把握核心概念 創(chuàng)設(shè)多維通道 催生素養(yǎng)落地
——基于學(xué)生認(rèn)知心理“解決問題”教學(xué)路徑設(shè)計(jì)

馬 理

（浙江省杭州市勝藍(lán)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

“解決問題”教學(xué)旨向是通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生思維，讓學(xué)生的思維逐步變得更清晰、更全面、更深刻、更合理。因此，“解決問題”教學(xué)是落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要載體。

一、“解決問題”教學(xué)在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的意義

“解決問題”教學(xué)在新教材編寫中有著非常明顯的特征，例如提供解決問題的一般步驟，體現(xiàn)清晰有序的思考；提供豐富的解決問題的方法，體現(xiàn)合理全面的思考；為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題提供了貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的素材和情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)地觀察，養(yǎng)成數(shù)學(xué)的理性精神等，這些都是為實(shí)現(xiàn)“解決問題”的課程目標(biāo)服務(wù)的，都表達(dá)了數(shù)學(xué)教育正致力于提高學(xué)生的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”。

在教學(xué)中，“解決問題”不僅僅包含解決某個問題，而是從數(shù)學(xué)的視角去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題。它著力培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語言。因此史寧中教授將數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)解讀為三句話：用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。“解決問題”教學(xué)，更關(guān)注問題解決的過程——探索、思考、交流、回顧反思。在整個學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生通過建立系統(tǒng)的思維方式，來體驗(yàn)知識間的聯(lián)系，理解知識的價(jià)值?！敖鉀Q問題”是復(fù)雜的思維過程，學(xué)生需要運(yùn)用抽象、歸納、類比、演繹等數(shù)學(xué)思想方法。

顯然，教材賦予“解決問題”教學(xué)在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的意義非凡?！敖鉀Q問題”教學(xué)能夠使學(xué)生獲得自然的數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，獲得數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣，將數(shù)學(xué)思考和生活實(shí)踐中的學(xué)習(xí)有效結(jié)合，讓學(xué)生獲得相互聯(lián)系的知識結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生理解知識的價(jià)值，從而發(fā)展他們的實(shí)踐創(chuàng)新能力和科學(xué)精神。

二、“解決問題”教學(xué)內(nèi)容在單元體系中的地位和價(jià)值

新教材對運(yùn)用所學(xué)知識解決問題教學(xué)內(nèi)容的編排，突破傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)內(nèi)容的束縛，在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率的各領(lǐng)域都為學(xué)生安排了從生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出數(shù)學(xué)問題的豐富素材和情境，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的能力。

二年級下冊《有余數(shù)除法》單元“解決問題”教學(xué)內(nèi)容

三年級上冊《長方形與正方形》單元“解決問題”教學(xué)內(nèi)容

五年級下冊《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》單元“解決問題”教學(xué)內(nèi)容

從上圖中可以看到，新教材在各個內(nèi)容領(lǐng)域加強(qiáng)了對解決問題能力的培養(yǎng)，將培養(yǎng)“四能”（發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力）的教學(xué)與各部分知識的教學(xué)有機(jī)結(jié)合。教材循序漸進(jìn)地提供解決問題的一般步驟，低段教材提供的“你知道了什么”“怎么解答的”“解答正確嗎”來引導(dǎo)學(xué)生思考。中高段教材提供的“閱讀與理解”“分析與解答”“回顧與反思”教給學(xué)生解決問題的基本方法。一般“解決問題”教學(xué)都安排在每個單元的最后幾課時(shí)，目標(biāo)是讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識去解決問題，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，深化知識理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。且每個內(nèi)容都有其所側(cè)重的思維培養(yǎng)目標(biāo)，如上圖中《有余數(shù)除法》單元解決問題側(cè)重建立基本除法問題模型，三年級上冊《長方形與正方形》單元中的解決問題側(cè)重感受解決問題策略，五年級下冊《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》單元中解決問題則側(cè)重深化核心知識——分?jǐn)?shù)。

三、“解決問題”學(xué)生認(rèn)知心理分析

早期的教育家從不同的視角分析解決問題的認(rèn)知過程，著名的有數(shù)學(xué)問題解決四段論模式。認(rèn)知心理理論認(rèn)為，在問題表征階段，當(dāng)學(xué)生閱讀問題時(shí)，會在建構(gòu)的數(shù)學(xué)表征與文本庫之間多次往返。這意味著學(xué)生是在不斷地更新完善問題表征過程中，逐步加深對問題的理解的，以豐富的表征為基礎(chǔ)建構(gòu)起問題模型。

美國現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家西蒙也認(rèn)為：表征是問題解決的中心環(huán)節(jié)。能否正確表征問題是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)生對問題的正確表征，就是用自己的方式重新組織問題情境中的信息，并根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)和知識對有關(guān)信息進(jìn)行區(qū)分和整理，明確信息與問題是否相關(guān)，尋找解決問題的突破口，逐步形成解決問題的思路。

