帯邊際風(fēng)險(xiǎn)控制的投資組合問(wèn)題的半定規(guī)劃松弛

丁曉東，肖琳燦，羅和治

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023；2. 浙江工業(yè)大學(xué) 經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

帯邊際風(fēng)險(xiǎn)控制的投資組合問(wèn)題的半定規(guī)劃松弛

丁曉東1，肖琳燦1，羅和治2

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023；2. 浙江工業(yè)大學(xué) 經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

邊際風(fēng)險(xiǎn)衡量單個(gè)資產(chǎn)對(duì)投資組合總體風(fēng)險(xiǎn)的貢獻(xiàn)，是投資組合和風(fēng)險(xiǎn)管理中的一個(gè)重要準(zhǔn)則.考慮均值方差框架下帶有邊際風(fēng)險(xiǎn)控制的投資組合選擇問(wèn)題，其優(yōu)化模型是一個(gè)非凸二次約束二次規(guī)劃問(wèn)題.通過(guò)探索模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并結(jié)合提升方法和割不等式技術(shù)，給出了帶有邊際風(fēng)險(xiǎn)控制的均值方差投資組合選擇模型的一個(gè)緊的半定規(guī)劃松弛，分析了它與原問(wèn)題的最優(yōu)解和最優(yōu)值之間的關(guān)系以及它與文獻(xiàn)中的凸二次規(guī)劃松弛所提供下界的比較關(guān)系.初步數(shù)值結(jié)果表明基于半定規(guī)劃松弛的分支定界算法能有效地找到原問(wèn)題的全局解.

投資組合；邊際風(fēng)險(xiǎn)；半定規(guī)劃松弛；分支定界

投資組合理論主要研究如何在收益不確定的情況下進(jìn)行資產(chǎn)有效配置以最大化預(yù)期收益同時(shí)最小化風(fēng)險(xiǎn).MARKOWITZ[1]在1952年采用均值和方差度量投資組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)，提出了均值方差投資組合優(yōu)化模型，奠定了現(xiàn)代投資組合理論的基礎(chǔ).LI等[2-3]分別將均值方差模型推廣到多階段投資組合和帶有破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)控制的動(dòng)態(tài)投資組合問(wèn)題.PARDALOS等[3]綜述了投資組合選擇的優(yōu)化模型.自均值方差模型提出后，基于不同視角的新的風(fēng)險(xiǎn)度量方法和投資組合模型被相繼提出.KNONO等[5]采用均值絕對(duì)偏差度量風(fēng)險(xiǎn)，建立均值絕對(duì)偏差投資組合模型，該模型可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃來(lái)求解.YOUNG[6]采用投資組合可能出現(xiàn)的最壞收益作為風(fēng)險(xiǎn)度量，基于歷史數(shù)據(jù)給出了極大極小投資組合模型，并通過(guò)引入變量替換方法將該模型轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃來(lái)求解.PHILIPPE等[7]利用風(fēng)險(xiǎn)值(Value-at-risk, VaR)來(lái)衡量一定置信度下投資組合所面臨的最大損失.ALEXANDER[8]證明了在各資產(chǎn)的收益服從正態(tài)分布的假設(shè)下，帶有VaR約束的投資組合模型可轉(zhuǎn)化為等價(jià)的二階錐規(guī)劃問(wèn)題.值得指出，這些風(fēng)險(xiǎn)度量方法僅考慮投資組合的總體風(fēng)險(xiǎn)，而忽略了單個(gè)資產(chǎn)對(duì)投資組合總體風(fēng)險(xiǎn)的貢獻(xiàn).邊際風(fēng)險(xiǎn)來(lái)衡量單個(gè)資產(chǎn)對(duì)投資組合的總體風(fēng)險(xiǎn)的貢獻(xiàn)，單個(gè)資產(chǎn)的邊際風(fēng)險(xiǎn)定義為整個(gè)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)與不包含該資產(chǎn)的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)之差；GRINOLD等[9]將單個(gè)資產(chǎn)的邊際風(fēng)險(xiǎn)定義為投資組合的收益標(biāo)準(zhǔn)差關(guān)于該資產(chǎn)持有量的偏導(dǎo)數(shù).但遺憾的是，這些定義都有一個(gè)共同缺點(diǎn)：所有資產(chǎn)的邊際風(fēng)險(xiǎn)之和不等于投資組合的總體風(fēng)險(xiǎn).為克服這個(gè)缺點(diǎn)，ZHU等[10]通過(guò)分解資產(chǎn)收益的協(xié)方差矩陣提出了一個(gè)新的邊際風(fēng)險(xiǎn)定義，建立了帶有邊際風(fēng)險(xiǎn)控制約束的均值方差投資組合選擇模型，但該模型是一個(gè)帶非凸二次約束的二次規(guī)劃(QCQP)問(wèn)題，求它的全局解是NP-難的；并給出了該模型的一個(gè)凸二次規(guī)劃松弛和基于該松弛的分支定界全局算法.

