探究課本習(xí)題，拓展數(shù)學(xué)思維

楊?lèi)?ài)云

摘 要：現(xiàn)階段，高中學(xué)生花費(fèi)了大量的時(shí)間來(lái)完成各科教輔資料，他們盲目追求課外資料而忽略了對(duì)課本的研讀與課后習(xí)題的鉆研。對(duì)此，教師必須引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀每年的高考考試大綱，了解高考試卷的出題辦法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到萬(wàn)變不離其宗——課本，只有在平時(shí)的學(xué)習(xí)中更多地關(guān)注課本和研究課后習(xí)題，才能在高考的戰(zhàn)場(chǎng)上立于不敗之地。

關(guān)鍵詞：直線；方程；數(shù)形結(jié)合

中圖分類(lèi)號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2017）05-0078-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.048

人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（必修2）中有一道習(xí)題：一條光線從點(diǎn)p（6，4）射出，與x相交于點(diǎn)Q（2，0），經(jīng)x軸反射，求入射光線和反射光線的方程。對(duì)于此題，很多學(xué)生看后，不以為然，有的甚至不屑動(dòng)手，因?yàn)榭傆X(jué)得用自己的解法能很快得出答案。見(jiàn)此情形，我提問(wèn)學(xué)生有哪些不同的解法。

生1：采用點(diǎn)斜式。

解法1：如圖1，由P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知入射光線的斜率，再由幾何關(guān)系知反射光線的斜率k反=-1，再根據(jù)點(diǎn)斜式的方程得入射光線與反射光線的方程分別為：

l：x-y-2=0；l反：x+y-2=0。

教師：這位同學(xué)的解法很好！用到了最常規(guī)的做法。請(qǐng)大家再思考一下，還可以用其他的方法來(lái)解決嗎？通過(guò)這樣一問(wèn)，學(xué)生開(kāi)始畫(huà)圖，互相討論，構(gòu)思自己的解法。

生2：采用點(diǎn)關(guān)于法線對(duì)稱(chēng)和兩點(diǎn)式。

解法2：如圖1，由幾何關(guān)系知P（6，4）關(guān)于法線x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'（-2，4），則由兩點(diǎn)式的方程得出入射光線與反射光線的方程分別為：

l：x-y-2=0；l反：x+y-2=0。

生3：采用點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)和兩點(diǎn)式。

解法3：如圖1： 由幾何關(guān)系知P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p'（6，-4），則由兩點(diǎn)式的方程得出入射光線與反射光線的方程分別為：

l：x-y-2=0；l反：x+y-2=0。

生4：采用光的反射原理和點(diǎn)斜式。

解法4：如圖1，由P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知入射光線的斜率，則入射光線的傾斜角為45°，入射角為45°，反射角為45°，反射光線的傾斜角為135°，則反射光線的斜率。再根據(jù)點(diǎn)斜式方程得入射光線與反射光線的方程分別為：

l：x-y-2=0；l反：x+y-2=0。

教師：大家的方法都很好！但是光線能反射一次，就可以進(jìn)行第二次反射，根據(jù)你們給出的多種解法，我對(duì)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木?，想讓其發(fā)揮更好的作用。

變式：一條光線從點(diǎn)p（6，4）射出，與x相交于點(diǎn)Q（3，0），經(jīng)x軸第一次反射后射向y軸，再由y軸進(jìn)行第二次反射，求入射光線、第一次反射光線l2和第二次反射光線l3的方程。

給出題目后，學(xué)生的表現(xiàn)大不一樣，個(gè)個(gè)都搶著要說(shuō)自己的想法，我就隨機(jī)叫起了幾名學(xué)生來(lái)回答。

生5：求l1的方程時(shí)可用兩點(diǎn)式。

解法：如圖2，入射光線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)p（6，4）和Q（3，0），所以利用兩點(diǎn)式的方程得l1的方程為4x-3y-4=0。

生6：求l2的方程時(shí)可用截距式。

解法：如圖2，由幾何關(guān)系知，反射光線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（3，0）和p（6，4）關(guān)于直線x=3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M（0，4），所以利用截距式的方程得l2的方程為，化為一般式為4x+3y-12=0。

生7：求l3的方程時(shí)可用斜截式。

解法：如圖2，點(diǎn)Q（3，0）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q'（-3，0），則 l3的斜率，則l3可利用直線的斜截式方程得，化為一般式為4x-3y+4=0。

教師：這幾名同學(xué)的解法很好，通過(guò)解決這個(gè)問(wèn)題，將直線方程的幾種形式都呈現(xiàn)了出來(lái)。

另外，在推廣應(yīng)用中，要拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的活度。

題根：已知直線L經(jīng)過(guò)直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點(diǎn)，求點(diǎn) A（5，0）到 L的距離的最大值。

生8：（代數(shù)法）由解的交點(diǎn)P（2，1），過(guò)P（2，1）任意作直線垂直于l，設(shè)d為A到l的距離，則（當(dāng)是等號(hào)成立），所以。

生9：（幾何法）如圖3，以AP為直徑作圓，過(guò)P（2，1）的直線與圓交于B，連接 AB，由幾何關(guān)系知AB就是點(diǎn)A（5，0）到 l的距離，當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動(dòng)使得弦 AB與 AP重合時(shí)，點(diǎn)A到直線 l的距離最大。

。

教師：很好的幾何方法，數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用很完美！本節(jié)課通過(guò)探究一道課本中的習(xí)題，使學(xué)生的探究意識(shí)和思維方式得到了鍛煉，掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)得到了梳理和融合，真正提升了使用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。如果長(zhǎng)期堅(jiān)持，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力就會(huì)不斷提高。

參考文獻(xiàn)：

[1] 闞子龍.當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題及對(duì)策[J].中華少年，2016（4）：156.

[2] 唐茜.談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施素質(zhì)教育[J].雅安職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（2）：66.

[責(zé)任編輯 房曉偉]