駐波法測(cè)量聲速實(shí)驗(yàn)的探討

邵維科，趙 霞，軒植華

(1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) a.少年班學(xué)院； b.物理學(xué)院，安徽 合肥 230026)

學(xué)生園地

駐波法測(cè)量聲速實(shí)驗(yàn)的探討

邵維科a，趙 霞b，軒植華b

(1.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) a.少年班學(xué)院； b.物理學(xué)院，安徽 合肥 230026)

通過(guò)建立起聲波無(wú)限次反射的模型，對(duì)用駐波法測(cè)量聲速實(shí)驗(yàn)的原理進(jìn)行探討. 利用該模型擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果、分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和現(xiàn)象，揭示了理論的合理性及尚存的局限.

聲速；駐波；無(wú)限次反射

聲速測(cè)量作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)，在許多教材[1-4]中都有出現(xiàn)，在一些具體的實(shí)驗(yàn)題目設(shè)計(jì)中也有涉及[5]. 在闡述聲速測(cè)量的實(shí)驗(yàn)原理時(shí)，盡管有些教材[4]給出了正確的電壓-接收與發(fā)射換能器位置關(guān)系圖，但均簡(jiǎn)單地解釋為發(fā)射換能器發(fā)射的聲波和接收換能器反射的聲波疊加形成駐波，接收器接收到的是駐波在接收器位置的聲壓. 很多文獻(xiàn)[6-9]都對(duì)這模型提出了質(zhì)疑，該模型的缺陷在于其中反射波方程隱含了假設(shè)，即反射面在原點(diǎn)，而實(shí)際上反射面是在換能器面上. 基于聲波在兩換能器面間無(wú)限次反射疊加的構(gòu)想，建立了更完善的模型，并對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 駐波模型的缺陷

在媒質(zhì)中傳播的聲波有3個(gè)基本變量：聲壓相對(duì)于靜態(tài)的增量p、介質(zhì)微元微振動(dòng)的速度u、介質(zhì)的密度相對(duì)于靜態(tài)的增量ρ. 為方便起見(jiàn)聲學(xué)理論將p稱作聲壓，把ρ稱作密度增量. 這里介質(zhì)微元指的是流體力學(xué)中常用的包含一定量介質(zhì)粒子，宏觀上足夠小、微觀上足夠大的介質(zhì)塊.

對(duì)于空氣中的聲波，若它的3個(gè)基本變量只依賴于直角坐標(biāo)(稱這種聲波為一維聲波)，則在線性近似下，這3個(gè)變量互成比例，即

(1)

其中ρ0為空氣密度，c0=γp0/ρ0為空氣中的聲速，γ=cp/cV為空氣的比熱容比，p0為大氣壓. 定義聲阻抗率Z為聲壓p與速度u之比，在空氣中，Z=p/u=ρ0c0.

測(cè)量波長(zhǎng)所利用的駐波模型建立在一維、線性聲波的假設(shè)基礎(chǔ)上，適用上面的定義和公式. 發(fā)生器發(fā)出的是時(shí)諧波，其聲壓滿足

p+(x,t)=P0ei(kx-ωt),

(2)

式中+表示正向傳播，P0為聲壓的幅度，初相位設(shè)為0.k為聲波的角波數(shù)，ω為聲波的角頻率，二者滿足

(3)

平面聲波，即一維時(shí)諧聲波在反射和折射時(shí)滿足入射角等于反射角；入射角i和折射角r之間遵循Snell定律，即

(4)

其中c1和c2分別為2個(gè)介質(zhì)中的聲速.

若兩介質(zhì)間的聲阻抗率之比為

z=Z1/Z2,

(5)

則界面上的折射、反射聲壓與入射聲壓之比，即聲壓透射系數(shù)T、聲壓反射系數(shù)R滿足

(6)

(7)

垂直入射時(shí)，i=r=0，(6)～(7)式化為

(8)

(9)

文獻(xiàn)[1]給出的反射波表達(dá)式為

p-(x,t)=P0e-i(kx+ωt),

(10)

從而p+和p-疊加形成駐波，其在接收器面xr處的取值為

(11)

教材原式用空氣微元的微振動(dòng)振幅來(lái)表征聲波，這里為統(tǒng)一起見(jiàn)用振幅和聲壓的關(guān)系將其改寫(xiě)成聲壓式，不失其意.

