探討微積分在研究隨機(jī)現(xiàn)象中的妙用

彭章艷

【摘要】本文從經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)建模算法中隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)例出發(fā)，體現(xiàn)了微積分算法在其中的妙用.又從微積分運(yùn)算研究隨機(jī)現(xiàn)象的角度，闡述了微積分運(yùn)算的具體應(yīng)用，從而在今后的研究隨機(jī)現(xiàn)象中，將微積分這一數(shù)學(xué)工具積極運(yùn)用起來(lái).

【關(guān)鍵詞】微積分；概率論；數(shù)理統(tǒng)計(jì)；隨機(jī)現(xiàn)象；數(shù)學(xué)模型

隨機(jī)現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)生活中處處可見，通常是指事前不可預(yù)言的現(xiàn)象，即使在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行，每次結(jié)果也未必相同，或只知道事物過(guò)去的狀況，但未來(lái)的發(fā)展卻不能完全肯定.它是概率論研究的主要對(duì)象，隨著概率論中隨機(jī)變量的引入，將隨機(jī)試驗(yàn)的“結(jié)果”與“實(shí)數(shù)”對(duì)應(yīng)起來(lái)，統(tǒng)一化、數(shù)量化，給用微積分研究隨機(jī)現(xiàn)象帶來(lái)了極大的方便，可以說(shuō)微積分是解決一些計(jì)算問(wèn)題必不可少的計(jì)算工具，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展的保證，也是一種應(yīng)用最廣泛、最直接、最有效、最富創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)方法.

一、用微積分運(yùn)算經(jīng)濟(jì)學(xué)中的不確定性

微積分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)與起點(diǎn)，內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用.函數(shù)是微積分研究的基本對(duì)象；極限是微積分的基本概念；微分和積分是特定過(guò)程、特定形式的極限.在自然科學(xué)領(lǐng)域中已有非常廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、人文等領(lǐng)域的研究工具.特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)關(guān)系更是密切，據(jù)統(tǒng)計(jì)自1969年起建立的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)家獎(jiǎng)的得主有半數(shù)以上得益于有效地應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)，這是一個(gè)多么誘人的前景.

眾所周知，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)通常是在不確定性的環(huán)境中進(jìn)行，這種隨機(jī)現(xiàn)象對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)不但有很大的影響，有時(shí)甚至有決定性的作用.為尋求經(jīng)濟(jì)的有關(guān)規(guī)律，就要通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算精準(zhǔn)地對(duì)經(jīng)濟(jì)進(jìn)行預(yù)測(cè)或決策，因而與微積分就聯(lián)系在一起了.下面我們以概率模型來(lái)說(shuō)明人們?cè)谌粘Ｐ袨橹杏梦⒎e分尋求決策問(wèn)題.

如第i個(gè)家庭是否決定買住房，與他的收入Xi有一定的聯(lián)系，

我們首先建立一個(gè)概率模型Ii=β1+β2Xi.

Xi——第i個(gè)家庭的收入；Ii——不可觀測(cè)的效用指數(shù)，

Ii值越大，擁有住房的概率越大，令Y=1，擁有住房；0，否則.

Ii買房門檻值，如果Ii值超過(guò)了Ii，該家庭將擁有住房，否則不擁有.

給定正態(tài)分布的假定，Ii≤Ii的概率可由標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)積分計(jì)算.

Pi=Pr（Y=1）=Pr（Ii≤Ii）=F（Ii）

=12π∫Ii-∞e-t22dt

=12π∫β1+β2Xi-∞e-t22dt.

其中t～N（0，1）.

通過(guò)這一模型，在這里又體現(xiàn)了微積分的妙處，它能把很多隨機(jī)的現(xiàn)象，看來(lái)不是數(shù)，但可根據(jù)需要設(shè)定實(shí)數(shù)來(lái)表示，并利用積分進(jìn)行，以便對(duì)采取的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議，而不是盲目地投資.由此我們可以堅(jiān)信，數(shù)學(xué)將越來(lái)越精細(xì)地刻畫實(shí)證經(jīng)濟(jì)學(xué)，這對(duì)我們?cè)S多人而言，使之越來(lái)越富有挑戰(zhàn)性，它使我們以新的方式看待和思考世界.

二、用微積分定量分析物理學(xué)中的隨機(jī)現(xiàn)象

數(shù)學(xué)是物理研究的工具和手段，物理學(xué)的一些研究方法有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)對(duì)物理學(xué)的發(fā)展起著重要的作用.經(jīng)典的數(shù)學(xué)主要是伴隨著物理發(fā)展起來(lái)的，從牛頓到拉格朗日，再?gòu)睦窭嗜盏焦軤栴D、龐加萊，其中的牛頓方程，拉格朗日方程和哈密爾頓方程可看作是他們的標(biāo)志，且隨著科學(xué)研究范圍的拓展和實(shí)踐水平的提高，人們的科學(xué)認(rèn)識(shí)也在迅速地?cái)U(kuò)展和深化，從這里也可以看出數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展幾乎是完全共生在一起的.

