巧構(gòu)直角坐標(biāo)系 妙解平面向量題

江蘇 韓文美 陸東標(biāo)

(作者單位：江蘇省張家港職業(yè)教育中心)

巧構(gòu)直角坐標(biāo)系 妙解平面向量題

平面向量是銜接數(shù)學(xué)中代數(shù)與幾何的紐帶，溝通“數(shù)”與“形”的橋梁，是數(shù)形結(jié)合的典范．其優(yōu)勢(shì)在于可以將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將幾何推理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，這也決定了向量法在解題中有著廣泛的應(yīng)用．而在解決平面向量問(wèn)題中，通過(guò)巧妙構(gòu)造直角坐標(biāo)系，利用直角坐標(biāo)法來(lái)求解相應(yīng)的平面向量問(wèn)題，也是高考中比較常見(jiàn)的一類技巧方法．

1．巧構(gòu)坐標(biāo)系，妙求參數(shù)值

【分析】通過(guò)三角形形狀的特殊化，并結(jié)合構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的線性運(yùn)算，進(jìn)而求解相應(yīng)的參數(shù)值問(wèn)題．

【解析】不妨設(shè)AC⊥AB，且AB=4，AC=3，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，圖略.

【點(diǎn)評(píng)】解決此類平面向量的參數(shù)值問(wèn)題時(shí)，常規(guī)方法是結(jié)合平面幾何圖形，利用平面向量中的三角形法則，通過(guò)平面向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對(duì)比平面向量的線性關(guān)系式來(lái)求解相應(yīng)的參數(shù)值，過(guò)程比較繁雜，計(jì)算量也大．而通過(guò)平面圖形的特殊化思維，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的巧妙構(gòu)造，利用特殊化情況下坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理一般性問(wèn)題，目標(biāo)性強(qiáng)，方法巧妙，解答簡(jiǎn)單．

【解析】不妨設(shè)AD⊥AB，且AB=4，AD=3，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系.

2．巧構(gòu)坐標(biāo)系，妙解模問(wèn)題

【分析】根據(jù)題目條件確定兩平面單位向量的夾角，通過(guò)建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出平面向量b的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積分別確定坐標(biāo)參數(shù)，進(jìn)而求解平面向量b的坐標(biāo)，即可求解相應(yīng)的模．

設(shè)b=(x，y)，則由b·e1=b·e2=1，

【點(diǎn)評(píng)】解決平面向量的模問(wèn)題，往往可以通過(guò)平面向量的數(shù)量積公式來(lái)求解．而利用題目條件建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)結(jié)合模的定義來(lái)確定相應(yīng)的模問(wèn)題是非常巧妙的一種方法．關(guān)鍵是合理構(gòu)造直角坐標(biāo)系，結(jié)合條件建立與坐標(biāo)有關(guān)的參數(shù)關(guān)系式.

【變式2】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1，若平面向量c滿足a·c=b·c=2，則|c|=________．

設(shè)c=(x，y)，則由a·c=b·c=2，

3．巧構(gòu)坐標(biāo)系，妙解數(shù)量積

【分析】通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)B，A的坐標(biāo)，結(jié)合相關(guān)平面向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積來(lái)轉(zhuǎn)化，通過(guò)求解所設(shè)的坐標(biāo)值的整體代換即可達(dá)到求解相應(yīng)向量的數(shù)量積問(wèn)題．

【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B(―a，0)，A(b，c)，則C(a，0)，

【點(diǎn)評(píng)】解決平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，往往通過(guò)平面線性的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義與關(guān)系式來(lái)轉(zhuǎn)化．在解決平面向量數(shù)量積問(wèn)題中，通過(guò)巧妙構(gòu)造坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來(lái)求解相應(yīng)的平面向量問(wèn)題，也是高考中比較常見(jiàn)的一類技巧方法．