(2)式和(10) 式中無(wú)衰減，意味著空氣的聲阻抗率為實(shí)數(shù)，則應(yīng)有

(12)

由 (9) 式

z→∞ ,

(13)

這里，z特指換能器與空氣間的聲阻抗比，表明換能器反射面為理想反射面. (10)式實(shí)際上蘊(yùn)含了換能器聲阻抗率非常大，換能器面上發(fā)生完全的反射這一假設(shè).

(12)式僅對(duì)理想反射面才成立，由該式可以計(jì)算反射面位置x0

(14)

又由(10)式中初相位為0，可得

x0=0 ,

(15)

即反射面在原點(diǎn)處. 但是事實(shí)上反射面為接收器面，即x0=xr，兩者顯然矛盾. 若考慮x0變化帶來(lái)的影響，則(10)式可以修改為

p-(x,t)=P0e-i(kx+ωt-δ),

(16)

注意到 (12) 式仍成立，故

(17)

即

δ=2kx0,

(18)

p-(x,t)=P0e-i(kx+ωt-2kx0),

(19)

從而接收器面上的壓強(qiáng)也要做出修正. 由(8)和(13)式得

T=2 ,

(20)

故

(21)

聲速的測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，一般用接收器在不同位置處的聲壓幅度來(lái)求得聲壓變化的周期[1-4]，而由(21)式，聲壓在各處的幅度都為2P0，與接收器位置無(wú)關(guān). 這個(gè)預(yù)言不符合聲壓幅度周期性變化的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，無(wú)法獲得波長(zhǎng).

2 無(wú)限次反射形成疊加聲場(chǎng)

上文已經(jīng)闡明，僅靠發(fā)射波p+和1次反射波p-疊加形成的聲場(chǎng)無(wú)法得到與實(shí)驗(yàn)相符合的預(yù)言，但是可以設(shè)想，聲波并不會(huì)在第1次反射后就傳向無(wú)窮遠(yuǎn)處，而是會(huì)遇上發(fā)射器面發(fā)生第2次反射，進(jìn)而遇上接收器面發(fā)生第3次反射……直至無(wú)窮. 顯然，若按照上文中往返2次波疊加的駐波模型的假設(shè)，換能器聲阻抗極大、發(fā)生完全的反射且介質(zhì)無(wú)衰減，則無(wú)限次反射疊加的結(jié)果必然是聲壓趨于無(wú)窮. 為使聲壓收斂于有限值，必然要考慮介質(zhì)的衰減和反射的損失(如換能器尺寸有限)，即聲波在空氣中的角波數(shù)不再是實(shí)數(shù)k，而是復(fù)數(shù)κ=k+iη，其中η的物理意義為聲波的衰減系數(shù)，并且換能器和空氣間的聲阻抗比z和聲壓反射系數(shù)R也變?yōu)閺?fù)數(shù). 但是衰減和反射的損失在1次反射中非常小，即應(yīng)有

(22)

為表述清晰，不妨按產(chǎn)生順序記第1次來(lái)波、第1次回波、第2次來(lái)波……為第1，2，3……列波. 則接收器處接收到的第n+2列波的聲壓pn+2(t;x0)相對(duì)于第n列波的聲壓pn(t;x0)相位落后2κx0，振幅變?yōu)镽2倍，即以下遞推式

pn+2(t;x0)=pn(t;x0)R2e2iκx0,

(23)

由(2)式，第1列波在接收器處的聲壓為

p1(t;x0)=P0ei(kx0-ωt),

(24)

則第2列波的聲壓為

p2(t;x0)=Rp1,

(25)

接收器處總聲壓為

Peffei[φ(x0)-ωt],

(26)

由于測(cè)量量是示波器上信號(hào)的幅度，相位φ(x0)-ωt表示信號(hào)圖像的左右移動(dòng)，可以舍去不計(jì). 記剩余部分為有效聲壓peff，則

peff(x0)=Peff=|1+R|P0(1+

|R|4exp (-4ηx0)-2|R|2exp (-2ηx0)·

cos (2kx0+2argR))-1/2.

