數(shù)學(xué)思想：必備品格的精髓

○江蘇省南京市長江路小學(xué)　　周衛(wèi)東

一、解讀：厘定數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵

從哲學(xué)角度來看，“思想”即“觀念”，即社會存在于意識中的反映。而所謂數(shù)學(xué)思想，人們對數(shù)學(xué)研究統(tǒng)一的本質(zhì)性認識，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，是被人們反復(fù)運用和確認的、帶有普遍意義和相對穩(wěn)定的特征，它直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識。由此看來，數(shù)學(xué)的靈魂是思想，它決定了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗基礎(chǔ)、思考核心和發(fā)展目標。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。”其中最基本的數(shù)學(xué)思想有抽象、推理、模型，數(shù)學(xué)學(xué)科獨有的其他的一些數(shù)學(xué)思想，都可以看成是由這三種基本思想派生出來的。它們之間的關(guān)系可以形象地用下圖表示。

抽象派生的思想有：分類的思想、對應(yīng)的思想、集合的思想、有限與無限的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、對應(yīng)的思想、符號的思想、對稱的思想、變與不變的思想等。

推理派生的思想有：歸納的思想、演繹的思想、公理化思想、化歸的思想、聯(lián)想類比的思想、逐步逼近的思想、代換的思想、特殊與一般的思想等。

建模派生的思想有：簡約化思想、量化的思想、函數(shù)的思想、方程的思想、優(yōu)化的思想、隨機的思想、抽樣的思想等。

二、感悟：洞悉數(shù)學(xué)思想的魅力

教學(xué)是一種洞見。數(shù)學(xué)的精髓是什么？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值是什么？一切都指向數(shù)學(xué)思想，我們要全面認識到數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教育、專業(yè)發(fā)展中的重要作用。

1.教材的靈魂是數(shù)學(xué)思想。

縱觀整個小學(xué)階段數(shù)學(xué)教材的編排體系可以找到一明一暗兩條主線：數(shù)學(xué)教材中知識的編排是有形的，是一條明線，而其中隱含在知識體系中的卻是一條暗線；前者是教學(xué)內(nèi)容，后者是為什么這么寫；在“有形”的數(shù)學(xué)知識中，必定蘊含著“無形”的數(shù)學(xué)思想方法。這就需要我們具備整體意識，從數(shù)學(xué)思想的角度去把握教材，去探尋教材的靈魂。

從教材的構(gòu)成體系來看，數(shù)學(xué)教材由兩條“河流”組成：具體的知識構(gòu)成這一易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”和數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的具有潛在價值的“暗河流”，它們是骨架與血脈的關(guān)系。有了數(shù)學(xué)思想作靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識才不成為孤立的、零散的東西。正因為有了數(shù)學(xué)思想，“游離”狀態(tài)的知識才會凝結(jié)成優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)，形成一個有機的整體。

2.設(shè)計的核心是數(shù)學(xué)思想。

從教學(xué)層次設(shè)計分析，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計應(yīng)分宏觀設(shè)計、微觀設(shè)計和情境設(shè)計，我們的教學(xué)設(shè)計應(yīng)充分從這三個層面進行分析思考。無論哪個層次上的設(shè)計，其目的都是為了讓學(xué)生參與到獲得和發(fā)展認知的數(shù)學(xué)活動過程中去。因此，教學(xué)設(shè)計不能只停留在數(shù)學(xué)認識過程中的“還原”，更應(yīng)該有數(shù)學(xué)思想的飛躍和創(chuàng)造。

以空間與圖形領(lǐng)域中“圖形與位置”內(nèi)容的安排為例。這部分內(nèi)容主要包括二年級用“第幾排第幾個”等方式描述物體的位置，五年級用“數(shù)對”表示方格圖上點的位置，以及六年級用“方向和距離”表示平面圖上點的位置。上述內(nèi)容中所蘊含的數(shù)學(xué)思想主線是“依據(jù)小學(xué)生的年齡特點和認知水平，讓他們逐步感知數(shù)與平面圖形上點的關(guān)系，培養(yǎng)符號感，體會數(shù)形結(jié)合的基本方法和價值”。其中，用“第幾排第幾個”等方式描述物體的位置，主要著眼于學(xué)生已有的生活經(jīng)驗；用“有序數(shù)對”表示方格圖上點的位置，則是對生活經(jīng)驗的提煉，也是對感性認識的提升；用“方向和距離”確定平面圖上點的位置，其基本思想與用“數(shù)對”表示點的位置是類似的，但它引導(dǎo)學(xué)生從不同角度豐富對相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的認識。

3.素養(yǎng)的提升是數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是教師“主體表演”的過程，是教學(xué)思路、語言、動作、板書、情感交流等融于一體的過程，面對幾十個充滿靈動生命的個體，教師的數(shù)學(xué)積累只有達到一定的思想深度，才能與學(xué)生進行有價值的對話交流，準確辨別課堂教學(xué)中所發(fā)生的問題，給出中肯的分析，敏銳地把抽象的問題形象化、感性的問題規(guī)律化、復(fù)雜的問題簡單化，才能機智地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思想火花，并及時加以提煉升華。

