讓幾何直觀成為數(shù)學(xué)思維習(xí)慣
——小學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的實(shí)踐研究

丁國成

（浙江省余杭雙溪小學(xué)）

一、一道數(shù)學(xué)題的啟示

一套衣服，上衣每件48元，褲子每條36元，用1000元錢買這樣的12套衣服夠嗎？（請作圖表示你的解決方法）

這是四年級的一道數(shù)學(xué)題。括號中“請作圖表示你的解決方法”這個小小的要求，對學(xué)生造成了很大的困擾。

1. 無從下手

抽取四年級100名學(xué)生的題目進(jìn)行調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)：畫圖31% ；列表 16%；算式對，不畫圖47%。這31%的畫圖的學(xué)生中，完全能用圖形或符號描述和分析問題的只有三分之一左右。更多的學(xué)生，面對“請作圖表示你的解決方法”無從下手。

2. 圖不表意

像這樣畫一件衣服和褲子的學(xué)生不在少數(shù)，學(xué)生只是單純地為“作圖”而“作圖”，這樣的圖沒有起到描述數(shù)學(xué)問題的作用。

究其原因是學(xué)生沒有借助圖形理解、分析問題的意識，缺乏相應(yīng)的畫圖能力，沒有形成幾何直觀的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

二、立足課標(biāo)，“幾何直觀”之內(nèi)涵解讀

課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用”。可以理解為，借助圖形描述，把抽象的問題直觀化，利用圖形尋找解決問題的途徑和方法，最后能直觀地理解抽象問題。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)讓“幾何直觀”成為思維習(xí)慣之策略研究

研讀課標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)，幾何直觀是一種意識，也是一種技能與能力，更是一種思維方式。在我們的實(shí)踐過程中，從以下幾方面入手。

（一）突顯價值，逐步形成以形助思的意識

“幾何直觀”的意識指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題，能感受到可以通過實(shí)物、圖形、符號等直觀形式分析和解決問題。要讓學(xué)生感受到幾何直觀的價值，學(xué)生才會有意識地去往幾何直觀靠近。

1. 感受其形象化

用圖形描述數(shù)學(xué)問題，用圖形說話的能力，這是幾何直觀的內(nèi)涵之一。學(xué)生要形成“幾何直觀”的意識，逐步學(xué)會從問題到圖形的描述，要從一年級開始。

這類問題對于一年級的學(xué)生來說，常常是不知所措。教師在教室里模擬，學(xué)生也是排隊的時候清楚，回到題目又迷霧重重，這時可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖。

學(xué)生經(jīng)過嘗試、交流，可以得到這樣的兩幅圖：

在這里，學(xué)生用不同的圖形表示主題圖中“我”和其他同學(xué)，并用大括號準(zhǔn)確地表示出了兩幅圖中“9”和“5”兩個數(shù)字所包含的學(xué)生，準(zhǔn)確地表達(dá)出了“幾”和“第幾”的不同。學(xué)生要形成幾何直觀的意識，首先需要在日常的學(xué)習(xí)中多加運(yùn)用，學(xué)會從問題到圖像。

2. 經(jīng)歷其抽象化

低年級學(xué)生喜歡用簡單的圖形去表示數(shù)學(xué)問題中的具體事物，從而理解其中的關(guān)系。在學(xué)生掌握一定的畫“示意圖”的技能后，適時引入“線段圖”，讓學(xué)生經(jīng)歷“文字—符號—圖形”的過程。

案例：求一個數(shù)的幾倍是多少？

出示：7只蝸牛，瓢蟲的只數(shù)是蝸牛的3倍

教師：你會畫出瓢蟲的只數(shù)嗎？

展示反饋：

第一種：畫了兩只后，就用圈圈代替。

第二種：直接用三角形代替。

第三種：直接用線段圖表示了蝸牛和瓢蟲的數(shù)量。

教師：比較剛才的三種方法，你比較贊同哪一種？說說你的原因。

學(xué)生：第二種，又簡單，又清楚。

學(xué)生：第三種的線段圖，我覺得也沒問題，我們都能看出來什么意思。

教師：現(xiàn)在蝸牛的總數(shù)有500只，你會選擇用什么方法來表示？

課件演示，用直條覆蓋原先的圈圈，形成一幅直條圖，把直條進(jìn)行壓縮變形，形成線段圖。

7 只 7 只

在這個過程中，教師抓住契機(jī)，從直條圖過渡到線段圖，讓學(xué)生體驗從形象到抽象的過程，經(jīng)歷“幾何直觀”的思維活動方式。

3. 體驗其簡明化

數(shù)學(xué)文字的抽象、數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜給學(xué)生分析理解問題帶來一定的困難。通過幾何直觀把抽象的數(shù)學(xué)問題與直觀的圖像表達(dá)結(jié)合起來，使得題目中的數(shù)量關(guān)系簡單明了，突破理解上的難點(diǎn)。如經(jīng)典案例“打電話”：