(27)

從(26)式可以看到，無(wú)限次反射疊加的聲波在兩個(gè)換能器之間形成了復(fù)雜聲場(chǎng)，既非行波也非駐波. 而有效聲壓peff確實(shí)以λ/2為“周期”，所以教材中往返2列波疊加的駐波模型能得出正確的波長(zhǎng)，是因?yàn)樗『煤陀行晧壕哂型瑯拥闹芷谛?

為了進(jìn)一步考察有效聲壓peff的性質(zhì)，考慮cos (2kx0+2argR)=+1/-1處，注意到η?1，因此

(28)

故這2組位置可以近似看作圖線的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，因而

(29)

(30)

又由 (22) 式

(31)

pmin(t;x0)≈P0.

(32)

即峰值隨接收器右移而減小，谷值基本不變. 后面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本支持了此結(jié)論.

3 實(shí)驗(yàn)對(duì)理論的檢驗(yàn)

使用SV5型聲速測(cè)量?jī)x進(jìn)行了多次實(shí)驗(yàn)，圖1給出了其中某次測(cè)量的典型結(jié)果. 可以利用Mathematica軟件，用式 (27)擬合數(shù)據(jù). 但是由于測(cè)量的區(qū)間處在 (27) 式的中段，沒(méi)有精確地確定x0=0的位置，故擬合時(shí)必須對(duì)零點(diǎn)作修正. 另一方面，示波器的電壓示數(shù)和實(shí)際的聲壓間有一轉(zhuǎn)換比α，故實(shí)際使用的擬合公式為

Vmeas(x0)=αpeff(x0+ξ)=

α|1+R|P0(1+|R|4exp [-4η(x0+ξ)]-

2|R|2exp [-2η(x0+ξ)]·

cos [2k(x0+ξ)+2argR)]-1/2,

(33)

式中ξ為零點(diǎn)漂移量.

擬合時(shí)確保|R|<1，即聲波反射時(shí)一定是衰減的，并且固定波長(zhǎng)λ為實(shí)驗(yàn)圖像中各峰最高點(diǎn)間距均值的2倍，擬合參量為|R|，α|1+R|P0，η，ξ，argR. 共做2次擬合：第1次擬合時(shí)固定|R|=1，令其他4個(gè)參量的初始值為0，可以得到這4個(gè)參量的初次擬合值；然后以4個(gè)初次擬合值為初始值，并且使|R|的初始值稍小于1，再次擬合得到全部5個(gè)參量的最終擬合值. 表1為4次測(cè)量的擬合參量，圖1為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和擬合曲線.

表1 各參量擬合值

圖1 實(shí)驗(yàn)測(cè)量(表1中第4次)與擬合結(jié)果

在擬合過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，令|R|=1后得到的其他4個(gè)參量的初次擬合值在較大的初始值范圍內(nèi)都收斂到同一組值上；而再次擬合時(shí)|R|的初始值即使有很小的變化也會(huì)導(dǎo)致收斂到的最終擬合值不同. 這點(diǎn)從 (33) 式也顯見(jiàn)，常量ξ和R不獨(dú)立，可以被歸入到|R|和argR中，這就導(dǎo)致數(shù)值可以在這幾個(gè)常量之間有一定的自由分配，所以通過(guò)擬合無(wú)法得到這幾個(gè)數(shù)的實(shí)驗(yàn)值，只能通過(guò)其他實(shí)驗(yàn)事先確定|R|或argR，才能得到剩下2個(gè)常量的值. 擬合結(jié)果中ξ和argR有較大誤差正是此原因.

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，總體上來(lái)看，擬合曲線和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)互相吻合，尤其是二者的周期性符合得相當(dāng)好.

但是仍有一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果理論模型不能解釋，例如圖像的“峰”和“谷”處有一部分符合得很好，另一小部分有一定的差距.

其次，從表1可以發(fā)現(xiàn)，α|1+R|P0的誤差不很大，但是按其物理意義，α和|1+R|應(yīng)是固定常量，而P0比可以用幾次測(cè)量的標(biāo)度之比來(lái)估計(jì). 由圖1，α|1+R|P0之比應(yīng)約為1.2-∶1∶1.2∶1.2+，而由表1，為1.29∶1∶1.26∶1.24. 可以看到，此處理論與實(shí)驗(yàn)的符合程度并不高.

