頭腦中的呈現(xiàn)形式[4].美國認(rèn)知心理學(xué)家西蒙(H.A.Simon)認(rèn)為,“問題表征是問題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié),它說明了問題在頭腦中是如何呈現(xiàn)、如何表現(xiàn)出來的”[4].在數(shù)學(xué)解題中,問題表征實(shí)際上就是理解并轉(zhuǎn)化問題,就是說對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題,要用自己的語言將它陳述出來,并通過對(duì)問題的陳述將問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化.要想解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題,就必須正確地恰當(dāng)?shù)乇碚鲉栴}.“如果一個(gè)問題得到了正確地表征,可以說它已解決了一半”[4].因此,很有必要對(duì)問題解決過程中問題表征的作用進(jìn)行分析.

在數(shù)學(xué)問題表征中,我們認(rèn)為存在著以下幾種情況：

(1)錯(cuò)誤的表征問題,主要表現(xiàn)為未能正確的理解題意和理解了題意但進(jìn)行了不等價(jià)的轉(zhuǎn)化;

(2)問題表征不當(dāng),是指在正確的理解了題意的情況下,對(duì)問題進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,使得轉(zhuǎn)化后的問題變得更復(fù)雜.在此情形下可能導(dǎo)致以下2種情況,一是我們未能解決問題;二是問題解決過程繁雜、計(jì)算量大等;

(3)問題表征的多樣性,即對(duì)同一問題存在著多種表征形式,從而導(dǎo)致問題可能存在著不同的解決方法.

二、問題表征的重要性

一般而言,在數(shù)學(xué)問題解決的過程中,最受重視的是“制定解題計(jì)劃”階段.實(shí)際上,最重要的應(yīng)該是“問題表征”階段,它是最終解決問題的前提和基礎(chǔ).解決任何一個(gè)問題,第一步都是讀題并理解題意,理解題意的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)就是一個(gè)人能否用自己的語言將問題進(jìn)行陳述,并通過對(duì)問題的陳述產(chǎn)生關(guān)于問題的一個(gè)表征.而如果對(duì)問題進(jìn)行了錯(cuò)誤或是不恰當(dāng)?shù)谋碚?就像在岔路口走錯(cuò)了路,必然會(huì)離目標(biāo)越來越遠(yuǎn).

表面上看,學(xué)生不會(huì)解題,是在“制定計(jì)劃”階段上出了問題,實(shí)質(zhì)上是沒有正確理解題意,沒有在理解題意是下功夫[5].有數(shù)學(xué)家說過,善于解題的人用一半的時(shí)間來理解題意,另一半的時(shí)間來完成解答.

1.錯(cuò)誤的表征問題

例1 已知a,b是任意實(shí)數(shù),求方程|x|x+ax-b=0實(shí)根個(gè)數(shù).

常見的錯(cuò)誤解法分別考慮x≥0與x＜0情形,去掉絕對(duì)值符號(hào).

1)當(dāng)x≥0時(shí),得到x2+ax-b=0,于是有,a2+4b＞0時(shí),有兩個(gè)實(shí)根;a2+4b=0時(shí),有一個(gè)實(shí)根;a2+4b＜0時(shí),無實(shí)根.

2)當(dāng)x＜0時(shí),得到x2-ax+b=0,于是有,a2-4b＞0時(shí),有兩個(gè)實(shí)根;a2-4b=0時(shí),有一個(gè)實(shí)根;a2-4b＜0時(shí),無實(shí)根.

分析上述解法雖然對(duì)問題進(jìn)行了“表征”,即將一個(gè)含有絕對(duì)值符號(hào)的二次方程轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的方程.但是,這反而遠(yuǎn)離了題意,并沒有通過參量a,b來討論方程的實(shí)根個(gè)數(shù),反而是不正確的就x,a,b三者之間的關(guān)系來分別討論.實(shí)際上,方程x2+ax-b=0(x＞0)在a2+4b＞0時(shí)未必就有兩個(gè)實(shí)根.比如取a=0,b=1,此時(shí)方程變?yōu)閤2-1=0,得到x=±1.但只有x=1滿足條件.所以該解法是錯(cuò)誤的,主要就是由于對(duì)問題進(jìn)行了錯(cuò)誤的表征,從而導(dǎo)致問題無法解決.

正確的解法我們利用數(shù)形結(jié)合來解,令f(x)=|x|x+ax,g(x)=b,此時(shí)就已經(jīng)將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題了.即二者交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是方程的實(shí)根個(gè)數(shù),同時(shí)由于f(x)是奇函數(shù),只要討論x≥0的情形即可,分a=0,a＞0,a＜0進(jìn)行討論,如圖作出f(x)=|x|x+ax的函數(shù)圖像.

圖1

圖2

結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行分析,可以得到本題結(jié)果：

(1)當(dāng)a≥0時(shí),有1個(gè)交點(diǎn),即有一個(gè)實(shí)根;

(2)當(dāng)a＜0時(shí),討論b的情況,當(dāng)時(shí),有1個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),有2個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),有3個(gè)交點(diǎn).

圖3

2 問題表征不當(dāng)

由于對(duì)同一問題不同個(gè)體可能會(huì)產(chǎn)生不同的表征,在這若干不同的表征中,可能某一種表征方式比其它表征方式更為有效.而不同的表征方式會(huì)激活長(zhǎng)時(shí)記憶中不同的知識(shí)和程序[4],必然會(huì)影響到問題解決的結(jié)果.在問題表征不當(dāng)?shù)那闆r下,我們可能不能解決某個(gè)數(shù)學(xué)問題,或者解決該問題時(shí),過程顯得十分的繁雜,沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

2.1 問題表征不當(dāng)—無法解決問題

例2 已知a1,a2,···,an為實(shí)數(shù),若它們之中任意兩數(shù)之和非負(fù),對(duì)于滿足等式x1+x2+···+xn=1的任意非負(fù)實(shí)數(shù)x1,x2,···,xn有不等式a1x1+a2x2+···+anxn≥成立,請(qǐng)證明.

