極限思想與極限求解方法

張辰銘

【摘要】極限思想是近代數(shù)學的一種重要思想，是社會實踐的產(chǎn)物.極限是高等數(shù)學中最基本的、最重要的概念，極限思想貫穿了高等數(shù)學的整個過程.本文就極限思想的發(fā)展和完善做了簡要介紹并對極限求解的常用方法進行匯總.

【關(guān)鍵詞】無窮；極限；微積分；函數(shù)

一、無窮小和悖論

古希臘有一個哲學家叫芝諾，他提出了“兩段法”來否認人能從一個點到達另一點，理由是正在行走的人從A地出發(fā)走到B地，首先他必須通過標有中心的C點，這剛好是AB的中心點.然后，他又得經(jīng)過路程的34的D點，這是BC的中心點.接著，從D點出發(fā)，在到B之前他仍要經(jīng)過一個中心點，即路程78的E點.從E點出發(fā)，他仍然得經(jīng)過EB的中心點F……由此類推下去，無論距離路程終點B有多么接近，他都得先經(jīng)過剩下路的中心點.但是，這些中心點是無止境的，哪怕是微乎其微的距離，也總還有一個地方是這段距離的中心點，正因為中心點是走不完的，所以行走的人雖然離終點越來越近，但他始終無法到達終點.

他還提出了“阿里斯基和烏龜賽跑”悖論.阿里斯基是古希臘的半神英雄，是古希臘的第一勇士，以善跑著稱.芝諾指出：讓阿里斯基和烏龜賽跑，烏龜在阿里斯基前方1000米，假定阿里斯基的速度是烏龜速度的100倍，當比賽開始后，若阿里斯基跑了1000米，用了t時間，此時，烏龜又已經(jīng)跑了10米，當阿里斯基跑完下一個10米時，用的時間為t100，此時，烏龜仍然領(lǐng)先他0.1米，當阿里斯基跑完下一個0.1米時烏龜仍然領(lǐng)先他，以此類推，阿里斯基只能無限接近而不能追上烏龜.

這本來是荒謬的，但芝諾提出的理由又是那樣的正當，以至于長久以來沒有人能駁倒他.縱觀歷史，數(shù)學家和哲學家們也一直對無窮這一概念糾纏不清，希臘人也一次一次表現(xiàn)出對無窮及無窮小數(shù)的恐懼.特別是在微積分的定義中更是如此.[1]

二、極限與微積分

極限思想是近代數(shù)學的一種重要思想，是社會實踐的產(chǎn)物.數(shù)學分析就是以極限為基礎(chǔ)、極限理論為工具來研究函數(shù)性質(zhì)的.在我國古代，數(shù)學家劉徽于公元263年建立了“割圓術(shù)”，就是借助于在圓內(nèi)的一串內(nèi)接正多邊形的周長數(shù)列來定義圓的周長[2].同樣在古代其他國家，很多哲學家和數(shù)學家也在實踐過程中應(yīng)用了極限思想.

進入17世紀，數(shù)學家對曲線的長度問題、面積問題、幾何體的體積問題的解決產(chǎn)生了需求，雖然當時對阿基米德的窮竭法已熟悉，但是對于希臘嚴格的標準失去耐心，一種粗糙的計算方法開始使用.如開普勒在計算求圓的面積時，把圓看成無數(shù)個小三角形，這種情況下圓周上的短弧成了三角形的底，半徑是三角形的高，但實際上需要做到這一點時三角形要縮成一條線才可以，所以當時的方法粗糙不嚴謹.到17世紀中葉，牛頓提出使用時間無窮小瞬為計算基礎(chǔ)的流數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用了微積分基本定理，《流數(shù)簡論》標志著微積分算法的誕生，但是這個無限小增量“瞬”被看成了靜止的無窮小量，當略去帶0的項時相當于直截了當?shù)亓钇錇榱懔?，這種觀點在概念上是含糊的，在邏輯上也是不嚴謹?shù)?此后，以貝克萊為首的很多人對流數(shù)的敘述“模糊不清”進行了指責，最終導致了數(shù)學史上的第二次數(shù)學危機.[3]

從18世紀開始，法國數(shù)學家達朗貝爾就提出把極限理論作為分析的基礎(chǔ)，經(jīng)過了一個多世紀，通過達朗貝爾、拉格朗日、卡諾、泰勒、貝努利家族、歐拉等幾代科學家的努力，微積分獲得了飛速發(fā)展，在18世紀達到了空前燦爛的程度.數(shù)學分析與代數(shù)、幾何并列成為數(shù)學的三大學科，18世紀也被稱為“分析時代”.

到了19世紀，波爾查諾、柯西和維爾斯特拉斯等數(shù)學家在極限基礎(chǔ)上建立了嚴格的數(shù)學分析體系，通過澄清極限、函數(shù)、連續(xù)、導數(shù)等概念，徹底排除了在微積分過程中涌現(xiàn)出的各種爭議，使分析達到了完美的程度.從此，建立在牢固的極限基礎(chǔ)之上的微積分理論使第二次數(shù)學危機宣告解決.

三、極限的求解方法

極限思想貫穿了數(shù)學分析的整個過程，本文就極限的重要求解方法進行匯總舉例.

（一）利用函數(shù)極限的運算法則

對于大部分函數(shù)的極限，一般情況下首先想到的是，是否可用函數(shù)極限的運算法則來計算，法則本身簡單易懂，而在使用的時候可以對原函數(shù)進行通分、分解、替換等方式進行恒等變換或化簡，以使得新函數(shù)可以采用極限運算法則進行計算.

在數(shù)學分析求導的過程當中，我們主要對冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)依據(jù)導數(shù)的定義來求導，而這幾類函數(shù)大部分都是使用這兩個重要極限來幫助計算的，尤其在推導三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導數(shù)過程當中起到了至關(guān)重要的作用，利用這些結(jié)果可通過函數(shù)運算法則、復合函數(shù)的求導法則來求出全部初等函數(shù)的導數(shù).而積分又是微分的逆運算，依靠這些導數(shù)可以推出大量函數(shù)的積分.因此，這兩個極限是微積分的基礎(chǔ)，在整個微積分中起到了橋梁般的作用，所以解題過程中很多函數(shù)的極限可以用此方式來求解.

洛必達法則的好處就是在同一算式的計算當中，如果滿足洛必達法則的使用條件，則在極限的求解過程中可多次使用，同時在使用過程中要慎重考慮法則條件中導數(shù)的存在性.在實際應(yīng)用當中該法則的使用頻率也較高，是函數(shù)求極限的重要工具，上文中所講的兩個重要極限的求解也可以由該法則來推導得出.

四、小結(jié)

函數(shù)的連續(xù)、函數(shù)的求導、函數(shù)的積分等等都與極限的概念不可分割，如果要掌握好高等數(shù)學必須要掌握好對極限的理解.本文只是列舉出幾種常用的方法，在解題過程中還有其他的方法可以使用，在此不再一一列舉.而在函數(shù)的求解過程當中，解題的方法可能不止一個，我們可以選擇適當?shù)姆绞絹硖幚順O限的求解.在學習的過程中我們不能機械地照搬，需要不斷地進行總結(jié)、分析，不斷地完善知識的理論與結(jié)構(gòu)，才能在解題的過程中有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新.

【參考文獻】

[1]理查德·曼凱維奇，著.數(shù)學的故事[M].馮速，譯.?？冢汉Ｄ铣霭嫔?，2001：196.

[2]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2000：34.

[3]韓雪濤.數(shù)學悖論和三次數(shù)學危機[M].長沙：湖南科學技術(shù)出版社，2007：154.