解三角形的常見(jiàn)錯(cuò)誤總結(jié)

邱春林

解三角形問(wèn)題在全國(guó)高考中一直占有一定的比重，解三角形中涉及到正余弦定理、面積公式、三角恒等變換誘導(dǎo)公式及各種的角邊互化公式，變形較多，知識(shí)點(diǎn)中跨度較大，綜合性強(qiáng)，解題中存在方法技巧，切入點(diǎn)需準(zhǔn)確無(wú)誤。學(xué)生在處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，往往不注重條件，經(jīng)常有思路不清，審題不仔細(xì)，考慮不周而導(dǎo)致各種類(lèi)型的錯(cuò)誤，下面對(duì)一些學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行適當(dāng)分類(lèi)，以便大家參考，如有不足請(qǐng)指正：

一、三角公式性質(zhì)不熟

例1. 在三角形△ABC中，已知■=■，判斷△ABC中形狀。

誤解：由正弦定理可知■=■，易得：sin2A=sin2B，所以2A=2B，即A=B，故△ABC是等腰三角形。

解析：由sin2A=sin2B，得2A=2B，這是典型的等式兩邊相消的錯(cuò)誤，原因是對(duì)三角性質(zhì)及變換不熟悉。

二、三角形內(nèi)角條件制約

例2. 在△ABC中，若a=1，C=60°，c=■，則A的值為（ ）

A. 30°

B. 60°

C. 30°或150°

D. 60°或120°

誤解：由正弦定理得sinA=■=■=■，所以A=30°或150°，選C。

解析：三角形內(nèi)角和為180°，而且邊角要互相對(duì)應(yīng)，大角對(duì)大邊。

三、公式選擇不當(dāng)，解法繁瑣

例3. 已知△ABC中，C=60°，b=1，S△=■，求■的值。

誤解：由C=60°，b=1，S△=■，由面積公式S△=■absinC可得a=4，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=13得c=■。

又由正統(tǒng)定理分別求出sinA=■=■，sinB=■=■，所以■=■=■。

解析：對(duì)正弦定理中的邊角互化公式不熟悉，方法不當(dāng)產(chǎn)生復(fù)雜計(jì)算量。

四、對(duì)邊角判斷不當(dāng)，多解或漏解：

例4. 在△ABC中滿(mǎn)足A=45°，a=2，c=■，那么角B= 。

誤解：由正弦定理得sinC=■=■，所以C=60°，即B=180°-A-C=75°。

解析：對(duì)誘導(dǎo)公式不熟，漏解。

五、對(duì)條件考慮不周

例5. 在△ABC中，c是最大邊，若c2

誤解：因?yàn)閏20。

按余弦定理cosC=■>0，C為三角形內(nèi)角，易知0°

解析：對(duì)條件審查不嚴(yán)，沒(méi)有做到文字條件的利用，c邊是最大邊，不是普通的邊長(zhǎng)，造成結(jié)果的錯(cuò)誤。

六、解題思想不完整，過(guò)程缺失

例6. 已知三角形中的三條邊的邊長(zhǎng)分別是a2、b2、c2，求證長(zhǎng)度分別為a、b、c的三條線(xiàn)段能構(gòu)成銳角三角形。

誤解：由于三邊長(zhǎng)度未知，不妨設(shè)三角形的三邊a2c2。

根據(jù)余弦定理可知cosC=■>0，可知以a、b、c為線(xiàn)段的三角形中C<90°，C為銳角，又由假設(shè)知a

解析：銳三角形的辨別有兩個(gè)條件：1. 兩邊之和大于第三邊；2. 最大邊所對(duì)角為銳角。這里只驗(yàn)證了第2個(gè)條件，是否三角形還有待認(rèn)定。

責(zé)任編輯 鄒韻文