平面向量基本定理的拓展與應(yīng)用

李睿思

在平面向量?jī)?nèi)容的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)到了一個(gè)重要定理叫平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使a=λe1+μe2.定理說(shuō)明了平面內(nèi)任一向量都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量表示出來(lái)，這為我們運(yùn)用向量方法研究問(wèn)題帶來(lái)了極大的方便.定理的一些基本應(yīng)用在教材及習(xí)題中都有體現(xiàn)，同時(shí)在課外資料的學(xué)習(xí)中也了解到定理還可作一些拓展，而且拓展的結(jié)論也有很好的應(yīng)用性.

推論1當(dāng)向量OP與不共線(xiàn)的向量OA，OB的終點(diǎn)A，B位于同一直線(xiàn)上時(shí)，有OP=λOA+μO(píng)B（λ+μ=1）.

證明因?yàn)锳，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)，所以AP=mPB，

由AP=OP-OA，PB=OB-OP，

得OP-OA=m（OB-OP），

整理得（1+m）OP=OA+mOB，

于是有OP=11+mOA+m1+mOB.

令11+m=λ，m1+m=μ，

即得OP=λOA+μO(píng)B（λ+μ=1）.

特別地，當(dāng)P為A，B中點(diǎn)時(shí)，則OP=OA+OB2.

例1△ABC中，D，E分別是AB，AC上兩點(diǎn)，AD∶DB=1∶3，AE∶EC=2∶1，連接BE，CD，線(xiàn)段BE，CD交于點(diǎn)P，連AP并延長(zhǎng)與邊BC交于點(diǎn)F，求BF∶FC.

解設(shè)AB=a，AC=b，

由B，P，E三點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)AP=xAB+（1-x）AE=xa+23（1-x）b，

由D，P，C三點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)AP=yAD+（1-y）AC=14ya+（1-y）b，

可求得x=110，所以有AP=110a+35b.

又因?yàn)锳，P，F(xiàn)在一直線(xiàn)上，

設(shè)AF=kAP=110ka+35kb，

而F是線(xiàn)段BC上的點(diǎn)，故可設(shè)AF=ma+（1-m）b，

從而可求得m=17，即AF=17a+67b，

因此BF∶FC=6∶1.

從例1的解答可以看到平面向量定理及其推論1在解決平面幾何線(xiàn)段相交問(wèn)題時(shí)帶來(lái)很大的方便，擁有強(qiáng)大的解題功能和重要的應(yīng)用價(jià)值，值得我們研究學(xué)習(xí)并掌握一些基本的運(yùn)用.

在平面向量基本定理及其推論1的學(xué)習(xí)與研究中，除了得到，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，則OP=OA+OB2這樣的特殊結(jié)論外，我們還發(fā)現(xiàn)其他一些特殊的結(jié)論.比如，若點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，且AP∶PB=2∶1，則OP=13OA+23OB；若點(diǎn)P在線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AP∶PB=2∶1，則OP=-OA+2OB.這種變化中的不變規(guī)律讓我想到幾個(gè)新的問(wèn)題.

例4（2010年高考天津卷理）在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，|AD|=1，則AC·AD=.

解∵|CD||BC|=3-13，

∴由推論2，得AC=（1-3）AB+3AD，

∴AC·AD=[（1-3）AB+3AD]·AD=3AD2=3.

例5已知△ABC，AB=2，AC=3，∠A的平分線(xiàn)AD與AB邊上的中線(xiàn)CM交于O，若AO=xAB+yAC，則x+y=.

解∵M(jìn)OAC=13，

∴AO=34AM+14AC=38AB+14AC，

∴x+y=58.

例6△ABC中，M為AB邊上一點(diǎn)，P為CM上一點(diǎn)，CP=CAbcosA+CBacosB，|CM|=c2，a2+b2=22ab，求角C.

解設(shè)CP=xCA+yCB，則xy=BMAM=acosBbcosA，

∴CM⊥AB，∴S=12AB·CM=14c2=14（a2+b2-2abcosC）=12absinC，

∴sinC+cosC=2，∴C=π4.

從上述過(guò)程我們看到，從課本的定理出發(fā)，分析研究定理?xiàng)l件或結(jié)論的相關(guān)性，適當(dāng)改變條件或結(jié)論的形態(tài)，研究是否存在值得探究的新問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的一個(gè)切入點(diǎn)與途徑，通過(guò)這種學(xué)習(xí)與研究，我們收獲的不只是推廣后的一些重要結(jié)論，更重要的是在學(xué)習(xí)經(jīng)歷觀察事物、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、總結(jié)并歸納結(jié)論的過(guò)程中能力得到了提高，值得我們平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)關(guān)注與重視.

【參考文獻(xiàn)】

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