巧用坐標(biāo)式三角形面積公式簡化解題過程

虞懿

一、坐標(biāo)式三角形面積公式

此公式乃坐標(biāo)式三角形面積公式，其形式與平面向量共線的充要條件的坐標(biāo)公式特征極其相似，這樣可有助于對其理解和掌握（可以這樣理解：當(dāng)向量OA與OB不共線時(shí)，三點(diǎn)A，O，B就能構(gòu)成三角形，就有其面積；當(dāng)向量OA與OB共線時(shí)，三點(diǎn)A，O，B就不能構(gòu)成三角形）.倘若將該公式應(yīng)用于解決解析幾何中有關(guān)三角形面積問題時(shí)，別有一番情趣，可使解題過程得到簡化.下面就用該公式求解幾道相關(guān)試題并將過程展示出來，以饗讀者.

二、應(yīng)用舉隅

例1 （2014浙江省高中數(shù)學(xué)競賽第12題）若平面上四點(diǎn)A，B，C，D，滿足任意三點(diǎn)不共線，且4AC+2AB=AD，則S△ABDS△ABC=.

評注 本題的解法多種多樣，但運(yùn)用坐標(biāo)式三角形面積公式解決，可使思路清晰，過程優(yōu)化.

例2 （2015山東省高中數(shù)學(xué)競賽第13題第（1）問）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，不過原點(diǎn)的直線l和橢圓相交于兩點(diǎn)A，B，求三角形△OAB面積的最大值.

解析 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），若直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y=kx+m，

從而S△OAB≤ab2，由此可得，對任意的k，S△OAB≤ab2，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a2k2+b2=2m2.

若直線l的斜率不存在，設(shè)l的方程為x=m，則易證S△OAB≤ab2，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a2=2m2.所以三角形ΔOAB面積的最大值為ab2.

評注 利用坐標(biāo)式三角形面積公式求解關(guān)鍵在于確定三角形各點(diǎn)的坐標(biāo).對于求解方程比較困難（方程的根不是十分簡便）或含字母參數(shù)時(shí)可利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.

例3 （2015四川省高中數(shù)學(xué)競賽第15題）過雙曲線x2-y24=1的右支上任意一點(diǎn)P（x0，y0）作一直線l與兩條漸近線交于點(diǎn)A，B，若P是AB的中點(diǎn).

（1）求證：直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；

（2）求證：△OAB的面積為定值.

解析 （1）略.

（2）雙曲線兩條漸近線方程為y=±2x.

評注 解析幾何問題的本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，坐標(biāo)式三角形面積公式自然地提供了解決解析幾何中有關(guān)三角形面積問題的一條捷徑.

例4 （2011河南省數(shù)學(xué)競賽11題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心，分別以a，b（a>b>0）為半徑作兩個(gè)圓.點(diǎn)Q是大圓半徑OP與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作AN⊥Ox，垂足為N，過點(diǎn)Q作QM⊥PN，垂足為M，記當(dāng)半徑OP繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）設(shè)A，B，C為曲線E上的三點(diǎn)，且滿足OA+OB+OC=0，求△ABC的面積.

解 （1）設(shè)M（x，y），取∠xOP為參數(shù)φ，則x=acosφy=bsinφ，消去參數(shù)φ，得x2a2+y2b2=1，即為曲線E的方程.（2）設(shè)A，B，C的坐標(biāo)依次為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），由上又可設(shè)A，B，C的坐標(biāo)依次為（acosα，bsinα），（acosβ，bsinβ），（acosγ，bsinγ），

則由條件OA+OB+OC=0，得

acosα+acosβ+acosγ=0bsinα+bsinβ+bsinγ=0，進(jìn)而可化為cosα+cosβ+cosγ=0sinα+sinβ+sinγ=0，消去γ，

得cos（β-α）=-12，所以sin（β-α）=-32或32，

由坐標(biāo)式三角形面積公式S△AOB=12x1y2-x2y1=12|abcosαsinβ-absinαcosβ|

=ab2sin（β-α）=3ab4.

同理，得S△BOC=S△COA=3ab4，

所以S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA=33ab4.

評注 這里應(yīng)用坐標(biāo)式三角形面積公式及用橢圓的參數(shù)方程形式表示橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，將已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值問題，避免了復(fù)雜的運(yùn)算.從而使解題過程清晰流暢，令人賞心悅目，流連忘返.

縱觀上述幾例，應(yīng)用坐標(biāo)式三角形面積公式來解決三角形面積問題，由于在解題過程中避免了求邊長和該邊上的高兩個(gè)步驟，因此使解題過程變得簡潔，這對優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力是大有益處的.