布魯納為代表的認(rèn)知理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，數(shù)學(xué)教育的根本是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)問題解決的過程，就是新舊知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，最后升級為新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)家張奠宙先生提出數(shù)學(xué)教學(xué)的問題驅(qū)動原則，它是指在教學(xué)中要有“有層次、結(jié)構(gòu)化、可擴(kuò)展、能持續(xù)”的問題或問題系統(tǒng)貫穿整個教學(xué)，把學(xué)生的思維引向深入，從而最大限度地激發(fā)其對問題的探究、體悟和理解教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。

根據(jù)認(rèn)知心理理論，筆者認(rèn)為“解決問題”教學(xué)應(yīng)該關(guān)注以下方面：

（1）好“問題”驅(qū)動問題的探索。設(shè)計(jì)好“問題”，讓“解決問題”的過程有意義、有意思，更好地推動學(xué)生思維發(fā)展。

（2）重視“問題表征”策略的積累。表征問題是解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在教學(xué)中需要加強(qiáng)表征問題的策略的指導(dǎo)，有序地引導(dǎo)學(xué)生掌握多種形式表征問題的方法，不斷地讓學(xué)生感受到多元表征之間的轉(zhuǎn)換，逐步提高解決問題的能力。

（3）以問題為載體著力知識結(jié)構(gòu)化。解決問題過程是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化的過程。應(yīng)著力于溝通知識、策略、方法間的聯(lián)系，形成體系。

四、基于學(xué)生認(rèn)知心理設(shè)計(jì)“解決問題”教學(xué)

1. 追本溯源，厘清三“問”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要有貫穿整個教學(xué)的“好”問題，才能將學(xué)生的思維引向深入。在“解決問題”教學(xué)中能驅(qū)動學(xué)生思考的問題非常重要。在設(shè)計(jì)問題時(shí)，教師要先追本溯源，厘清下面三個“問題”，才能設(shè)計(jì)出能引領(lǐng)整節(jié)課的好問題。

（1）知識本源問題?！敖鉀Q問題”教材的資源往往帶有豐富素材和情境，深刻理解所教學(xué)的知識內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，準(zhǔn)確把握學(xué)科本源問題，教師才清楚自己到底是“教什么”。

（2）學(xué)習(xí)起點(diǎn)問題。要實(shí)現(xiàn)每位學(xué)生的思維都動起來，必須要了解學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)在哪里，困惑會是什么，教學(xué)才能真正驅(qū)動學(xué)生自主學(xué)習(xí)行為。

（3）探究引領(lǐng)問題。這是教學(xué)層面的核心問題，與情境設(shè)計(jì)相結(jié)合，讓學(xué)生能自發(fā)地進(jìn)入“有意思”的問題探索。

三“問”關(guān)系圖

教師要設(shè)計(jì)好探究引領(lǐng)問題必須深入思考知識本源問題，也就是“教什么”，還有思考學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)狀況，才能明白自己該“怎么教”。

案例1 三年級上冊《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》單元的解決問題

《求一個數(shù)的幾分之幾是多少的簡單分?jǐn)?shù)問題》是通過解決問題的形式，進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的含義，同時(shí)用分?jǐn)?shù)的含義來解決問題，即用平均分的概念來解決“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的簡單實(shí)際問題，它的知識本源是“平均分”。學(xué)生已有的起點(diǎn)是已經(jīng)學(xué)習(xí)了平均分問題和初步理解“分?jǐn)?shù)的意義”，已有了“歸一”問題的模型，在深入理解了本源問題和起點(diǎn)問題后，在教材創(chuàng)設(shè)的貼近學(xué)生生活的“男女生人數(shù)”問題情境——12名學(xué)生，其中是女生，是男生，男女生各有幾人？——抓住知識本源和學(xué)生起點(diǎn)提煉出探究引領(lǐng)問題，即“其中是女生，是男生是什么意思？你怎么表達(dá)是女生的？為什么？是男生呢？”引導(dǎo)學(xué)生用畫圖來輔助表達(dá)可以較好地抓住問題核心，在反饋中借助圖形表征，讓學(xué)生充分交流表達(dá)，順利過渡到用算式表征，初步體驗(yàn)簡單分?jǐn)?shù)問題的模型。

“解決問題”教學(xué)，是展開數(shù)學(xué)課程的問題探索，是用數(shù)學(xué)去解決生活問題，具有濃濃的數(shù)學(xué)味。認(rèn)真解讀思考教學(xué)內(nèi)容的知識本源、學(xué)生起點(diǎn)，以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)才能生活地、新穎地、具有高思維含量地主探問題。

2.打造多維通道，拉長問題體驗(yàn)

