高中數(shù)學(xué)函數(shù)求值域的常用方法

李海旭 劉君

【摘要】值域是研究函數(shù)的一個重要環(huán)節(jié)，根據(jù)函數(shù)“三要素”可知，值域是由定義域和對應(yīng)運算法則共同決定，所以定義域和運算法則的多變性導(dǎo)致計算值域的方法存在多樣性和靈活性，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，因此對于如何準確、快速求值域需要“具體問題，具體分析”，采取恰當?shù)挠嬎惴椒?，做到“有效對?yīng)”，避繁就簡達到事半功倍的效果.本文介紹了通過簡單函數(shù)運算、值域性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算等最常用的幾種方法，同時結(jié)合相應(yīng)例題講解，使學(xué)生快速掌握求值域的基本方法.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；值域；常用方法

求函數(shù)值域的常用方法有：配方法、分離常數(shù)法、判別式法、反解法、換元法、不等式法、單調(diào)性法、函數(shù)有界性法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法.

一、觀察法

有些函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，我們可以通過基本函數(shù)的值域以及不等式直接觀察出函數(shù)的值，這種通過觀察函數(shù)特點做為解題突破口的一類函數(shù)值域的求法，簡潔明了，不失為一種巧法.

二、配方法

配方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法.F（x）=af 2（x）+bf 2（x）+c的函數(shù)的值域問題，都可使用配方法，解題過程中要特別注意自變量的取值范圍.

三、判別式法

若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù)，可用二次方程根的判別式法求函數(shù)的值域.

四、反函數(shù)法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域.也叫反解x法，將y視為變量，利用數(shù)式的性質(zhì)或已知函數(shù)的值域求y，體現(xiàn)了逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一.

五、分離常數(shù)法

形如y=cx+dax+b（a≠0）的函數(shù).思路是用分母表示分子，分離出常數(shù)，使得分子不含變量，最后借助基本函數(shù)的值域求解.

六、換元法

以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進而求出值域.

形如y=ax+b±cx+d（a，b，c，d均為常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)常用換元法.令u=cx+d，x=u2-dc且u≥0，使之變形為二次函數(shù)，再用配方法；如果函數(shù)中含有a2+x2形式，用三角代換，令x=asinα，α∈-π2，π2或者x=acosα，α∈[0，π]，這種方法用到的是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識.

七、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab.用此法求值域時，要注意條件“一正二定三相等”.即① a>0，b>0；② a+b（或ab）為定值；③ 取等號條件a=b.其題型特征：解析式是和時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧.考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式（組）或構(gòu)造重要不等式，求出函數(shù)定義域，進而求值域.不等式法是重要的解題工具，它的應(yīng)用非常廣泛，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一.

八、單調(diào)性法

先確定函數(shù)在定義域（或定義域某個子集上）的單調(diào)性，再求出函數(shù)的值域的方法為單調(diào)性法.

九、數(shù)形結(jié)合法

若可以畫出函數(shù)圖像時，通過圖像可以求出值域和最值；或者利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法求出函數(shù)的值域.利用函數(shù)的圖像求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法.

十、求導(dǎo)法

若一個函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時，可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)求其最值.

總而言之，在具體題中求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察這個題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒?，一般做題時優(yōu)先考慮直接法，函數(shù)的單調(diào)性法和基本不等式法，最后才考慮用其他各種特殊求值域的方法.