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    直線的傾斜角和斜率的教學(xué)設(shè)計

    2017-03-27 10:33洪開科
    關(guān)鍵詞:鈍角銳角傾斜角

    洪開科

    一、創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)求知

    T:大家知道一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像是一條直線,其中參數(shù)k有什么意義呢?今天我們一起來研究.

    二、學(xué)生體驗,理解定義

    T:在同一坐標(biāo)系中畫出直線① y=2x,② y=2x-4,③ y=2x+4,思考兩條k值相同的直線有什么特點?

    S:兩條k值相同的直線平行.

    T:即k1=k2

    Symbol^C@ l1∥l2.

    T:在上面坐標(biāo)系中再畫出直線④ y=x+4,⑤ y=4x+4,根據(jù)直線③④⑤思考k值不同的直線有什么特點?

    S:傾斜程度不同,k值越大,傾斜程度越大.

    T:用一個什么量來表示直線的傾斜程度,怎樣定義這個量?

    S:討論得到,當(dāng)直線l與x軸相交時,取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫作直線l的傾斜角.

    T:傾斜角α的取值范圍是什么?

    S:[0°,180°).

    T:想一想:直線l的k值與傾斜角α有什么關(guān)系?

    S:探索得到,k=tanα,即一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫作這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示.

    T:這就解決了我們開始提出的問題,直線方程y=kx+b中的參數(shù)k就是這條直線的斜率.

    三、觀察探究發(fā)現(xiàn)三角公式

    T:在上面坐標(biāo)系中再畫出直線⑥ y=-2x+4,⑦ y=-x+4,⑧ y=-4x+4,想一想斜率相反的兩條直線它們的傾斜角有什么關(guān)系?

    S:互補,即tan(180°-α)=-tanα.

    T:練習(xí),tan120°=;tan135°=;tan150°=.

    四、根據(jù)k=tanα探索直線兩點的斜率公式

    T:經(jīng)過兩點有且只有(確定)一條直線.從而斜率也確定了.那么,已知直線上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),這條直線的斜率k怎樣計算?

    S:合作討論推導(dǎo),直線兩點的斜率公式k=tanα=y2-y1x2-x1.

    S1:當(dāng)P1P2的方向向上時,過P1作x軸的平行線,過P2作y軸的平行線,兩線交于點Q,在直角△P1P2Q中,可得k=tanα=y2-y1x2-x1.

    S2:這是α為銳角的情形,若α為鈍角的情形,也要考慮.

    k=tanα=-tan(180°-α)=y2-y1x2-x1.

    S3:當(dāng)P1P2的方向向下時,對于α為銳角、鈍角的情形,同樣可以得出公式.

    T:同學(xué)們講得很好,這就完整地解決了已知直線上的兩點求這條直線斜率的問題,并且在討論中,我們知道直線斜率的計算與這兩點順序無關(guān).

    五、完善定義,理解傾斜角與斜率的關(guān)系

    T:特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定α=0°,k=0;

    當(dāng)直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.

    S:練習(xí),一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k存在.

    直線的傾斜角α是銳角,則斜率;α是鈍角,則斜率.

    六、學(xué)生練習(xí)鞏固所學(xué)內(nèi)容

    例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-2),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.

    例2計算下列直線的斜率,并求出它們的傾斜角.

    (1)A(-3,5),B(0,2);(2)C(2,0),D(1,3);

    (3)E(a,b),F(xiàn)(a,c);(4)G(-2,-1),F(xiàn)(1,3-1).

    例3已知點P(3,2),點Q在x軸上,若PQ的傾斜角為45°,求點Q的坐標(biāo).

    例4在平面直角坐標(biāo)系中,畫出經(jīng)過原點且斜率分別為1,-1,2及-3的直線a,b,c,l.

    編者按:這是一節(jié)值得推廣的教學(xué)設(shè)計,具有如下特點

    1.從已學(xué)的一次函數(shù)開始提出問題,體現(xiàn)了知識體系的建構(gòu)思想.

    2.畫出幾個一次函數(shù)的圖像,感知斜率的意義,從而得出傾斜角與斜率的概念和關(guān)系,體現(xiàn)了從具體到抽象,從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律.

    3.畫出斜率互為相反數(shù)的兩條直線,感知未學(xué)又要補充的三角公式tan(180°-α)=-tanα,為推導(dǎo)直線兩點的斜率公式做好了鋪墊.

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