學(xué)校合唱隊有15人，暑假有緊急演出，老師要盡快通知每個隊員，用打電話的方式，每分鐘通知1人，至少需要多少分鐘？

類似這樣類型的題目，在比賽的場次等數(shù)學(xué)廣角的領(lǐng)域比較多。在課堂教學(xué)小結(jié)中，應(yīng)該問一問：沒有圖能說清楚嗎？真切感受圖形給學(xué)生的幫助，加深對應(yīng)用畫圖策略的價值的直觀體驗。

（二） 重視畫圖，培養(yǎng)學(xué)生用圖說話的能力

幾何直觀需要用圖形把數(shù)學(xué)問題形象直觀地展現(xiàn)出來，要形成對數(shù)學(xué)問題與圖像之間相互轉(zhuǎn)化的能力，就需要在教學(xué)中對學(xué)生進(jìn)行畫圖策略的指導(dǎo)。

1. 積累“圖”的經(jīng)驗

當(dāng)前，我們使用的人教版教材中采用了大量的主題圖，幾何直觀的內(nèi)容俯拾皆是。在“數(shù)的認(rèn)識”中教材大量采用了小棒、方塊等對應(yīng)的幾何模型。用好這些主題圖，可以使學(xué)生積累豐富的圖式經(jīng)驗，提升其幾何直觀能力。

板塊____________內(nèi)容_教材呈現(xiàn)數(shù)的認(rèn)識1～5各數(shù)的認(rèn)識

案例：5的分合

1. 屏幕依次出現(xiàn)5個蘋果，最后形成一個“5”字。接著又出現(xiàn)了兩個袋子。

師：猜猜每個袋子里可能會有幾個蘋果？

2.如果用“○”表示蘋果，你還會研究嗎？

學(xué)生使用以下的學(xué)習(xí)材料獨(dú)立研究，教師巡視。

幾何直觀可以追溯到“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”，分析主題圖，可以發(fā)現(xiàn)，教材以現(xiàn)實(shí)情境為起點(diǎn)，幫助學(xué)生形成了數(shù)大小的表象。到了“5的分合”就讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物直觀，發(fā)展到符號直觀，并為今后的圖形直觀開始積累經(jīng)驗。

2. 拓寬“圖”的理解

圖的內(nèi)容：幾何直觀中的幾何指圖形，主要指點(diǎn)、線、面、體以及以上四要素組成的其他幾何圖形。但是作為幾何直觀中的“圖形”并非局限于此，只要能讓學(xué)生借助用于“描述、分析問題”的圖都屬于這個范疇。

如“倒推策略”：小明原來有一些郵票，今年又收集了24張。送給小軍30張，還剩52張。小明原來有多少張郵票？

在這里，對于解決問題中的倒退策略的運(yùn)用，教師退回到起點(diǎn)，順著思維把數(shù)量變化的過程表達(dá)清楚，再進(jìn)行倒推，這樣才有依據(jù)。這時，可以指導(dǎo)學(xué)生用箭頭圖描述數(shù)量變化的過程。

3. 重視“圖”的過程

課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。因此教學(xué)中，既要重視結(jié)果，又要重視獲取知識過程。想象、畫圖是學(xué)生思維的載體，突顯思維的痕跡。

如：求不規(guī)則圖形周長

不規(guī)則圖形的計算中無論是周長計算還是面積計算，基本思路可以分為剪拼和轉(zhuǎn)化。特別是轉(zhuǎn)化的過程，語言表達(dá)是不及畫圖準(zhǔn)確的。“求不規(guī)則圖形周長”根據(jù)每條邊的長度來計算的思路是行不通的。利用轉(zhuǎn)化的策略把它變成一個新的圖形就可以了。在交流的過程中，運(yùn)用課件動態(tài)演示轉(zhuǎn)化的過程，有效地在學(xué)生的頭腦中建立平移轉(zhuǎn)化的表象。

