基本不等式的兩種特殊應(yīng)用
——例談“1”的代換

安徽 郭洪莉

(作者單位:安徽省蚌埠市懷遠(yuǎn)三中)

基本不等式的兩種特殊應(yīng)用
——例談“1”的代換

利用基本不等式在求函數(shù)最值、求參數(shù)范圍是高考的熱點(diǎn)，深刻理解基本不等式以及會(huì)使用基本不等式是學(xué)生學(xué)習(xí)中的重點(diǎn).本文就著重介紹運(yùn)用基本不等式求代數(shù)式的最值類型中的兩種特殊應(yīng)用以饗讀者.

一、 “1”的代換

(法3)∵a,b>0,a+b=1，

【評(píng)注】上述法1、法2都是兩次使用了基本不等式，不等號(hào)也能同時(shí)成立，符合不等式傳遞性，求出來的最小值也是正確的，但是卻不是此類問題的通法，因?yàn)榈忍?hào)成立的條件很脆弱，當(dāng)已知條件稍微修改，如a+3b=1，那么等號(hào)成立的條件就喪失了；法三則只是用一次基本不等式，等號(hào)又能取到，不會(huì)出現(xiàn)法1、2的尷尬，是一個(gè)通法．

【評(píng)注】本題定值是以分式形式出現(xiàn)，目標(biāo)函數(shù)則是整式.那么這里的“1”代到哪里去呢？顯然是代到x+y的旁邊，并與之相乘，即(x+y)ד1”.此種方法有人把它稱為“1”的附乘．凡是定值不為1也可這樣用，這種方法也經(jīng)常用，此類題型同樣是具體有如下特點(diǎn)：分式的分母之和往往與多項(xiàng)式相差一數(shù)．

當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=1時(shí)等號(hào)成立，

所以2x+y的最小值為3.

3 . 分母之和為常數(shù)是用“1”的代換的特征

【評(píng)注】本題要注意分式的分母x,1-x的整體特點(diǎn)，從而探索到隱含的條件：和為定值即x+(1-x)=1.

4.曲線過一點(diǎn),為“1”的代換提供“定值”

【評(píng)注】對(duì)于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的的函數(shù)式，可以采用換元法，使得它們的特征“分母之和為定值”更加顯現(xiàn).

5. 隱藏在三角最值中的“1”的代換

【評(píng)注】“1”的代換的形式特征是分式的分母相加，可得到定值．分母相加，平方關(guān)系sin2x+cos2x=1，等，都可能提供分母之和為定值的條件．

二、似曾相識(shí)的“1”的代換

1.換元法可凸顯“1”的代換的典型特征

【評(píng)注】待求式的分母較為復(fù)雜，研究雙變?cè)质胶瘮?shù)的最值問題，常用換元法.

2.含有不等關(guān)系m+n≤a的“1”的代換

3.“1”的代換在不等式恒成立中的應(yīng)用

【評(píng)注】通過對(duì)原不等式的變形，最終化歸成典型的“1”的附乘問題.

4.“1”的代換在數(shù)列最值中的應(yīng)用

【解析】由a3=a2+2a1，可得q2-q-2=0，

【評(píng)注】均值不等式與數(shù)列知識(shí)交匯也是近年高考?？碱}，仍然是先求出和或積的定值，再用均值不等式，但要特別注意m，n為正整數(shù)這一條件，要細(xì)心考察等號(hào)是否成立.

(作者單位:安徽省蚌埠市懷遠(yuǎn)三中)