尋找非凸QCQP問(wèn)題全局解的常用方法是基于線(xiàn)性規(guī)劃與二次凸松弛的分枝-定界方法，而分枝-定界方法的關(guān)鍵問(wèn)題是如何有效地計(jì)算緊的下界.我們知道，半定規(guī)劃(簡(jiǎn)記SDP)松弛對(duì)非凸QCQP問(wèn)題可以提供更緊的下界.ZHENG等[11-12]研究了非凸QCQP的基于D.C.分解、矩陣錐分解和多胞形逼近等技術(shù)的SDP松弛方法；蔡偉榮等[13]利用矩陣分解方法研究了0-1二次規(guī)劃的SDP松弛.為此，我們針對(duì)模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并結(jié)合提升方法和割不等式技術(shù)，給出了帶有邊際風(fēng)險(xiǎn)約束的均值方差投資組合模型的一個(gè)緊的SDP松弛，討論了它與原問(wèn)題的最優(yōu)解和最優(yōu)值之間的性質(zhì)以及它與文獻(xiàn)[10]中的凸二次規(guī)劃松弛所提供下界的比較關(guān)系.初步數(shù)值結(jié)果表明：基于SDP松弛的分支定界算法能在較短時(shí)間內(nèi)求得模型的全局解，比文獻(xiàn)[10]中全局算法的求解效率更高.

1 帶邊際風(fēng)險(xiǎn)控制的投資組合模型

描述文獻(xiàn)[10]所提出的帶有邊際風(fēng)險(xiǎn)約束的均值方差投資組合選擇模型.假設(shè)市場(chǎng)上有n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，r=(r1,r2,…,rn)T表示資產(chǎn)收益隨機(jī)向量,其中ri表示第i個(gè)資產(chǎn)的收益隨機(jī)變量.給定投資組合x(chóng)=(x1,x2,…,xn)T，則投資組合x(chóng)的收益隨機(jī)變量可表為p(x)=rTx,其預(yù)期收益和方差可分別表為

μ(x)=E(rTx)=μTx

σ(x)=E(rTx-μ(x))2=xTQx

其中：μ∈Rn和Q=(σij)n×n∈Rn×n分別為資產(chǎn)收益r的均值向量和協(xié)方差矩陣.以預(yù)期收益μ(x)和方差σ(x)為雙目標(biāo)的均值方差投資組合模型可表為

(PMV) minτxTQx-μTxs.t.x∈D={x∈Rn:eTx=1,l≤x≤u}其中：e=(1,1,…,1)T,τ∈(0,∞)分別為風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)，l,u∈Rn.然而，均值方差投資組合模型的弊端是未考慮單個(gè)資產(chǎn)對(duì)投資組合總體風(fēng)險(xiǎn)的貢獻(xiàn).為此，文獻(xiàn)[10]給出了如下的邊際風(fēng)險(xiǎn)的定義.

定義1 投資組合x(chóng)=(x1,x2,…,xn)T的第k個(gè)資產(chǎn)的邊際風(fēng)險(xiǎn)記為

(1)

(PMR) minf(x)=τxTQx-μTxs.t.xTQkx≤ρkk=1,2,…,mx∈D

其中ρk(k=1,2,…,m,m≤n)為給定的第k個(gè)資產(chǎn)的邊際風(fēng)險(xiǎn)容忍參數(shù).需要指出的是，由于Qk為不定矩陣，問(wèn)題(PMR)是一個(gè)非凸二次約束二次規(guī)劃問(wèn)題，求它的全局最優(yōu)解是NP-難的.

引入如下記號(hào)：記v(·)為優(yōu)化問(wèn)題(·)的最優(yōu)值,記Sn為n×n對(duì)稱(chēng)矩陣的集合.設(shè)A,B∈Sn,AB表示A-B是為半正定矩陣,Sn中的內(nèi)積定義為A·B=Tr(AB).