（三）內(nèi)化思維，形成下意識的思維習(xí)慣

通過從低年級開始的用圖形表達(dá)自己的意識，逐步學(xué)會運(yùn)用幾何直觀分析數(shù)學(xué)問題，最終把幾何直觀內(nèi)化為一種下意識的、主動的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

1. 溝通一種聯(lián)系——抽象與直觀

學(xué)生借助圖形直觀進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，首先需要把研究的“對象”抽象成為“圖形”，把“對象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化成“圖形之間的關(guān)系”，這樣就把要解決的具體情境問題轉(zhuǎn)化為具體的圖形的數(shù)量或位置關(guān)系的問題，可以讓學(xué)生把握問題的本質(zhì)。

學(xué)生在想象、操作、直觀表征數(shù)學(xué)問題的過程中，要逐步建立抽象與直觀之間的聯(lián)系，掌握文字語言、符號語言和圖形語言之間相互轉(zhuǎn)化的能力。

如“乘法分配率”的教學(xué)中：

運(yùn)算律 文字語言 _符號語言_________________圖形語言乘法分配率兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于把這個數(shù)分別和這兩個數(shù)相乘，再把乘得的兩個積_______相加。_________________________________（a+b)×c=a×c+b×c

在這里，通過歸納整理，用直觀的方式建立符號意識，讓學(xué)生充分感受符號與圖形的使用是進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要方式。

2. 建立一種觀念——空間觀念

在幾何圖形這一領(lǐng)域內(nèi)部也需要幾何直觀進(jìn)行理解分析。這就要求學(xué)生具有很好的空間想象能力，能根據(jù)物體特征想象出幾何圖形，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中要參與各種幾何活動，注重引導(dǎo)學(xué)生將活動過程中對圖形的感受與有關(guān)知識建立聯(lián)系。

如“直線、射線和線段”的教學(xué)中，可以通過一系列的圖片，在視覺上給學(xué)生們以直觀的認(rèn)識，從而引出“直線”的概念，使學(xué)生輕易發(fā)現(xiàn)直線的特點(diǎn)。其實(shí)直線是一個理想化的概念，凸顯幾何直觀地感受顯得尤為重要。引導(dǎo)學(xué)生通過親身觸摸、觀察、想象、制作和實(shí)驗，把視覺、聽覺和觸覺等協(xié)同起來，從而掌握圖像特征，建立空間觀念。

在學(xué)習(xí)中，學(xué)生的操作以及運(yùn)用畫圖表示幾何內(nèi)容的空間形式與位置關(guān)系等活動經(jīng)驗越豐富，空間觀念的建立越厚實(shí)，幾何直觀的水平就會越高。

3. 形成一種視角——數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：數(shù)缺少形時少直觀，形缺少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合是對知識、能力的貫通式的理解與認(rèn)識。

學(xué)生常規(guī)的做法是通過通分進(jìn)行計算。借助這一直觀圖就可以把復(fù)雜的計算轉(zhuǎn)化成簡單的計算：

像這樣的例子不勝枚舉，在這里就要用好教材，挖掘教材，在循序漸進(jìn)中，通過學(xué)習(xí)，逐步形成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識和解決數(shù)學(xué)問題的視角。

四、讓幾何直觀成為數(shù)學(xué)思維習(xí)慣之研究收獲

通過借助幾何直觀助力數(shù)學(xué)理解，循序漸進(jìn)，逐步提升學(xué)生幾何直觀數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的形成的策略研究，我們驚喜地發(fā)現(xiàn)：學(xué)生畫圖意識提高了，會主動運(yùn)用圖形理解題目的意思，借助示意圖，分析數(shù)量關(guān)系，學(xué)生對圖形之間的溝通能力提高了。

學(xué)生課堂作業(yè)

1.增強(qiáng)畫圖意識

在課題實(shí)施過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生只埋頭苦思的想象少了，知道想一想、畫一畫的過程中，體驗到了畫圖的樂趣。

我們選擇了五年級的一個班級，進(jìn)行了測試，收齊草稿紙時，發(fā)現(xiàn)，草稿紙上留下畫圖痕跡的學(xué)生比例明顯提高。

2.提升思維能力

從實(shí)驗班與對比班課堂檢測情況分析顯示，實(shí)驗班學(xué)生示意圖的描述、分析問題的切合度都明顯優(yōu)于對比班。從實(shí)驗班與對比班期末測試成績的數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn)：實(shí)驗班的各項優(yōu)秀率均高于對比班，并且隨著年級的升高差距明顯。