如，我們觀測(cè)到的關(guān)于氣體分子的運(yùn)動(dòng)，分子在x=0時(shí)與另一分子碰撞后，它在時(shí)刻x以前不與其他分子碰撞，而在（x，x+Δx）這段時(shí)間內(nèi)與其他分子碰撞的概率等于λΔx+o（Δx），其中λ>0，問(wèn)自由運(yùn)動(dòng)時(shí)間（連續(xù)碰撞之間的時(shí)間）大于x的概率如何？

分析：設(shè)p（x）為所求的概率，首先我們按題意建立關(guān)于p（x）的微分方程，則這個(gè)微分方程滿足初始條件的特解就是所求的概率.

若設(shè)X為分子的自由運(yùn)行時(shí)間，且P（X>x）=p（x），

則P（X>x+Δx）=p（x+Δx），其中Δx>0，

因?yàn)槭录>x可以分解為兩個(gè)互不相容事件xx+Δx的并，

所以有

P（X>x）=P（xx+Δx）

=P（X>x）P（X≤x+Δx|X>x）+P（X>x+Δx）.

依題意有P（X≤x+Δx|X>x）=λΔx+o（Δx）.

由此得p（x）=p（x）[λΔx+o（Δx）]+p（x+Δx），

整理為p（x+Δx）-p（x）Δx=-p（x）λ+o（Δx）Δx.

因?yàn)楫?dāng)Δx→0時(shí)，o（Δx）>0是比Δx高階的無(wú)窮小量，即limΔx→0o（Δx）Δx=0，

所以當(dāng)Δx→0時(shí)，取極限得dp（x）dx=-λp（x）.

這就是關(guān)于p（x）的微分方程.當(dāng)x=0時(shí)，X>0是必然事件，

有初始條件p（0）=P（X>0）=1，用分離變量法解得到通解p（x）=Ce-λx，

根據(jù)初始條件p（0）=1得C=1，所以滿足初始條件的特解為p（x）=e-λx，

這就是我們要求的概率.

在這里我們首先按題意建立了探討物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型——?dú)怏w分子自由運(yùn)行實(shí)際概率的微分方程.可見，當(dāng)我們采用了微分法這一重要的數(shù)學(xué)方法，就能促進(jìn)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的深刻認(rèn)識(shí)，使數(shù)學(xué)為物理服務(wù).可見一個(gè)物理現(xiàn)象產(chǎn)生了，就可用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)理解、表達(dá)它.不可否認(rèn)，微積分對(duì)科學(xué)的發(fā)展和進(jìn)步起到了巨大的推動(dòng)作用，可以說(shuō)沒有數(shù)學(xué)的微積分，科學(xué)中的有些問(wèn)題就無(wú)法解決，更不可能產(chǎn)生相應(yīng)的技術(shù)和生產(chǎn)力.

三、用微積分建模隨機(jī)現(xiàn)象及其計(jì)算機(jī)算法

當(dāng)我們描述實(shí)際對(duì)象的某些特性隨時(shí)間（或空間）演變的過(guò)程、分析它的變化規(guī)律、預(yù)測(cè)它的未來(lái)性態(tài)、研究它的控制手段時(shí)，我們往往會(huì)用到數(shù)理統(tǒng)計(jì).根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，對(duì)研究對(duì)象的客觀概率性做出種種合理的估計(jì)和判斷.為此我們常常要構(gòu)建一座溝通現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁，并以計(jì)算機(jī)為工具，應(yīng)用現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)，達(dá)到迅速、高效地解決實(shí)際問(wèn)題.

如，我們來(lái)看一看關(guān)于錄像機(jī)的計(jì)數(shù)器，老式的只有計(jì)數(shù)器，沒有計(jì)時(shí)器.經(jīng)試驗(yàn)一盤標(biāo)明180分鐘的錄像帶從開頭放映到結(jié)尾，用了184分鐘，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061，下面還有一批測(cè)試數(shù)據(jù)如表：

對(duì)于上述問(wèn)題的建模求解，雖然方法有多種，但利用微分法不乏是其中的一種，即用時(shí)間序列的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，推測(cè)事物的發(fā)展趨勢(shì)；可見，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展、進(jìn)步、推廣和使用，這些隨機(jī)現(xiàn)象參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷或最優(yōu)設(shè)計(jì)、預(yù)測(cè)都可借助某些計(jì)算軟件（如Matlan、Lingo等）的強(qiáng)大計(jì)算功能進(jìn)行微積分的運(yùn)算，使之對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究更加便捷.

總之，隨機(jī)現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)世界中大量存在，而微積分總是如影隨形，并且研究隨機(jī)現(xiàn)象的微積分在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域也越來(lái)越得到廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，隨著科學(xué)技術(shù)的日新月異，微積分還將以其獨(dú)特的數(shù)學(xué)方法、豐富的內(nèi)容、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摓楫?dāng)今社會(huì)眾多科學(xué)領(lǐng)域提供解決隨機(jī)現(xiàn)象實(shí)際問(wèn)題的高效工具，也必將為隨機(jī)現(xiàn)象的深入研究，顯示出其巨大的威力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]遠(yuǎn)山君.數(shù)學(xué)與生活[M].北京：人民郵電出版社，2015.

[2]古扎拉蒂.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2000.

[3]史樹中.數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.

[4]司守奎，孫璽菁.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2014.