例談線性規(guī)劃中的易錯(cuò)點(diǎn)

丁新華

【摘要】線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)應(yīng)用較廣泛、方法較成熟的重要分支，屢屢出現(xiàn)在高考試卷中，筆者對(duì)教學(xué)與考試中幾個(gè)易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理歸納，寫下此文，希望對(duì)廣大同行與學(xué)生提供一些參考.

【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃；易錯(cuò)點(diǎn)；歸納整理

線性規(guī)劃問題是實(shí)際生活中常遇到的一類問題，因此常見于各省市高考試卷中.筆者將線性規(guī)劃教學(xué)中學(xué)生常見的易錯(cuò)點(diǎn)整理歸納如下，僅供參考.

案例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A=（x，y）|x+y≤1x≥0y≥0，求：

（1）若z=x-y，則z的最大值是；

（2）若平面區(qū)域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}，則平面區(qū)域B的面積為（）.

A.2

B.1

C.12

D.14

錯(cuò)解（1）作出x-y=0的平行線，如圖1，發(fā)現(xiàn)當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)z取最大值-1.

評(píng)析因?yàn)閦=x-y在y軸上的截距是-z，故點(diǎn)A（1，0）才是使z取得最大值的最優(yōu)解，所以zmax=1.事實(shí)上，對(duì)于目標(biāo)函數(shù)z=ax+by，b<0時(shí)通過作圖發(fā)現(xiàn)在y軸上的截距與z的最值恰好相反.

錯(cuò)解（2）令a=x+y，b=x-y則0≤a≤1，-1≤b≤1表示的平面區(qū)域如圖2所示，則面積應(yīng)等于2.

評(píng)析本題中忽略x與y本身的范圍，應(yīng)注意到a+b=2x≥0，a-b=2y≥0，所以約束條件為a+b≥0，a-b≥0，0≤a≤1，-1≤b≤1， 表示的平面區(qū)域如圖3，所以陰影面積為1，即B的面積為1.

案例2設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x-y-2≤0，x+y-4≥0，2y-3≤0， 求z=y+1x-3的取值范圍.

錯(cuò)解因?yàn)榭尚杏虻捻旤c(diǎn)分別為A52，32，B72，32和C（3，1），所以-5≤y+1x-3≤5.

評(píng)析線性規(guī)劃問題是數(shù)形結(jié)合的典范，通過可行域如圖4，可以觀察得y+1x-3≤-5或y+1x-3≥5.

案例3不等式組y-x≥0，x+y-10≥0，y-3x+6≤0， 表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖像上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，求a的取值范圍.

錯(cuò)解因?yàn)閰^(qū)域D的頂點(diǎn)分別為C（3，3），A（5，5），B（4，6），所以a>1，515≤a≤614， 所以515≤a≤614.

評(píng)析畫出可行域D如圖5，發(fā)現(xiàn)可行域并非是封閉的三角形區(qū)域，點(diǎn)A（5，5）使a取最小值515，所以a的取值范圍為515≤a.

案例4若實(shí)數(shù)x，y滿足條件y-x≥0，x+y-10≤0，y-3x+6≤0， z=x+yi（i為虛數(shù)單位），求|z+1-6i|的最大值和最小值.

錯(cuò)解因?yàn)閨z+1-6i|可以看作可行域中的點(diǎn)到點(diǎn)（-1，6）的距離，所以畫出可行域如圖6，分別帶入點(diǎn)A（5，5），B（4，6），C（3，3）得出5≤|z+1-6i|≤37，所以最大值37，最小值5.

評(píng)析本題錯(cuò)解在于忽視了當(dāng)由點(diǎn)（-1，6）向直線y-3x+6=0作垂線時(shí)，垂足可能在可行域中，事實(shí)上垂足72，92恰好在線段BC上，故最小值應(yīng)為22.5，最大值37.

案例5若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式35x+24y≥106，x∈N，y∈N， 求z=140x+120y的最小值.

錯(cuò)解做出可行域如圖7所示，因?yàn)辄c(diǎn)A10635，0且由于直線l：z=140x+120y的斜率k=-76>kAB=-3524，可知當(dāng)直線l向上平移過點(diǎn)（3，1）時(shí)z=540，過點(diǎn)（4，0）時(shí)z=560，故z的最小值是540.

評(píng)析本題的難點(diǎn)在于x∈N，y∈N，對(duì)于整點(diǎn)問題可利用“平行移動(dòng)、代入檢驗(yàn)”的方法解決，所以本題中還要考慮x=2，因?yàn)?5x+24y≥106，故y≥32，所以考察點(diǎn)（2，2）得出z=520；再考察點(diǎn)（1，3）得出z=500；進(jìn)而考察點(diǎn)（0，5）得出z=600.故本題最優(yōu)解應(yīng)為（1，3）時(shí)zmin=500.

總評(píng)

（1）若約束條件是線性的情況，則目標(biāo)函數(shù)只在可行域的頂點(diǎn)或邊界上取得最值；

（2）若求解一些非線性目標(biāo)的最值或范圍，則可依據(jù)求解目標(biāo)的幾何意義，利用解析幾何的相關(guān)知識(shí)方法求解.