學會“挖井”思維

任衛(wèi)兵（特級教師）

【教學內(nèi)容】

蘇教版六年級上冊第21頁。

【教學過程】

一、出示習題

（出示數(shù)學書第21頁的一道習題）

用1立方厘米的正方體木塊堆成的兩個長方體，分別正好裝滿各自右邊的容器。你知道這兩個容器各能盛多少毫升水嗎？

師：要比較兩個容器的容積大小，如果不測量和計算，我們可以怎樣比？

師：為了便于表達，我們可以把左邊的容器叫做甲容器，右邊的為乙容器。誰來說說你的想法？

甲

乙

師：把甲容器裝滿水，倒入乙容器，可能會出現(xiàn)幾種情況？

生：第一種情況，甲容器倒空，乙容器未滿，乙容器的容積大；第二種情況，甲容器倒空，乙容器正好裝滿，甲、乙容器的容積一樣大；第三種情況，甲容器未空，乙容器裝滿，甲容器的容積大。

師：無論是上面的哪一種情況，兩個容器中水的體積和總是怎樣的？

生：兩個容器中水的體積和是不變的。

【設計意圖：在學生學習了《長方體和正方體》單元知識后，需要對本單元進行一次整理和復習。通過知識梳理和變式練習是一條路徑；借助書本習題，引導學生從不同的視角挖掘出新的問題，從而將相關知識有機統(tǒng)整到一起，則是另一條路徑。后一種路徑比起前一種來，可能更具挑戰(zhàn)性，更易激發(fā)學生的問題意識和探究欲望?！?/p>

二、拓展練習

拓展一：

師：現(xiàn)在我們從里面測量了甲容器的長是6厘米，寬5厘米，高（或深）4厘米，乙容器長7厘米，寬3厘米，高5厘米。

師：我們把甲容器裝滿水，再倒入乙容器。裝滿后，你們能提出哪些問題？

生：甲容器中剩下的水的體積是多少立方厘米？

生：甲容器中剩下的水的高度是多少厘米？

生：甲容器中剩余部分的空間有多大？

師：同樣把甲容器裝滿水，再倒入乙容器。但這一次不倒?jié)M，如果要使兩個容器中的水面一樣高，你們能求出現(xiàn)在兩個容器中的水深都是多少厘米嗎？

（全班交流，請小組代表介紹各自的解決方案）

第一種想法：因為兩個容器中水的體積和是不變的，還等于原來甲容器中的水的體積，所以我們可以列方程來解答。解：設現(xiàn)在兩個容器中的水深都是x厘米。5×6×x+7×3×x=5×6×4。最后求出這個方程的解是。

師：兩個容器中水的高度是一樣的，我們都用字母h來表示，底面積不同，分別用字母S1、S2來表示，那么兩個容器中水的體積和就可以用什么來表示？（S1h＋S2h）還有其他的表示方法嗎？

生：還可以應用乘法分配律，用（S1＋S2）h 來表示。

師：那如果不列方程，還可以怎樣求現(xiàn)在兩個容器中的水深呢？

第二種想法：我們可以假設把兩個容器粘在一起，然后抽調(diào)中間的隔板，再把水重新倒入這個特別的容器中。用原來甲容器中水的體積，除以兩個容器的底面積的和，也可以求出現(xiàn)在的水深。列式為（5×6×4）÷（5×6＋7×3）。

師：剛才的兩種解法，如果細細觀察，還是能發(fā)現(xiàn)它們之間是有聯(lián)系的。有興趣的話，課后還可以從“比”這個角度去想想其他的一些解法。

【設計意圖：在比較兩個容器的容積大小時，如果不測量和計算，而用倒水的方法來比較，那么可能會有幾種不同的情況呢？引導學生全面地思考問題，需要自然、無痕地進行滲透。在學生列舉出所有可能的情況后，教師適時地總結出無論哪一種情況，兩個容器中的水的體積和是不變的，這也為接下來解決“兩個容器中的水深相等”這一問題做了鋪墊。教會學生“挖井”思維，需要教師適當?shù)貫閷W生鋪設一個臺階，確定一個大致方向，這樣才便于學生積累一定的經(jīng)驗。只有當學生有了自己的經(jīng)驗后，別人的經(jīng)驗才能夠接得上去?！?/p>

拓展二：

師：剛才我們是從體積（容積）這個角度來提出、解決新問題的，下面我們換個視角，來看這兩個長方體，你們又能提出哪些新問題呢？

課件出示：

師：如果把這兩個長方體表面涂漆，再切成1立方厘米的小正方體，那么三面、兩面、一面涂色以及六個面都未涂色的小正方體各有多少個呢？你們覺得這個問題與“表面涂色的正方體”有哪些相同之處？又有哪些不同呢？

師：同桌兩人分工，一起來算一算：把第一個長方體切開后，各種涂色小正方體的個數(shù)。

【設計意圖：從“表面涂色的正方體”拓展到“表面涂色的長方體”，不僅能讓學生更好的掌握長方體和正方體的特征，更有利于學生建構相應的模型，積淀數(shù)學思想?！?/p>

拓展三：

1.比較這兩個長方體，你還有什么不同的發(fā)現(xiàn)？

（適當提示：剛才我們分別從體、面這幾個角度發(fā)掘出了新問題，如果從棱的角度呢？）

2.大家注意到?jīng)]有，這兩個長方體的棱長總和怎樣？（都是60厘米）根據(jù)這一特點，你又能提出什么新問題呢？

（棱長總和是60厘米的長方體，體積最大是多少？最小是多少？）

師：還可進一步提煉為棱長總和相等的長方體或正方體，誰的體積最大？

3.尋求策略。

師：棱長總和是60厘米的長方體，有多少種不同的情況？解決這類問題適合采用哪種策略？

（那我們可以從哪一種情況開始列舉呢？）

4.合理猜想。

師：通過不完全列舉，你能提出什么猜想？

（棱長總和相等的長方體和正方體，正方體的體積最大。）

【設計意圖：也許教材編寫者也沒有意識到書本習題中的兩個長方體的棱長總和恰好相等，教師敏銳地捕捉到了這一特點，引導學生提出問題“棱長總和相等的長方體和正方體，誰的體積大”，并通過有序列舉、不完全列舉，啟發(fā)學生大膽地提出自己的猜想?？梢姡按髥栴}教學”并非一定要確定一個多大、多綜合的問題，有時一個小問題一樣能作出大文章?！?/p>

拓展四：

如果這是一個封閉容器，不小心在它的前面破了個洞，洞口下端距底面2厘米。這個容器最多能裝水多少毫升呢？

師：有認為能裝水60毫升的同學嗎？還有不同的答案嗎？說說你是怎么想的？

【設計意圖：學會“挖井”思維，并非一味地求綜合、求深入，有時還要學會應變。一個有破洞的容器最多能裝多少水，如果固守著底面不變，那么只能得到60毫升的結果，可是如果能靈機一動，把容器翻轉(zhuǎn)一下以后面作底面，讓洞口朝上，那么最多就能裝水120毫升。不僅能入乎其內(nèi)，還要能出乎其外，學會知入知出，才能彰顯出智慧?！?/p>

三、總結

師：通過這堂課的學習，你們對“學會‘挖井’思維”又有了哪些新的體會？（同一個問題，換個角度去看，就會有不同的發(fā)現(xiàn)）正所謂：思維一變天地寬，知入知出顯智慧。