有人把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量理解為學(xué)生思維活動的質(zhì)和量，也就是學(xué)生知識結(jié)構(gòu)、思維方法形成的清晰程度和參與思維活動的深度和廣度。對學(xué)生的思維活動我們應(yīng)該追求“新”“高”“深”：即：學(xué)生的思維活動要有新意，能形成一定高度的數(shù)學(xué)思想，參與的教學(xué)活動達到一定的深度。有思想深度的課，能給學(xué)生留下深刻的知識理解和長久的思想激動，我們進行數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的，是通過數(shù)學(xué)知識和觀念的培養(yǎng)，讓學(xué)生獲得一種思想的熏陶，形成一種“數(shù)學(xué)頭腦”，使他們在問題解決的每一個過程中，都能帶有鮮明的“數(shù)學(xué)色彩”，這樣的數(shù)學(xué)才能實現(xiàn)真正的實效和長效，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、實踐：致力數(shù)學(xué)思想的教學(xué)

我們的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該致力追求數(shù)學(xué)思想的價值引領(lǐng)，充分挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)中有意識、有效地加以滲透和運用，啟迪、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動性，促使學(xué)生形成牢固、完善的認知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在潛移默化中去領(lǐng)悟、運用，并逐步內(nèi)化為數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

1.深度挖掘教材。

堅持教材分析的整體性。我們應(yīng)該深刻理解小學(xué)數(shù)學(xué)的知識體系，通曉小學(xué)數(shù)學(xué)全部的教學(xué)內(nèi)容，并逐步了解各部分滲透的數(shù)學(xué)思想方法，以便滲透時逐步推進，避免顧此失彼。這就要求我們從整體上把握教材，認清教材特點，梳清教材脈絡(luò)，理清教材思路，從整體上構(gòu)建教材中數(shù)學(xué)思想的立體框架。

堅持教材分析的獨特性。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律和現(xiàn)有水平，領(lǐng)會教材的編寫意圖，同時也不應(yīng)受教材的約束和限制，要學(xué)會靈活地處理教材，創(chuàng)造性地使用教材，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想有機融合在數(shù)學(xué)知識的形成過程中。在研讀教材時，我們要多問自己幾個問題，如：怎樣才能喚起學(xué)生進行深層次的數(shù)學(xué)思考、如何引導(dǎo)學(xué)生主動探究新知識、怎樣根據(jù)教材的編排意圖適時地滲透數(shù)學(xué)思想方法等，努力讓數(shù)學(xué)課本上看得見的思維結(jié)果折射出看不出的思維活動過程，弄清新知識的形成過程，將教材的編排思想內(nèi)化為自己的教學(xué)思想，找準新知識教學(xué)的生長點。

如在一年級教材中，經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的習(xí)題：

雖然這些題目只是要求學(xué)生在空格中填上一個合適的數(shù)，但我們應(yīng)該明白，若把□換成x，則上面的題目就變成了不等式，這時x就是一個變元符號，就會有一定的取值范圍，這一個“位置占有者”的作用就會凸顯出來。我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考、討論一些這樣的問題：□內(nèi)最大能填幾？最小呢？最多能填幾個數(shù)？同樣，在此基礎(chǔ)上還可以進一步深化：□+○＜7，可以填些什么數(shù)？這樣處理更好地滲透了符號變元這一數(shù)學(xué)思想，教材的思維價值才能顯露出來。

2.注重過程教學(xué)。

數(shù)學(xué)的思想往往呈隱蔽形式，積沉、凝聚在數(shù)學(xué)結(jié)論的背后，常常滲透在學(xué)生獲得知識和解決問題的過程中。我們應(yīng)該有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，讓學(xué)生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，體驗到知識背后所負載的方法及蘊涵的思想。

比如，教學(xué)“乘法分配律”一課，在已經(jīng)累積了大量兩式相等的例子的基礎(chǔ)上，我讓學(xué)生觀察兩式相等的特征，而后用自己喜歡的方式表示自己的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生的思維成果非常豐富：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙；（△+□）×○=△×○+□×○；（a+b）×c=a×c+b×c……而后，我出示下圖，引導(dǎo)學(xué)生感悟：“你們的表示方法有異曲同工之妙，都可以用如下的圖形表示出來。既可以用（a+b）×c表示，也可以用a×c+b×c表示，就得到（a+b）×c=a×c+b×c，這是乘法分配律的直觀模型。”最后再讓學(xué)生想象：如果這樣的圖形由3個、4個或多個長方形組成，那么關(guān)系式該怎么改？圖形又該怎么畫呢？

這樣的設(shè)計，活化了數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，充分彰顯了“乘法分配律是一個數(shù)學(xué)模型”的特質(zhì)，讓學(xué)生感悟到，任何數(shù)學(xué)模型都是概括抽象的產(chǎn)物，任何一種數(shù)學(xué)模型也都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的抽象美和簡潔美。

