美國早期代數(shù)教科書中的根式定義*

栗小妮　汪曉勤

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院　200062)

1　引言

16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)韋達(dá)(F.Viète, 1540～1603)在他的《分析引論》中使用字母表示未知數(shù)和已知數(shù)，使得數(shù)學(xué)從縮略代數(shù)階段進入符號代數(shù)階段[1].用字母表示數(shù)的使用大大方便了數(shù)學(xué)的表達(dá)和運算，但也產(chǎn)生了一些問題.在19世紀(jì)末實數(shù)理論體系建立后，數(shù)學(xué)家對數(shù)進行了嚴(yán)格的定義和分類，但由于“式”的本質(zhì)用途在于簡便表達(dá)和運算，所以并無一致的分類.

數(shù)學(xué)教育研究表明，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解過程與數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過程具有一定的相似性，歷史上數(shù)學(xué)家所遭遇的困難往往正是學(xué)生所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)障礙.匈牙利著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞(G. Pólya, 1887～1985)曾指出：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識, 我們才能對人類的兒童應(yīng)該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷.”[5]荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(H. Freudenthal, 1905～1990)也有類似觀點，稱“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過程, 盡管方式改變了”[6].美國數(shù)學(xué)史家M·克萊因(M. Kline, 1908～1992)也說：“歷史順序是教學(xué)的指南.”[7]有鑒于此，本文對1830-1929一百年間出版的81種美國代數(shù)教科書中有關(guān)根式內(nèi)容進行了考察，試圖回答以下問題：美國早期代數(shù)教科書是如何定義根式的？定義是如何演變的？根式定義的歷史對我們今天認(rèn)識二次根式有何啟示？對今日二次根式概念的教材編寫和課堂教學(xué)又有何啟示？

2　研究對象

我們共選取20世紀(jì)中葉之前出版的81種美國代數(shù)教科書，其中70種為中學(xué)教科書，11種為大學(xué)教科書.若以十年為一段，則各教科書的時間分布情況如圖1所示.其中，對于同一作者再版的教科書，若內(nèi)容無顯著變化，則選擇最早的版本，若內(nèi)容有顯著變化，則將其視為不同教科書.81種代數(shù)教科書均將有關(guān)“根式”的內(nèi)容單獨列為一章，其中有68種在定義后給出了用來進一步解釋定義的例子，約占84%.

圖1　81種教科書的時間分布

3　根式的定義

在美國早期教科書中，“根式”一章的主要內(nèi)容均為平方根、二次根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運算.實施開方運算后的式子有兩種名稱，一種為根式(radicals)，一種為不盡根式(surds).一些教科書對根式和不盡根式均作了定義，一些僅定義了根式或僅定義了不盡根式.若以20年為一時間段，圖2給出三種定義方式的時間分布.

圖2　三種定義方式時間分布

3.1　僅定義根式

3.2　僅定義不盡根式

3.3　分別定義根式和不盡根式

對根式和不盡根式分別作出定義的教科書有68種，約占84%.經(jīng)過詳盡統(tǒng)計和分析發(fā)現(xiàn)，這些定義又可以分為兩類，一類將根式等同于不盡根式，共19種，約占28%；一類對兩者進行了嚴(yán)格區(qū)分，共49種，約占72%.表1給出的是等同定義的典型形式.

表1　不區(qū)分根式與不盡根式的典型定義

表2　區(qū)分根式與不盡根式的典型定義

3.4　無理式的定義

3.5　若干特點

在我們所考察的81種美國教科書中，根式的定義有以下特點.

4　根式定義的演變

從僅定義根式或者僅定義不盡根式的處理方式中，無法看出作者對根式和不盡根式關(guān)系的認(rèn)識.對于同時定義兩者的教科書，我們以20年為一時間段，對兩種不同的認(rèn)識作了統(tǒng)計，圖3給出了統(tǒng)計結(jié)果.

圖3　教科書對根式與不盡根式關(guān)系的不同認(rèn)識的時間分布

從圖3中可以看出，在我們所考察的時間段內(nèi)，早期的教科書大多將根式等同于不盡根式，而隨著時間的推移，持這種認(rèn)識的教科書逐漸減少，對兩者作出嚴(yán)格區(qū)分的教科書逐漸增加，最終，絕大多數(shù)教科書將兩者區(qū)分開來.這一點也可以從僅定義根式(radical)的7種教科書的兩個不同時間段的不同特征得到佐證.

5　結(jié)論與啟示

5.1　對教科書編寫的啟示

5.2　對教學(xué)設(shè)計的啟示