淺談數(shù)列求和的若干方法

吳勝斌

【摘 要】數(shù)列求和是從它們的本質(zhì)特點(diǎn)出發(fā)，去尋找最一般的方法，從而得出的結(jié)論比較具有針對性。如掌握直接求和法（公式法），錯(cuò)位相減求和法，分組轉(zhuǎn)化求和法，裂項(xiàng)相消求和法等一些簡單的特殊數(shù)列求和的方法，理解數(shù)列求和中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，并能利用數(shù)列求和解決一些數(shù)列問題。

【關(guān)鍵詞】直接求和法（公式法）；分組求和法；錯(cuò)位相減求和法；裂項(xiàng)相消求和法

一、直接求和法（公式法）

如果所給數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列， 那么它們的求和問題，可以直接利用等差或等比數(shù)列求和公式解決。

（1）等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式：；

（2）等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式：①當(dāng)q=1 時(shí)，；②當(dāng)q≠1 時(shí)，。

例1： 求1，2，3，…，100 這樣一個(gè)等差數(shù)列的和。

解：

二、分組求和法

若數(shù)列的通項(xiàng)是若干項(xiàng)的代數(shù)和，可將其分成幾部分來求。一般為{等差+等比}的形式出現(xiàn)時(shí)用到分組求和法。

例2 求數(shù)列，…的前項(xiàng)和。

分析：此數(shù)列的通項(xiàng)公式是，而數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，故采用分組求和法求解。

解：.

例3：在數(shù)列中，，， n∈N*

（1）證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n 項(xiàng)和。

（1）證明： 由題設(shè) 得

，n∈N* 又，

所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，且公比為4 的等比數(shù)列。

（2）解：由（1）可知于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為，

所以數(shù)列的前n 項(xiàng)和

=

=

==

小結(jié)：在求和時(shí)，一定要認(rèn)真觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果它能拆分成幾項(xiàng)的和，而這些項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就用此方法求和。

三、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：

1。乘積形式

如：

（1）

（2）

（3）

（4）

2。根式形式

如：

例4：求數(shù)列，，，…，，…的前項(xiàng)和

解：∵=

小結(jié)：如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都能化為兩項(xiàng)之差，而前一項(xiàng)的減數(shù)恰與后一項(xiàng)的被減數(shù)相同，一減一加，中間項(xiàng)全部相消為零，那么原數(shù)列的前n項(xiàng)之和等于第一項(xiàng)的被減數(shù)與最末項(xiàng)的減數(shù)之差。多用于分母為等差數(shù)列的相鄰k項(xiàng)之積，且分子為常數(shù)的分式型數(shù)列的求和。

四、錯(cuò)項(xiàng)相消法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)之積形成，那么此數(shù)列可采用錯(cuò)項(xiàng)相減消法。

例6 求和

解：由原式乘以公比得：

原式與上式相減，得

∴

錯(cuò)位相減法是是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。

總而言之，數(shù)列求和，如果是等差、等比數(shù)列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到靈活運(yùn)用。非等差等比數(shù)列的一般數(shù)列的求和，可以利用錯(cuò)位相減求和法，分組轉(zhuǎn)化求和法，裂項(xiàng)相消求和法等一些簡單的特殊數(shù)列求和的方法。數(shù)列求和問題，一般說來方法靈活多樣，解法往往不止一種，很難說盡求全。本文中所介紹的種種求和方法，主要是給出一些解題的思路和方法，在解題中希望會有所幫助。