3.追求數(shù)學(xué)應(yīng)用。

數(shù)學(xué)思想的形成是一個循序漸進的過程。只有經(jīng)過理解、應(yīng)用、促疑才能使學(xué)生真正領(lǐng)會，形成自覺運用數(shù)學(xué)思想的意識，建立起學(xué)生自我的“數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)”。

如在學(xué)習(xí)圓柱體積時，學(xué)生運用化歸思想推導(dǎo)出圓柱體積公式后，教師并沒有變換情境讓學(xué)生停留在反復(fù)利用公式計算的層面，而是出示這樣一個問題：你能知道這個土豆的體積是多少嗎？沉思后，一些學(xué)生舉起了手。有一位學(xué)生先往圓柱體容器里倒了些水，量了量，再把土豆放進圓柱體容器里又量了量，然后拿出土豆又量了量，興奮地說：“老師，我有辦法了，土豆是個形狀不規(guī)則的物體，但我可以把它轉(zhuǎn)化成圓柱體，你們看！圓柱體容器里上升的水的體積就是土豆的體積。”在他的啟發(fā)下，又有學(xué)生說：“也可以把它放在長方體或正方體的容器里，只要是放在我們學(xué)過的規(guī)則形體里就能求出土豆的體積?！痹谥R的應(yīng)用理解過程中，數(shù)學(xué)思想在學(xué)生的頭腦里已初步形成。

我們只有巧妙設(shè)計應(yīng)用問題，學(xué)生才能掌握比數(shù)學(xué)知識更為重要的東西，這些美妙的體驗將使他們永遠記住今天發(fā)現(xiàn)的這個結(jié)論。這樣進行教學(xué)，學(xué)生所學(xué)的和所用的知識是鮮活的、富有生機的，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得到質(zhì)的飛躍！

4.強化反思體悟。

數(shù)學(xué)思想的獲得，一方面需要我們進行有意識地滲透和訓(xùn)練，但更多的是要靠學(xué)生自身在反思過程中領(lǐng)悟，這一過程沒有人能夠代替。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的高度抽象，它蘊含在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。在問題解決的過程后，我們應(yīng)該因勢利導(dǎo)地讓學(xué)生回顧反思，體會自己的研究過程，從而感悟其中的數(shù)學(xué)思想和技巧，使得學(xué)生的創(chuàng)造性活動得到再次升華。

在《平面圖形的面積復(fù)習(xí)》一課中：

師：我們學(xué)過哪些平面圖形？各種圖形的面積怎樣計算？每種面積公式是怎么得來的？

（學(xué)生口述各種圖形的計算公式、公式的形成過程，教師通過課件顯示各種公式的動態(tài)產(chǎn)生過程）

師：我們最先學(xué)習(xí)哪一種圖形的面積公式？長方形面積公式可推導(dǎo)出哪些圖形的面積公式？平行四邊形面積公式又可以推導(dǎo)出哪些圖形的面積公式？

教師根據(jù)學(xué)生回答依次出現(xiàn)各種圖形，形成網(wǎng)絡(luò)圖。（圖略）

師：看了這幅網(wǎng)絡(luò)圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：正方形、平行四邊形、圓都是通過長方形面積公式推導(dǎo)出來的。

生2：平行四邊形和圓都是用轉(zhuǎn)化的方法推導(dǎo)出面積計算公式。

生3：三角形和梯形面積公式是根據(jù)平行四邊形面積公式推導(dǎo)出來的。

生4：各種平面圖形之間存在一定的聯(lián)系。新圖形的面積公式都是通過轉(zhuǎn)化變?yōu)橐褜W(xué)過的圖形，再根據(jù)已學(xué)過圖形推導(dǎo)出新圖形的面積公式。

師：板書：

師：這六種圖形還有著怎樣的聯(lián)系呢？以小組為單位重新整理，構(gòu)建不同的網(wǎng)絡(luò)圖。

（各小組介紹，有的按圖形公式推導(dǎo)過程構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，有的按學(xué)習(xí)循序形成聯(lián)系，有的按邊的特征歸類劃分……）

教師在交流中突出“轉(zhuǎn)化”思想在幾何知識中的應(yīng)用，同時又通過不同組合發(fā)現(xiàn)各種圖形之間的聯(lián)系，滲透循環(huán)往復(fù)螺旋式上升的數(shù)學(xué)思想。

因此，我們在教學(xué)中要適時引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進行自我反思，給予提煉和概括的空間，讓學(xué)生形成明確的數(shù)學(xué)反思習(xí)慣。由于數(shù)學(xué)思想分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數(shù)學(xué)思想來解決。因此我們應(yīng)該有意識地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、揣摩概括數(shù)學(xué)思想的能力，這樣才能真正把數(shù)學(xué)思想的教學(xué)落在實處。