極值點(diǎn)偏移問題破解策略

湖北 聶文喜

(作者單位：湖北省廣水市第一中學(xué))

極值點(diǎn)偏移問題破解策略

近年來，一類以極值點(diǎn)偏移問題為背景的導(dǎo)數(shù)題在高考或模擬考試中頻頻出現(xiàn)，而學(xué)生對(duì)這類題的解答普遍感覺比較困難.筆者介紹幾種常見破解策略，以供同仁參考.

策略1.構(gòu)造差值消元

在求解一類以指數(shù)型函數(shù)為背景的極值點(diǎn)偏移問題時(shí)，由于此類問題中含有雙元變量x1和x2，我們常常通過構(gòu)造差值換元t=x2-x1，將二元變量x1，x2的問題轉(zhuǎn)化為一元變量t的問題，從而達(dá)到降元減維的目的.

【例1】(2014·江蘇省南通市二?！?0)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其圖象與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點(diǎn)，且x1

(Ⅰ)求a的取值范圍；

【解】(Ⅰ)過程略,a>e2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a>e2，且0

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R)的圖象與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點(diǎn)，

所以ex1-ax1+a=0， ex2-ax2+a=0 ，

因?yàn)閒′(x)=ex-a，

令x2-x1=t，則x2=x1+t，t>0，

所以g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且g(0)=0，

【變式】已知函數(shù)f(x)=2ex-ax-2a(a∈R).設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上任意不同的兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)且x1f′(px1+qx2)(其中正常數(shù)p，q滿足p+q=1且p≥q).

令x2-x1=t，則x2=x1+t，t>0，

所以g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且g(0)=0，

所以t>0時(shí)，g(t)>0，

又f′(x)在R上單調(diào)遞增，

綜上所述，k>f′(px1+qx2).

策略2.構(gòu)造比值消元

將①式解得a代入上式得

【點(diǎn)評(píng)】令x2=x1t，把問題轉(zhuǎn)化為一元變量t的不等式問題，然后構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)，以導(dǎo)數(shù)為工具進(jìn)行證明.

策略3.構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)

已知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有唯一極值點(diǎn)x=x0，且x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)或f(x1)=f(x2)，證明：“x1+x2>(或<)2x0”的極值點(diǎn)偏移問題時(shí)，我們常常將x1+x2>(或<)2x0轉(zhuǎn)化為x2>(或<)2x0-x1，利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性將證明x2>(或<)2x0-x1轉(zhuǎn)化為證明f(x2)>(或<)f(2x0-x1)，再利用f(x1)=f(x2)得f(x1)>(或<)f(2x0-x1)，進(jìn)而構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)g(x)=f(x)-f(2x0-x)(函數(shù)f(2x0-x)是函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=x0對(duì)稱的函數(shù))，然后以導(dǎo)數(shù)為工具進(jìn)行證明.

【例3】(2016·新課標(biāo)Ⅰ理·21)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明x1+x2<2.

【解】(1)過程略，a>0.

(2)由(1)可知a>0，f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，不妨設(shè)x11，因?yàn)閒(x1)=f(x2)，所以x1+x2<2?x1<2-x2<1?f(x1)>f(2-x2)?f(x2)>f(2-x2).

令g(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+a(x-1)2-[-xe2-x+a(1-x)2]=(x-2)ex+xe2-x，x>1，

則g′(x)=(x-1)(ex-e2-x)>0，

所以g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增， 所以g(x)>g(1)=0，即f(x)-f(2-x)>0，

所以f(x2)-f(2-x2)>0，所以原不等式成立.

【變式】(2010·天津理)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R)，如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2.

【解】f′(x)=(1-x)e-x，所以f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞增，在(1,+∞)單調(diào)遞減.

不妨設(shè)x2>x1，則x1<1，x2>1，所以x1+x2>2?x2>2-x1>1?f(x2)

令g(x)=f(x)-f(2-x)=xe-x-(2-x)e-(2-x)，x<1，則g(x)=(x-1)(ex-2-e-x)>0.

(作者單位：湖北省廣水市第一中學(xué))