4．巧構(gòu)坐標(biāo)系，妙求代數(shù)式

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【分析】結(jié)合菱形的特征建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)法以及數(shù)量積公式建立相應(yīng)的方程組，進(jìn)而通過(guò)方程組的轉(zhuǎn)化來(lái)達(dá)到求解代數(shù)式的值．

【點(diǎn)評(píng)】解決平面向量中的代數(shù)式問(wèn)題，往往利用平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積等相關(guān)知識(shí)來(lái)處理．而通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)平面向量的坐標(biāo)代數(shù)式，利用平面向量的數(shù)量積來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進(jìn)而達(dá)到求解代數(shù)式的值的目的．

5．巧構(gòu)坐標(biāo)系，妙解最值題

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【分析】結(jié)合題目條件加以分析判斷△ABC的形狀特征，通過(guò)構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，把平面向量的線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定平面向量的最值問(wèn)題．

【點(diǎn)評(píng)】解決平面向量中的相關(guān)最值問(wèn)題，通過(guò)巧妙構(gòu)造坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來(lái)求解相應(yīng)的向量問(wèn)題，把平面向量的線性運(yùn)算、模、數(shù)量積等問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化，利用平面向量的幾何意義、函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)或不等式等來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值問(wèn)題，有效轉(zhuǎn)化，思路清晰，解法巧妙．

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A．13 B．15 C．19 D．21

【解析】以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，

6．巧構(gòu)坐標(biāo)系，妙求范圍題

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【分析】根據(jù)條件聯(lián)想到通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)解決，主要是觀察到A，B1，P，B2構(gòu)成一個(gè)矩形，而向量與坐標(biāo)有著密切的聯(lián)系，通過(guò)已知向量的模的不等式來(lái)建立相應(yīng)的不等式，結(jié)合模的定義，利用不等式的性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進(jìn)而達(dá)到確定相關(guān)模的取值范圍的目的．

【解析】根據(jù)條件知A，B1，P，B2構(gòu)成一個(gè)矩形AB1PB2，

以AB1，PB2所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，

又由(x-a)2+y2=1，

得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，則y2≤1，

同理由x2+(y-b)2=1得x2≤1，即x2+y2≤2，②

故答案為D．

【點(diǎn)評(píng)】解決平面向量中的相關(guān)取值范圍問(wèn)題，往往結(jié)合題目條件，經(jīng)過(guò)求解轉(zhuǎn)化，應(yīng)用排除法來(lái)分析與求解．另外,建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)把問(wèn)題坐標(biāo)化，關(guān)鍵是應(yīng)用不等式性質(zhì)與平面向量中的相關(guān)幾何意義來(lái)確定與之有關(guān)的取值范圍．

【解析】由圓周角的性質(zhì)得點(diǎn)B是在以AC為直徑的圓O上，

以AC所在直線為x軸，AC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則有A(-1，0)，C(1，0)，P(2，0)，

設(shè)B(x，y)，x∈[-1，1]，x2+y2=1，

7．巧構(gòu)坐標(biāo)系，妙解創(chuàng)新題

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A．7 B．5 C．3 D．1

【分析】通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而確定各相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)分析，結(jié)合數(shù)量積的不同結(jié)合，達(dá)到應(yīng)用的目的．

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A(0，0)，B(0，2)，P1(0，1)，P2(1，0)，P3(1，1)，P4(1，2)，P5(2，0)，P6(2，1)，P7(2，2)，

【點(diǎn)評(píng)】解決平面向量的創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題，往往要結(jié)合題目條件，選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理創(chuàng)新問(wèn)題．而涉及與平面幾何有關(guān)的平面向量問(wèn)題，可采用平面直角坐標(biāo)系的巧妙建立，把平面向量問(wèn)題與平面幾何問(wèn)題加以有效轉(zhuǎn)化，可以使創(chuàng)新問(wèn)題的解決朝著方便簡(jiǎn)捷的方向轉(zhuǎn)化．

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A．7 B．5 C．3 D．1

(作者單位：江蘇省張家港職業(yè)教育中心)