再次，式(28)～(32)成立的前提條件是η?1，而η的擬合值說(shuō)明這個(gè)條件并不成立. 注意到式 (28) 是擬合時(shí)固定波長(zhǎng)λ為實(shí)驗(yàn)圖像中峰間距的2倍的依據(jù)，如果該式不成立，則峰的間距和λ/2理論上不相等. 但是在擬合中發(fā)現(xiàn)兩者之間的差距很小，峰間距仍然是λ/2的很好的近似.

另一方面，仍尚有一些結(jié)果用無(wú)限次反射的模型不能解釋，如圖線峰和谷不能完全符合，η?1條件的不成立，等等. 事實(shí)上，進(jìn)一步的研究可以發(fā)現(xiàn)，圖線的復(fù)雜性中又有一定的規(guī)律性. 這將通過(guò)進(jìn)一步做更深入的研究來(lái)加以解釋.

4 結(jié)束語(yǔ)

在整體上實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了聲波在兩換能器面間無(wú)限次反射的模型，并揭示了周期法測(cè)聲速的正確性. 實(shí)驗(yàn)教材的駐波模型也正是因?yàn)楹驼鎸?shí)聲場(chǎng)具有相同的周期性才能得到正確的聲速，但是2列波疊加的駐波理論的周期性是建立在不完備的假設(shè)基礎(chǔ)之上的， 因而無(wú)限次反射的模型是更完善的理論模型. 利用該模型，可以對(duì)原理類似的實(shí)驗(yàn)[10]作出更精細(xì)的預(yù)言. 事實(shí)上，該模型預(yù)言在衰減系數(shù)η非常小和非常大時(shí)的現(xiàn)象有顯著的不同，這也等待進(jìn)一步的計(jì)算和驗(yàn)證.

[1] 謝行恕，康士秀，霍劍青. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)(第二冊(cè))[M]. 2版. 北京:高等教育出版社，2005:11-15.

[2] 袁廣宇. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)(一級(jí))[M]. 3版. 合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2014:76-87.

[3] 柴成鋼. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M]. 北京:科學(xué)出版社,2004:131-138.

[4] 王廷興，郭山河，文立軍. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)(上冊(cè)，理工基礎(chǔ)部分)[M]. 北京:高等教育出版社，2003:133-137.

[5] 陳建軍，龔國(guó)斌，高文莉，等. 超聲檢測(cè)綜合實(shí)驗(yàn)[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2016，36(1)：24-27，34.

[6] 繆亞立. 聲速測(cè)量原理釋疑[J]. 物理與工程，2004，14(6):58-60.

[7] 鄭慶華. 聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)的探討[J]. 大學(xué)物理，2007，26(9):31-33.

[8] 梁濟(jì)仁，黃開(kāi)連. 駐波法測(cè)量聲速[J]. 廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，15(3):68-72,101.

[9] 胡險(xiǎn)峰. 駐波法測(cè)量聲速實(shí)驗(yàn)的討論[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2007，27(1):3-6,9.

[10] 歐陽(yáng)麗婷，楊旭東，劉敏薔，等. 水面波駐波演示儀[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2016，36(2)：26-28.

[責(zé)任編輯：郭 偉]

Study on sound speed measurement experiment by standing wave model

SHAO Wei-kea, ZHAO Xiab, XUAN Zhi-huab

(a. School of the Gifted Young; b. School of Physical Science,University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China)

The standing wave model in sound speed measurement experiment was discussed using infinite reflection model. The new model was validated by fitting the experimental results and analyzing the data and new phenomenon, with which the validity and limitation of it were shown.

sound speed; standing wave; infinite reflection

2016-05-31；修改日期：2016-11-02

安徽省高校省級(jí)教學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(No.2015jyxm009)

邵維科(1996-)，男，浙江金華人，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班學(xué)院2014級(jí)本科生.

趙 霞(1973-)，女，四川閬中人，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院副教授，博士，從事凝聚態(tài)物理方向的研究.

O422.1

A

1005-4642(2017)03-0048-04

“第9屆全國(guó)高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)”論文