分析大多數(shù)學(xué)生一看到此題,首先想到的是利用數(shù)學(xué)歸納法.從數(shù)學(xué)歸納法可以證明關(guān)于自然數(shù)n的命題出發(fā),試圖通過數(shù)學(xué)歸納法來證明,結(jié)果利用數(shù)學(xué)歸納法的解決此題的,幾乎無人得出正確結(jié)果.實(shí)際上,本題可以先考慮簡(jiǎn)單的情況下問題的解決方法,然后再推廣到一般.當(dāng)n=3時(shí),即證明

再利用x1+x2+x3=1,上式變?yōu)?/p>

由此,可以得到問題的解決方法.由

可將原不等式變?yōu)?/p>

不等式得證.

2.2 問題表征不當(dāng)—解題過程繁雜

例3 已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)根α,β.證明：若|α|＜2,|β|＜2,則2|a|＜4+b且|b|＜4.

解由根與系數(shù)的關(guān)系,得α+β=-a,αβ=b,那么

由于|α|＜2,|β|＜2,故|b|=|α||β|＜2×2=4.且α2＜4,β2＜4.因此,(4+b)2-4a2=(4-α2)(4-β2)＞0,此即(4+b)2＞4a2,再4+b＞0,故2|a|＜4+b.綜上所述,命題得證.

另解由根與系數(shù)的關(guān)系,得|b|=|α||β|＜2×2=4.令f(x)=x2+ax+b,由于方程的兩根絕對(duì)值都小于2,結(jié)合圖像可知f(±2)＞0,此即4±2a+b＞0,整理得2|a|＜4+b.

若此題不結(jié)合圖像來解決,而僅僅依靠根與系數(shù)的關(guān)系來解,是比較復(fù)雜的.后面的解法顯然比前一解法更易理解,直觀性更強(qiáng),學(xué)生也更容易接受.

對(duì)一個(gè)問題的正確表征是解決該問題的前提.如果對(duì)問題進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)谋碚?我們很可能不能解決問題.因此,在解題活動(dòng)中,正確理解題意,然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,是非常重要的.

3 問題表征的多樣性

對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)問題,不同的人由于其不同的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).學(xué)習(xí)者在問題解決的過程中,必然會(huì)以已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ).每一形式的表征依賴于個(gè)體不同的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),而且可以引出不同的知識(shí)和策略,導(dǎo)致產(chǎn)生不同的解法[5].從不同角度來思考同一問題,不僅能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,更可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.

例4 計(jì)算sin72°cos42°-sin18°sin42°的值.

看到此題時(shí),有學(xué)生想到的是兩角差的正弦公式,而有的學(xué)生想到的是兩角和的余弦公式.對(duì)問題的不同表征,決定了他們會(huì)采取不同的解決方案,但最后結(jié)果都是相同的.

此外,問題表征還有一種重要的情況就是“正難則反”,在具體的數(shù)學(xué)解題中,表現(xiàn)為反證法,逆向思維等.例如,

例設(shè)f(x)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式.證明：若f(0)和f(1)都是奇數(shù),那么f(x)沒有整數(shù)根.

這個(gè)問題若從正面出發(fā),是很難解決的.假設(shè)f(x)有一個(gè)整數(shù)根,我們記為a,則f(x)=(x-a)g(x).則f(0)=(-a)g(0),f(1)=(1-a)g(1),這里-a和1-a中必有一個(gè)是偶數(shù),而f(0)和f(1)都是奇數(shù).這是一個(gè)矛盾,問題得到解決.

三、討論

可以看出,問題表征在問題解決中的重要性,問題表征的正確與否,會(huì)直接影響到我們能否順利的解決問題.“問題的解決往往取決于問題解決者在問題情境中問題表征的能力”[2],“我們能不能解決問題就在于我們大腦內(nèi)部能否產(chǎn)生正確的表征”[4].著名的“國際象棋棋盤殘缺問題”同樣說明了正確而恰當(dāng)?shù)乇碚鲉栴}的重要性,可以說,正確的表征問題就意味著解決問題.這就要求我們教師在實(shí)際的解題教學(xué)過程中,要充分強(qiáng)調(diào)理解題意的重要性,很多時(shí)候,學(xué)生不能正確解決問題,很可能就是在“問題表征”環(huán)節(jié)時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤.

總之,在整個(gè)的數(shù)學(xué)問題解決過程中,問題表征是最重要的一個(gè)環(huán)節(jié).一個(gè)數(shù)學(xué)問題能否被解決,取決于該問題是否被正確的表征,對(duì)數(shù)學(xué)問題的表征決定著我們所選擇的問題解決方案,也就決定著解答結(jié)果的正確與否.

[1]哈爾莫斯.數(shù)學(xué)的心臟[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1982,(4)：27-31.

[2]J.R安德森著,楊清,張述祖等譯.認(rèn)知心理學(xué)[M].長(zhǎng)春：吉林教育出版社,1989.

[3]李伯黍,燕國材.教育心理學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社,2010,第3版.

[4]司馬賀著,荊其誠,張厚粲譯.人類的認(rèn)知—思維的信息加工理論[M].北京：科學(xué)出版社,1986.

[5]涂榮豹.數(shù)學(xué)解題的有意義學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2001,10(4)：15-20.