關(guān)于“秦九韶算法”教學(xué)的一些思考

黃先水 魏霜霜

【摘要】 “秦九韶算法”是人教A版數(shù)學(xué)必修3第一章第3節(jié)算法案例中的案例2.對(duì)算法案例的學(xué)習(xí)不僅能有效地復(fù)習(xí)本章的前兩節(jié)知識(shí)，而且還能夠讓學(xué)生了解中國(guó)古代及西方數(shù)學(xué)中幾個(gè)典型的算法案例，理解其中所包含的算法思想，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn).本文主要對(duì)“秦九韶算法”的德育價(jià)值和數(shù)學(xué)價(jià)值進(jìn)行了探微和研究.

【關(guān)鍵詞】 秦九韶算法；數(shù)學(xué)；教學(xué)

【基金項(xiàng)目】 本文是安徽省教育科學(xué)規(guī)劃立項(xiàng)課題《農(nóng)村中學(xué)數(shù)學(xué)教師素質(zhì)發(fā)展?fàn)顩r的調(diào)查研究》（項(xiàng)目編號(hào)JG10121）的研究成果之一.

在實(shí)際教學(xué)中我們很多教師為了高考而趕進(jìn)度縮減課時(shí)，進(jìn)行灌輸式教學(xué)，不引導(dǎo)學(xué)生探究其算法的形成過(guò)程，而當(dāng)作一道數(shù)學(xué)題來(lái)講解，從而忽視了秦九韶算法的德育價(jià)值與數(shù)學(xué)價(jià)值.因此，有必要對(duì)秦九韶算法的教學(xué)作些思考.

一、德育價(jià)值的挖掘

課前，要求學(xué)生上網(wǎng)搜索秦九韶生平及秦九韶算法對(duì)人類數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，然后，小組合作寫出數(shù)學(xué)小論文.利用數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)滲透德育元素，不僅可以激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的民族自豪感，同時(shí)，也激勵(lì)了學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)取精神，還可以活躍課堂氣氛.

秦九韶（約1202年—1261年）南宋官員、數(shù)學(xué)家，字道古，漢族，生于普州安岳（今屬四川）.與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家，主要著作《數(shù)書九章》.秦九韶算法是一種將一元多項(xiàng)式的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式值的算法，即把求f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值轉(zhuǎn)化為求遞推公式 v0=an，vk=vk-1x+an-k（k=1，2，…，n） 中vn的值.盡管秦九韶算法是700多年前提出的，但現(xiàn)在仍然是多項(xiàng)式求值的比較先進(jìn)的算法.秦九韶是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)家，美國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)史家薩頓（G.Sarton）說(shuō)，秦九韶是“他那個(gè)民族、他那個(gè)時(shí)代、并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”.

二、數(shù)學(xué)價(jià)值的探微

（一）轉(zhuǎn)化是秦九韶算法的思想精髓

課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探究秦九韶算法思想的形成過(guò)程.

1.提出問(wèn)題：直接求多項(xiàng)式的值要經(jīng)過(guò)多少次乘法運(yùn)算，多少次加法運(yùn)算？（此種算法的效率顯然很低下.）

2.教師引導(dǎo)：數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程本質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程，一次多項(xiàng)式的值容易求，那么我們何不……（學(xué)生異口同聲：哦，轉(zhuǎn)化?。?/p>

3.學(xué)生探究：把n次多項(xiàng)式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改寫成如下形式：

（學(xué)生在孜孜探究時(shí)教師要有耐心，允許他們思維卡殼.設(shè)問(wèn)：然后，怎樣求多項(xiàng)式f（x）的值呢？）

4.學(xué)生回答：求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先，計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)里的一次多項(xiàng)式的值，然后，由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值.這樣，求n次多項(xiàng)式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值，其中加法運(yùn)算是n次，乘法運(yùn)算也只有n次.

至此，秦九韶算法思想水到渠成.“感人的歌聲留給人的記憶是長(zhǎng)遠(yuǎn)的”，我們有理由相信學(xué)生一輩子都忘不掉！

（二）算法拓展：解決遞歸數(shù)列問(wèn)題

秦九韶算法是將一元多項(xiàng)式f（x）的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求遞推公式 v0=an，vk=vk-1x+an-k（k=1，2，…，n） 中vn的值，因而可用來(lái)解決有關(guān)遞歸數(shù)列問(wèn)題，舉例如下.

已知數(shù)列{an}中，a1=2，an=2an-1+2n（n≥2），求通項(xiàng)an.

解析：根據(jù)已知條件可以構(gòu)造多項(xiàng)式f（x）=2xn-1+22xn-2+23xn-3+…+2n-1x+2n，從而得到

an=f（2）=2n+2n+2n+…+2n=n·2n.

三、秦九韶方法的算法思想研究

v0=an，vk=vk-1x+an-k（k=1，2，…，n）. 這是一個(gè)在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，因此，可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn).

師生共同設(shè)計(jì)算法步驟，畫程序框圖，最后，用WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句編寫算法程序.

在“秦九韶算法”之后，課本安排了“進(jìn)位制算法”，為什么教材編寫者做如此的安排？其用意何在？通過(guò)研究我們發(fā)現(xiàn)，利用“秦九韶算法”可以解決進(jìn)位制問(wèn)題！

因?yàn)閷進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的表達(dá)式為M（k）=anan-1…a1a0（k）=ankn+an-1kn-1+…+a1k+a0=（…（（ank+an-1）k+an-2）k+…+a1）k+a0，所以只要把M（k）各數(shù)位上的數(shù)字依次從高位到低位分離出來(lái)，則可得十進(jìn)制數(shù)；又因?yàn)閍n，an-1，…，a1，a0均為小于k的非負(fù)整數(shù)，所以a0=Mmodk，設(shè)M= M k ，則a1=Mmodk，再設(shè)M= M k ，則a2=Mmodk.如此循環(huán)，則可求得十進(jìn)制數(shù)M化成k進(jìn)制數(shù)M（k）后各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，再?gòu)挠彝笈帕袆t可得k進(jìn)制數(shù).

由此可見(jiàn)，十進(jìn)制數(shù)與k進(jìn)制數(shù)之間相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是“秦九韶算法”.

把促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的可持續(xù)發(fā)展當(dāng)作自己的責(zé)任，這是中學(xué)數(shù)學(xué)教育界業(yè)已達(dá)成的共識(shí)，也是教師職業(yè)道德對(duì)我們的要求.如何把教材“冰冷”的知識(shí)形態(tài)轉(zhuǎn)化為“鮮活”的教育素材，這是值得認(rèn)真研究的課題.我們的教學(xué)要少一點(diǎn)急功近利，多一點(diǎn)探究生成，正如安徽省特級(jí)教師徐曉兵所說(shuō)的：數(shù)學(xué)教學(xué)的目光應(yīng)放長(zhǎng)遠(yuǎn)些.

【參考文獻(xiàn)】

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)3（必修）教師教學(xué)用書[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2] 毛啟干.對(duì)《秦九韶算法》和《進(jìn)位制算法》的幾點(diǎn)教學(xué)建議與體會(huì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（教師版），2010（3）：11-12.