2 半定規(guī)劃松弛

給出模型(PMR)的一個(gè)SDP松弛及其性質(zhì)，并討論它與文獻(xiàn)中已有的凸二次規(guī)劃松弛的比較關(guān)系.根據(jù)Qi的定義可知：Qi為秩2矩陣，用特征值分解方法將其分解為

(2)

i=1,2,…,m

(3)

i=1,2,…,m

注意到當(dāng)eTx=1時(shí)E·xxT=(eTx)2=1,其中E=eeT.另外，注意到xTQx=Q·xxT且xTQix=Qi·xxT.于是，令X=xxT并將其松弛為半定約束X-xxT0，我們可以得到問(wèn)題(PMR)的一個(gè)SDP松弛為

(SDPMR) minτQ·X-μTxs.t.eTx=1,E·X=1Qi·X≤ρii=1,2,…,m

X-xxT0,l≤x≤u

首先，討論問(wèn)題(PMR)與其松弛(SDPMR)的最優(yōu)解和最優(yōu)值之間的關(guān)系.

(4)

(5)

(6)

其次，我們討論SDP松弛與文獻(xiàn)[10]中所提出的凸二次規(guī)劃松弛的比較關(guān)系.文獻(xiàn)[10]先利用式(2)將問(wèn)題(PMR)中的邊際風(fēng)險(xiǎn)約束xTQix≤ρi,i=1,2,…,m改寫(xiě)為

i=1,2,…,m

(7)

(QPMR) minτxTQx-μTxs.t.eTx=1,l≤x≤u

i=1,2,…,m

我們有

定理3v(SDPMR)≥v(QPMR)

i=1,2,…,m

定理3證明了問(wèn)題(SDPMR)比(QPMR)提供更緊的下界.注意到從下節(jié)的數(shù)值結(jié)果看到，對(duì)所有數(shù)值例子不等式v(SDPMR)

3 數(shù)值結(jié)果

首先，給出模型(SDPMR)和(QPMR)對(duì)問(wèn)題(PMR)提供下界的比較數(shù)值結(jié)果.數(shù)值測(cè)試在Matlab R2013b上實(shí)現(xiàn)，在PC機(jī)(3.33 GHz，8 GB，RAM)上運(yùn)行，并用CVX 1.2中的SDPT3求解器來(lái)求解計(jì)算下界的SDP模型，用CPLEX 12.6中的QP求解器來(lái)求解計(jì)算下界的QP模型.

測(cè)試問(wèn)題由文獻(xiàn)[11]給出的隨機(jī)方法生成.令ri=αi+βirM+δi,i=1,2,…,n,其中：ri為第i個(gè)資產(chǎn)的收益；rM市場(chǎng)指數(shù)的收益；δi為第i個(gè)資產(chǎn)收益的殘差.從而可得到μi=αiβiE(rM)，σii=Var(rM)+Var(δi)，且σij=βiβjVar(rM),其中：參數(shù)αi=0.000 001×ra,rd為用正態(tài)隨機(jī)分布生成的，i=1,2,…,m;βi為在[0.6,1.2]上用均勻分布隨機(jī)生成的，i=1,2,…,m；E(rM)=0.02，Var(rM)=0.003，且Var(δi)是在[0,0.002]上用均勻分布隨機(jī)生成的，i=1,2,…,m.再令l=(0,0,…,0)T,u=(1,1,…,1)T,τ=1.為了衡量下界的緊性,定義下界的改進(jìn)率為

表1給出了對(duì)(PMR)的具有相同規(guī)模的10個(gè)測(cè)試問(wèn)題的下界的平均改進(jìn)率.從表1可看到：在所有的測(cè)試問(wèn)題中,下界v(SDP}MR)比v(QPMR)更緊,且當(dāng)ρi=0.003/n時(shí)測(cè)試問(wèn)題的平均改進(jìn)率提高更大.

表1 對(duì)問(wèn)題(PMR)下界的平均改進(jìn)率

Table 1 The average improvement ratio of lower bound for (PMR)

nmR/%Pi=0．01/nPi=0．003/n10102．839．4720203．7013．8630304．8716．6040405．3517．9550505．3117．6660605．0918．2370704．9818．8280804．7918．6190904．7918．521001004．4618．38

其次，給出求問(wèn)題(PMR)全局解的基于SDP和二次凸松弛的分支定界算法的比較數(shù)值結(jié)果.

