“在直角三角板中按比例求邊”的課例賞析

董蓉艷　楊新鵬

初三學(xué)生在學(xué)習(xí)解三角形時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)記憶特殊銳角三角函數(shù)值出錯(cuò)或計(jì)算速度慢等問(wèn)題，到了高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)依然會(huì)有類(lèi)似的問(wèn)題.在國(guó)培期間，有幸觀摩了云南省宜良縣初中數(shù)學(xué)首席專(zhuān)家李春紅老師的示范課“在直角三角板中按比例求邊”，利用小學(xué)的比例及除法的意義，打通了特殊三角函數(shù)值的記憶和運(yùn)用的通道，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).通過(guò)教學(xué)錄像，記錄了該課的教學(xué)流程，并給出個(gè)人的解讀.

一、“在直角三角板中按比例求邊”的教學(xué)流程

（一）建立小組

師：同學(xué)們，我家鄰居有個(gè)小孩，特別喜歡學(xué)習(xí)，小伙伴們給他起了個(gè)名字，叫作“七天大?！?意思是他一個(gè)星期七天都在看書(shū)、天天都在看書(shū)、大部分時(shí)間都在看書(shū)、剩余的時(shí)間也在看書(shū).教師希望大家能像他學(xué)習(xí)，所以把你們分成四個(gè)小組，“七組”“天組”“大組”“剩組”.請(qǐng)各小組完成學(xué)案的1、2題，完成的小組將得到基礎(chǔ)分80分.

（二）解題競(jìng)賽引入課題

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，則AB= ，BC= .

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=6，則AC= ，BC= .

師：同學(xué)們完成得很好，每一組都得80分，但是用的方法都是勾股定理，計(jì)算比較麻煩，今天學(xué)習(xí)另外一種方法.請(qǐng)同學(xué)們回憶，勾股定理的復(fù)習(xí)課上有一個(gè)題目：已知一個(gè)三角形三邊比為1 ∶ 3 ∶ 2，問(wèn)是什么三角形？后來(lái)發(fā)現(xiàn)它其實(shí)是有一個(gè)角30°的直角三角形.那么，有一個(gè)角是45°的三角板各邊之比為多少？

生：1 ∶ 1 ∶ 2 .

師：請(qǐng)同學(xué)們將比值與邊對(duì)應(yīng)起來(lái).

生：沉默.

師：提示，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊；角相等，所對(duì)邊相等.

我們一般用圈表示他的份數(shù)，區(qū)別于它的長(zhǎng)度.

請(qǐng)學(xué)生們驗(yàn)證：三邊長(zhǎng)之比為2 3 ∶ 6 ∶ 4 3 和3 2 ∶ 3 2 ∶ 6的三角形是否為直角三角形？

生：是.

例1 如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，則AB= ，BC= .

師：有一個(gè)角為30°，先標(biāo)出每邊所占的分?jǐn)?shù)，AC=6，6為長(zhǎng)度， 3 為所占的份數(shù)，則可以得到什么結(jié)果呢？

生：算出每一份所占的長(zhǎng)度.

師：那么AB和BC的長(zhǎng)度如何求？

生：AB= 6 3 ×2=4 3 ，BC= 6 3 ×1=2 3 .

師：相信大家已經(jīng)理解該種求法，關(guān)鍵是書(shū)寫(xiě)，兩種三角板，都是直角，一種是含30°，一種是含45°.所以，該題先拿90°，再拿30°，則就可以寫(xiě)出三邊的比.注意“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊；角相等，對(duì)邊相等”，則可以得出書(shū)寫(xiě)過(guò)程：

解 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°知BC ∶ AC ∶ AB=1 ∶ 3 ∶ 2. （1）

當(dāng)AC=6時(shí)，AB= 6 3 ×2=4 3 ，BC= 6 3 ×1=2 3 . （2）

師：過(guò)程總的寫(xiě)幾部分？

生：3部分.

師：其實(shí)是2部分，第一部分就是根據(jù)圖形得出三邊比值.比值可以“生出”一條邊的長(zhǎng)，也可生出兩條邊的長(zhǎng).我們可以把他叫作“媽媽生娃娃”，生出的“娃娃”會(huì)看一行即第（2）行，我們要記住媽媽的“生日”，即三邊的比值.

例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=6，則AC= ，BC= .

師：媽媽的生日是？

生：1 ∶ 1 ∶ 2 .

師：生幾個(gè)娃娃？怎么算？

生：兩個(gè)，AC=6× 1 2 =3 2 ，BC=6× 1 2 ×1=3 2 .

師：寫(xiě)出全過(guò)程就是……

二、例題演練（限于篇幅，不摘引相關(guān)練習(xí)題）

三、課例評(píng)析

（一）創(chuàng)造性地使用教材

該節(jié)課的內(nèi)容在教科書(shū)中并沒(méi)有，李老師根據(jù)多年的教學(xué)積累和教材習(xí)題，利用小學(xué)的比例及除法的意義，設(shè)計(jì)了該內(nèi)容，解決了初三學(xué)生記憶特殊銳角三角函數(shù)值上出錯(cuò)或計(jì)算速度慢等問(wèn)題.源于教材又創(chuàng)造性地使用了教材.

（二）合作與競(jìng)賽相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式

李老師一開(kāi)場(chǎng)就通過(guò)形象的例子“七天大剩”將學(xué)生分組，并且一開(kāi)始慷慨地給予了每組80分的基礎(chǔ)分，我感覺(jué)有兩點(diǎn)好處，第一，較高的基礎(chǔ)分會(huì)給學(xué)生一種積極的暗示，樹(shù)立自信，充分調(diào)動(dòng)積極性.第二，一節(jié)課結(jié)束，排名靠后的小組也不至于太失望，因?yàn)樗麄兊姆謹(jǐn)?shù)并不低.所以一節(jié)課下來(lái)，學(xué)生主動(dòng)性較好，課堂氣氛很活躍，最高的小組得到了200多分.

（三）形象生動(dòng)的口語(yǔ)表達(dá)

本節(jié)課的難點(diǎn)在于表述直角三角板中按比例求邊的過(guò)程，李教師用了“媽媽生娃娃，生出的娃娃會(huì)看一行”的表達(dá)，強(qiáng)調(diào)求解過(guò)程分為兩部分，第一部分為“媽媽的生日”即三邊的比.然后，“娃娃”會(huì)看一行，即第二部為邊的計(jì)算結(jié)果，要寫(xiě)成一行.形象生動(dòng)，接地氣，抓住了書(shū)寫(xiě)過(guò)程的關(guān)鍵，學(xué)生充滿了興趣，真正做到了寓教于樂(lè).