（1）構(gòu)建“半結(jié)構(gòu)化”開放式情境

突破單純文字問題的形式，用“半結(jié)構(gòu)化”開放式任務(wù)情境是問題呈現(xiàn)的重要途徑。研究者發(fā)現(xiàn)，在“半結(jié)構(gòu)化”的開放式任務(wù)情境中，問題提出和解決活動能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)創(chuàng)造性和批判性思維。

案例2 三年級下冊《面積》單元的解決問題：《用面積知識解決問題》

環(huán)節(jié)一：提出問題，探索起點(diǎn)

出示情境（見圖）：小南用長方形卡紙剪正方形的數(shù)字卡片?？埖拈L是8厘米，寬是6厘米。一張正方形紙片的邊長是2厘米。

看了這些信息后，你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

（學(xué)生根據(jù)信息提出以下問題）

①長方形卡紙的面積是多少？

②長方形卡紙的周長是多少？

③正方形的數(shù)字卡片的面積和周長是多少？

④一共可以剪幾張數(shù)字卡片？

說說問題是根據(jù)哪些信息提出來的，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注信息之間的關(guān)系。

這個環(huán)節(jié)情境呈現(xiàn)的問題就是“半結(jié)構(gòu)式”的，先出現(xiàn)信息，進(jìn)行“信息解讀”，再用“根據(jù)信息提出問題”的操作方法，讓學(xué)生信息解讀自我需求加強(qiáng)了，體會問題的真實(shí)性和生成性，培養(yǎng)學(xué)生從信息到問題的推理思維。

（2）創(chuàng)設(shè)“支點(diǎn)”，拉長思維過程

學(xué)生思維是由簡單到復(fù)雜，由具體到抽象，由感性到理性的。在思維的發(fā)展過程中，教師要給學(xué)生在思維過程的“支點(diǎn)”，學(xué)生借助這個“支點(diǎn)”來學(xué)會思維，慢慢提高必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這個“支點(diǎn)”就是基于學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)認(rèn)知的問題材料，搭建思維的“支點(diǎn)”，就是幫助學(xué)生跳過一個個學(xué)習(xí)上的“坎兒”，學(xué)生在不斷完成新問題的挑戰(zhàn)，慢慢積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，沉淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

案例3 繼續(xù)以三年級下冊《面積》單元的解決問題：《用面積知識解決問題》為例

環(huán)節(jié)二：理解方法，體會不同的解題思路

圍繞“一共可以剪幾張數(shù)字卡片？”學(xué)生獨(dú)立嘗試，要求簡單地寫出（畫出）思考過程。交流引導(dǎo)以下兩種方法：

預(yù)設(shè)一：8×6=48（平方厘米），2×2=4（平方厘米），48÷4=12（張）

預(yù)設(shè)二：用畫圖表示，得到結(jié)果

8÷2=4（張），6÷2=3（張），4×3=12（張）

討論兩種方法對嗎？都是怎樣思考的？

得出方法一的思路是:大圖形的面積÷小圖形的面積

方法二的思路是：行的張數(shù)×列的張數(shù)

環(huán)節(jié)三：解決生活問題，再次感受兩種不同解題思路

像這樣的問題，生活中有嗎？學(xué)生舉例。

呈現(xiàn)教材例題：“客廳的長是6米，寬是3米，用正方形的地磚鋪地，地磚的邊長是3分米。鋪客廳地面一共要用多少塊地磚？”請學(xué)生獨(dú)立嘗試完成解答，反饋時(shí)引入第二種方法的圖示。

①教師引導(dǎo)對比，說說這個問題和我們“用卡紙剪數(shù)字卡片的問題”有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

小結(jié)：解題方法（思路）一樣，但這道題需要轉(zhuǎn)化單位。

②再次對比：那么第一種方法和第二種方法有什么共同點(diǎn)呢？它們都有除法算式，表示的意義分別是什么呢？

環(huán)節(jié)四：再次探索，豐富感性經(jīng)驗(yàn)

