分?jǐn)?shù)階RLα-Cβ并聯(lián)諧振頻率簡(jiǎn)易表達(dá)式*

王廷江

(西南大學(xué)榮昌校區(qū)基礎(chǔ)部 重慶 402460)

分?jǐn)?shù)階RLα-Cβ并聯(lián)諧振頻率簡(jiǎn)易表達(dá)式*

王廷江

(西南大學(xué)榮昌校區(qū)基礎(chǔ)部 重慶 402460)

將RL-C并聯(lián)諧振推廣到分?jǐn)?shù)階，求得分?jǐn)?shù)階RLα-Cβ并聯(lián)諧振頻率的一般表達(dá)式，推導(dǎo)出α=β時(shí)諧振頻率的簡(jiǎn)易表達(dá)式．

分?jǐn)?shù)階 并聯(lián)諧振 頻率 表達(dá)式

分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分幾乎同時(shí)產(chǎn)生,但因其復(fù)雜性、應(yīng)用背景缺乏等原因而發(fā)展緩慢．直到Mandelbort[1]指出在自然界及諸多技術(shù)領(lǐng)域中存在大量分維數(shù)的事實(shí)，分?jǐn)?shù)階微積分才引起關(guān)注，并且目前已在很多領(lǐng)域有很好的應(yīng)用．

RL-C并聯(lián)電路是一種重要的單元電路，本身由電感線圈和電容器并聯(lián)構(gòu)成，但由于實(shí)際線圈總是有電阻，就如同一個(gè)電阻與理想電感線圈串聯(lián)后再與電容器并聯(lián)．對(duì)整數(shù)階RL-C并聯(lián)諧振曾有文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行過(guò)深入討論[2～3]，本文將其推廣到分?jǐn)?shù)階，對(duì)諧振頻率進(jìn)行了推導(dǎo)，得到了頻率的簡(jiǎn)易表達(dá)式，將為后續(xù)深入研究打下基礎(chǔ)．

1 分?jǐn)?shù)階并聯(lián)諧振

圖1所示為RLα-Cβ并聯(lián)電路示意圖．圖中R，Lα，Cβ分別為電阻、分?jǐn)?shù)階電感和分?jǐn)?shù)階電容，α和β為分?jǐn)?shù)階數(shù)，其取值為：n-1<α

圖1 分?jǐn)?shù)階RLα-Cβ并聯(lián)電路

在頻率為ω的正弦交流電源作用下，電路的導(dǎo)納為

(1)

整理得變換為

(2)

將式(2)簡(jiǎn)寫(xiě)成

Y(jω,α,β)=G+j(BC-BL)=

G+jB=|Y(jω,α,β)|∠φ

(3)

2 RLα-Cβ并聯(lián)諧振頻率簡(jiǎn)易式

依據(jù)式(3)并結(jié)合式(2)，當(dāng)電路發(fā)生諧振時(shí)，應(yīng)有

取α=β，上式解得

(4)

式(4)是RLα-Cβ并聯(lián)電路在α=β時(shí)諧振頻率的一般式，由電路元件參數(shù)和分?jǐn)?shù)階次共同決定，稱固有頻率．

在式(4)中，當(dāng)α=1時(shí)(即整數(shù)階)

將上式變換為

則

所以上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

而

從而可得RLα-Cβ并聯(lián)電路諧振頻率簡(jiǎn)化表達(dá)式

(5)

在式(5)中，當(dāng)α=1時(shí)，也可得到對(duì)應(yīng)整數(shù)階電路諧振頻率的簡(jiǎn)化式．

3 結(jié)論

由電路理論推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階RLα-Cβ并聯(lián)諧振頻率的一般表達(dá)式，根據(jù)工程實(shí)際，得到諧振頻率的簡(jiǎn)易表達(dá)式，諧振頻率主要由電容、電感元件參數(shù)及分?jǐn)?shù)階數(shù)決定，這為深入研究該諧振打下一定的基礎(chǔ)．從頻率的角度看分?jǐn)?shù)階更具有普遍意義，整數(shù)階是分?jǐn)?shù)階的一種特殊情形．

1 Mandelbort B B.The Fractal Geometry of Nature.New York:W.H.Freeman and Company,1983

2 陳水生.關(guān)于RL-C并聯(lián)諧振特性曲線的討論.大學(xué)物理,1998,17(5):18～19

3 陳水生,鄭富年.RL-C并聯(lián)諧振態(tài)量與Q的幾個(gè)關(guān)系式.大學(xué)物理,1999,18(10):23～25

4 邱關(guān)源.電路.北京:高等教育出版社,1999.216～219

5 周守昌.電路原理.北京:高等教育出版社,1999.252～254

Simple Expression on Frequency of Parallel Resonance Circuit of Fractional-orderRLα-Cβ

Wang Tingjiang

(Department of Basic Science Rongchang Campus，Southwest University，Chongqing 402460)

In this paper, the parallel resonant ofRL-Cwill be promoted to the fractional order．The general expression of parallel resonant frequency aboutRLα-Cβis deduced, and simplified the expressions of resonant frequency, withα=βas the condition．

fractional-order；parallel resonance；frequency；expression

*西南大學(xué)實(shí)驗(yàn)技術(shù)研究項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：SYJ2016058

王廷江(1969- ),男，碩士，副教授，主要從事電工理論與新技術(shù)、非線性電路與系統(tǒng)研究.

2016-09-14)