在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中妙用化歸思維

付小東

【摘要】在高中數(shù)學(xué)解題時，化歸思維往往能起到捷徑之效.化歸思維是把陌生的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生已知的知識，化繁雜的問題為簡單.在化歸思維的應(yīng)用過程中，需要明確化歸目標(biāo)，注意化歸前后的等價性.

【關(guān)鍵字】化歸；高中數(shù)學(xué)

在遇到難解問題時，需要借助他人的或自己的原有的經(jīng)驗，化生為熟，這種思維方法就是化歸思維方法.無論在學(xué)習(xí)中、工作中，還是生活中，人們都或自覺或不自覺地運用著化歸思維，以舊解新，這是思維的常態(tài)，卻也是思維的獨到之處，往往能夠引起豁然開朗之感.化歸思維的實質(zhì)是通過建立事物之間的聯(lián)系，在動態(tài)中解決問題.具體到高中數(shù)學(xué)，是通過真命題闡釋新命題，通過已明確概念定義未明確概念，通過已掌握的定理或公式處置未知問題，而新命題也好，未明概念也罷，抑或是未知問題，對其進行處置，都需要經(jīng)過系列的轉(zhuǎn)換過程.羅莎·彼得是聲名顯赫的數(shù)學(xué)家，他對數(shù)學(xué)中運用化歸思維做了形象的描述，如果面前有水龍頭、水壺和燒水器具，是把水裝到水壺中，然后置于器具上燒水，但如果水已經(jīng)裝到水壺中，那么作為數(shù)學(xué)家來說，應(yīng)該把水倒掉，化為有水龍頭、水壺與燒水器具的時候.以下，通過例題具體闡述化歸思維在高中數(shù)學(xué)中的妙用.

例1對log143和log1413進行大小比較.

分析乍看此題，學(xué)生的想法多是利用計算器對log143和log1413進行求值，然后比出大小，只是在考試中，計算器的運用卻是被禁止的.解這道題，運用化歸思維是最恰當(dāng)?shù)?，即把值的比較轉(zhuǎn)換為函數(shù)log14x的單調(diào)性，真數(shù)13和3只是單調(diào)線上的不同點.當(dāng)01時，logax為單調(diào)增函數(shù)，log14x為單調(diào)減函數(shù)，3>13，所以log143

解答構(gòu)造y=log14x這個函數(shù)，因為log14x為單調(diào)減函數(shù)，3>13，所以，log143

例2比較10099與99100的值大小.

分析與第一道例題相比，此題有兩點不同：一是比大小的兩個數(shù)皆為指數(shù)形式；二是兩個指數(shù)的底不同.解答此題，如同例題1一樣，運用計算器的方法會受到一定的限制，那么，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性求解就成了唯一的方式，可是，底不同的兩個指數(shù)該如何構(gòu)造函數(shù)？這是此題的關(guān)鍵之處，也是此題的難點所在.10099與99100的大小比較可轉(zhuǎn)換為lnab與lnba大小相較，這是此題第一次運用化歸思維，到此為止，依然不是能夠從單調(diào)性上實現(xiàn)大小比較的，只有實現(xiàn)底數(shù)與真數(shù)相同的形式方可，也就是說，lnx只是一個大致的方向，并不是確切的需要構(gòu)造的函數(shù)答案.想要從lnab和lnba轉(zhuǎn)換為lnx，只能構(gòu)造不等式，這是此題第二次運用化歸思維，假令lnab>lnba，那么blna>alnb，lnaa>lnbb，由此便可得出我們需要構(gòu)造的確切的函數(shù)lnxx.通過解出lnxx的單調(diào)性，便可以在轉(zhuǎn)換過程中，求得問題的答案.由此可見，兩次歸化思維的運用只是為了求得一個確切的函數(shù)形式lnxx，lnxx就是化歸思維的目標(biāo).

解答令y=lnxx（x>1），求得當(dāng)1e時，y是單調(diào)減函數(shù)，因為100>99>e，所以，ln100100

例3如果函數(shù)y=kx-4的值域為y≤2，定義域為1≤x≤3，求k的值.

分析此題在學(xué)生熟悉過大量的關(guān)于函數(shù)定義域與值域的求解習(xí)題之后，是難度不高的題目，只是運用函數(shù)的相關(guān)知識求解相對煩瑣，而且繞來繞去容易犯糊涂.其實，此題看似定義域與值域的相關(guān)問題，需要運用函數(shù)的知識求解，但是其實不必那么煩瑣，只要將函數(shù)轉(zhuǎn)換為等式方程，運用代入的方式，問題便迎刃而解，這是將函數(shù)問題歸化為方程問題求解.在學(xué)習(xí)了函數(shù)以后，學(xué)生慣于把一些難題都歸化到函數(shù)問題上求解，更不要說表象便是函數(shù)的問題了.但其實，函數(shù)在一些時候確實是最佳解法，在另一些時候卻不是，因為有比函數(shù)更簡潔的方法在，為什么先學(xué)方程后學(xué)函數(shù)，就是因為函數(shù)更為抽象與難度高.綜上，沒有固定的解法，只有更簡潔的解法，視情勢而為，才是最明確的選擇.

解答因為|k-4|=2，|3k-4|=2， 所以k=2.

由以上三題可以推知，化歸思維在數(shù)學(xué)解題時具有重要意義，能夠化繁雜為簡單，把看著不同的問題聯(lián)系起來，把看似相同的問題區(qū)別開來，這是有效解題的可行思維方式，只是在具體過程中，還是有一些需要注意的問題，比如尋找化歸目標(biāo)、確保轉(zhuǎn)換前后等價，如果目標(biāo)尋找不恰當(dāng)或失誤，轉(zhuǎn)換前后發(fā)生了條件的疏漏，則會導(dǎo)致錯解.所以，教師需要多收集相關(guān)題目，對學(xué)生的化歸思維進行訓(xùn)練，讓學(xué)生實現(xiàn)自如應(yīng)用.

【參考文獻】

[1]楊金慧.論數(shù)學(xué)中的化歸思想[J].考試周刊，2013（78）.

[2]凌健.化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2008（2）.