出示情境：小北用長方形卡紙剪正方形的數(shù)字卡片?？埖拈L是10厘米，寬是9厘米。一 張正方形紙片的邊長是3厘米。一共可以剪幾張數(shù)字卡片？

學(xué)生自主解決后反饋交流。重點(diǎn)比較兩種方法的異同。

方法一：10×9=90（平方厘米），3×3=9（平方厘米），90÷9=10（張）

方法二：10÷3≈3（張），9÷3=3（張），3×3=9（張）

讓學(xué)生用畫圖表示，說明得到結(jié)果。

到底可以剪幾個呢？哪種方法對是的？為什么？

生活中的問題會出現(xiàn)這樣的情況嗎？

與“小南剪卡片的問題”對比，為什么第一題兩種解法都可以，而這道題只能用第二種方法呢？想想什么情況下可以用“大圖形面積包含著小圖形面積”這種方法呢？

環(huán)節(jié)五：變換情境，拓寬思路，發(fā)展思維能力（略）

【思考】學(xué)生解決這樣的問題的兩條基本途徑是逐步感受到并加深理解的。第二種方法是普適的方法、一般的方法，更符合真實(shí)問題的解決，但它相對來說比第一種方法結(jié)構(gòu)上更復(fù)雜些，所以只有在經(jīng)歷解決問題過程時(shí)，當(dāng)直接用“大圖形面積÷小圖形面積”不能解決時(shí)，需要研究大圖形的長、寬與小圖形邊長的關(guān)系，于是，畫圖、以數(shù)形結(jié)合的思維方式幫助學(xué)生理解信息之間的關(guān)系，準(zhǔn)確地找到解題的突破口。

以上教學(xué)活動中，學(xué)生的思維不再是一步到位的，而是盡可能地拉長思維過程，從基礎(chǔ)的圖示化問題，到具體生活問題，再增加變式的圖示化問題，最后再回到生活問題，不斷積累表征問題和分析問題的基本活動經(jīng)驗(yàn)。通過四個問題的解決，借助每個問題解決過程的充分探討、體驗(yàn)，一層層地引導(dǎo)學(xué)生感受問題解決各環(huán)節(jié)的操作要點(diǎn)。

（3）多形式表征，打造多維通道

教學(xué)中教師要適當(dāng)放慢腳步，用圖示、表格、文字等不同的表述方法，感受相同問題不同表征，和不同問題表征之間的轉(zhuǎn)換，循序漸進(jìn)推進(jìn)學(xué)習(xí)進(jìn)程，讓學(xué)生能從容地找到適合自己解決或思考問題的思維通道，這也是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的關(guān)鍵能力。比如，上例《用面積知識解決問題》的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生不斷地在圖示、文字和算式的表征中對比理解兩種問題解決方法，第一種是大面積里面包含了幾個小面積就是需要鋪幾塊磚；第二種方法中的除法表示大圖形的長里面包含了幾個小圖形的邊長，寬包含了幾個小圖形的邊長，再相乘求出一共有塊數(shù)。在問題解決中打造多維通道，引導(dǎo)學(xué)生找到這些方法間的內(nèi)在聯(lián)系，讓彼此的方法能有一條線串起來。并在“同中求異”“異中求同”的問題驅(qū)動下，慢慢養(yǎng)成數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣，以此來使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升成為可能。

3.溝通“聯(lián)系”，著力核心知識的結(jié)構(gòu)化

新教材將“解決問題”視為把先前所獲得的知識用于新的、熟悉或不熟悉的情境的過程，體現(xiàn)以“問題為中心的學(xué)習(xí)”。因此，“解決問題”教學(xué)需立足于核心知識、方法，可以看作是將知識結(jié)構(gòu)化的過程，是知識在解決問題的過程中的聯(lián)系和溝通，使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)在運(yùn)用中形成體系。

案例4 三年級上冊《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》單元的解決問題教學(xué)片段

環(huán)節(jié)三 ：對比練習(xí)

你發(fā)現(xiàn)了什么？這幾題有什么相同與不同？

你發(fā)現(xiàn)了什么？這幾題有什么相同與不同？

【思考】在“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”問題的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)初步建立起來以后，學(xué)生要在應(yīng)用模型的過程中真正建模。筆者設(shè)計(jì)三個層次：第一層次是總數(shù)和平均分的份數(shù)（分母）不變，變的是取了幾份（分子）；第二層次是對比練習(xí)是總數(shù)和取了幾份（分子）不變，變平均分的份數(shù)（分母）；第三層次是平均分的份數(shù)（分母）和取了幾份（分子）都不變，總數(shù)不同，讓學(xué)生不僅體會解答方法，更要理解解答的道理，在比較中讓學(xué)生更多地感受“變”與“不變”，從而更深層次地理解體會核心概念——分?jǐn)?shù)。

“用分?jǐn)?shù)解決分?jǐn)?shù)問題”一課的核心知識是“平均分”和“分?jǐn)?shù)的意義”，分?jǐn)?shù)的意義本質(zhì)上也就是“平均分”，在引入中將平均分和分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行比較，說說：“你有什么發(fā)現(xiàn)？為什么題目不同答案卻是相同的？”在探究后說說：“我們剛才在理解分析問題時(shí)用到了什么方法、什么知識？”在總結(jié)時(shí)說說：“今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容與我們以前學(xué)習(xí)的什么知識本質(zhì)上是相同的？”讓學(xué)生體會分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識及應(yīng)用都是以平均分為起點(diǎn)的，抓住核心知識，并將分?jǐn)?shù)問題與歸一問題聯(lián)系起來，形成知識的結(jié)構(gòu)化理解，建構(gòu)知識體系。

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