記“BB-QP”為文獻(xiàn)[11]中所提出的基于二次凸松弛(QPMR)的分支定界算法，而“BB-SDP”為下界由SDP松弛(SDPMR)得到的分支定界算法.表2給出了BB-SDP和BB-QP算法對(duì)5個(gè)測(cè)試問(wèn)題的平均數(shù)值結(jié)果，其中“fval”，“iter”，“cpu”分別為算法對(duì)5個(gè)測(cè)試問(wèn)題得到的平均最優(yōu)值、平均迭代次數(shù)和平均CPU時(shí)間(單位：s).從表2可見(jiàn)：BB-SDP算法能有效地找到所有測(cè)試問(wèn)題的全局解，而且比BB-QP算法所需時(shí)間更短.

表2 BB-SDP和BB-QP對(duì)5個(gè)測(cè)試問(wèn)題的平均數(shù)值結(jié)果

Table 2 The average numerical results of BB-SDP and BB-QP for five test problems

nmBB?QPfvalitercpuBB?SDPfvalitercpu105-0．017850．43．0-0．01781．00．41010-0．0182144．47．4-0．01821．00．1205-0．018726．41．5-0．01871．00．12010-0．0191131．87．7-0．01911．00．23010-0．018949．63．2-0．01891．00．23020-0．0186376．826．8-0．01851．00．34010-0．0189103．47．2-0．01891．00．34020-0．0187349．227．2-0．01871．00．45010-0．0190129．410．9-0．01901．00．45020-0．0191149．612．4-0．01911．00．66010-0．019173．26．8-0．01911．00．66020-0．0190273．627．9-0．01901．00．87010-0．019282．08．3-0．01911．00．77020-0．0191226．025．4-0．01911．01．18010-0．019430．03．6-0．01931．00．98020-0．019356．86．1-0．01931．01．29010-0．019225．23．3-0．01921．01．19020-0．0194209．228．9-0．01921．01．810010-0．019425．43．2-0．01941．01．410020-0．0193171．623．2-0．01931．02．210050-0．01921050．0224．4-0．01921．07．0

4 結(jié) 論

考慮了帶有邊際風(fēng)險(xiǎn)控制約束的投資組合選擇問(wèn)題，其優(yōu)化模型是一個(gè)非凸二次約束二次規(guī)劃問(wèn)題，但求它的全局解一般而言是非常困難的.利用非凸約束的特殊結(jié)構(gòu)并結(jié)合提升法和添加割不等式技術(shù)，給出了該模型的一個(gè)更緊的SDP松弛及其最優(yōu)解的性質(zhì)，證明了它比文獻(xiàn)[10]中的二次凸松弛更緊.初步數(shù)值結(jié)果表明：基于SDP松弛的分支定界算法能在較短時(shí)間內(nèi)求得由隨機(jī)產(chǎn)生的測(cè)試問(wèn)題的全局解，比文獻(xiàn)[10]中的全局算法更有效.

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Semidefinite programming relaxation for portfolio selection with marginal risk control

DING Xiaodong1, XIAO Lincan1, LUO Hezhi2

(1.College of Science, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China；2.College of Economics and Management, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

Marginal risk that is used to measure the contribution of an individual assets to the overall risk of the portfolio, is an important criterion in portfolio selection and risk management. In this paper, we consider the portfolio selection problem with marginal risk control in the mean-variance framework. In this problem, the optimization model is a quadratic programming problem with nonconvex quadratic constraints. By exploiting the structural characteristics of the model and combining the lifting method with secant inequality techniques, we present a tight semidefinite programming (SDP) relaxation for this problem. We discuss the relationships between optimal solutions and optimal values of the original problem and its SDP relaxation, and compare the lower bounds provided by the SDP relaxation and quadratic convex relaxation in the literature. Preliminary numerical results show that the branch-and-bound algorithm based on the SDP relaxation can find the global optimal solution of the original problem effectively.

portfolio selection; marginal risk; semidefinite programming relaxation; branch-and-bound

(責(zé)任編輯：劉 巖)

2016-04-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371324)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY17A010023)

丁曉東(1983—)，男，河南鄭州人，講師，博士，研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論、算法與應(yīng)用，E-mail: dxdopt@zjut.edu.cn.

O221.2

A

1006-4303(2017)01-0064-05