基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的El-Nabulsi-Pfaff變分問題的Noether對(duì)稱性*

丁金鳳 , 張 毅

(1. 蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009；2. 蘇州科技學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州215009)

1 El-Nabulsi-Pfaff變分問題

基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的El-Nabulsi-Pfaff變分問題定義為[19]：

求積分泛函

(cosht-coshτ)α-1dτ

(1)

在給定邊界條件

(2)

如果aμ=aμ(τ)是El-Nabulsi-Pfaff變分問題的極值，則滿足如下的El-Nabulsi-Birkhoff方程[19]

(μ=1,…,2n)

(3)

泛函(1)稱為El-Nabulsi-Pfaff作用量。當(dāng)α=1時(shí)，這個(gè)問題成為經(jīng)典的Pfaff變分問題，而方程(3)成為標(biāo)準(zhǔn)的Birkhoff方程。

2 El-Nabulsi-Pfaff作用量的變分

引入r-參數(shù)有限變換群的無限小變換

(μ=1,…,2n)

(4)

其展開式

(5)

(6)

El-Nabulsi-Pfaff作用量(1)在變換前后的差為

(cosht-coshτ)α-1dτ=

B(τ+Δτ,aν+Δaν)] ·

(7)

(8)

由于

(9)

利用式(9)，式(8)可寫成

(10)

將式(5)代入式(10)，得到

(11)

式(8)和(11)是基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的El-Nabulsi-Pfaff作用量變分的基本公式。

3 Noether對(duì)稱性的定義和判據(jù)

定義1 如果El-Nabulsi-Pfaff作用量(1)是無限小群變換(4)的不變量，即對(duì)無限小群變換(4)的每一個(gè)變換，始終成立如下關(guān)系

ΔS=0

(12)

則稱無限小變換為Birkhoff系統(tǒng)基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的變分問題的Noether對(duì)稱變換。

根據(jù)定義1和公式(8)，(11)，得到如下判據(jù)。

判據(jù)1 如果無限小群變換(4)滿足如下關(guān)系

(13)

那么，變換是Birkhoff系統(tǒng)在定義1意義下的Noether對(duì)稱變換。

式(13)可寫成r個(gè)方程

(σ=1,…,r)

(14)

當(dāng)r=1時(shí)，方程(14)稱為Birkhoff系統(tǒng)基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的變分問題的Noether等式。

通過判據(jù)1或Noether等式(14)可以判斷Birkhoff系統(tǒng)基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的變分問題的Noether對(duì)稱性。

定義2 如果El-Nabulsi-Pfaff作用量(1)是無限小群變換(4)的準(zhǔn)不變量，即對(duì)無限小群變換(4)的每一個(gè)變換，始終成立如下關(guān)系

(15)

其中ΔG=εσGσ，Gσ=Gσ(τ,aν)稱為規(guī)范函數(shù)，則稱無限小變換為Birkhoff系統(tǒng)基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的變分問題的Noether準(zhǔn)對(duì)稱變換。

根據(jù)定義2和公式(8)，(11)，得到如下判據(jù)。

判據(jù)2 如果無限小群變換(4)滿足如下關(guān)系

(16)

那么，變換是Birkhoff系統(tǒng)在定義2意義下的Noether準(zhǔn)對(duì)稱變換。

式(16)可寫成r個(gè)方程

(17)

當(dāng)r=1時(shí)，方程(17)稱為Birkhoff系統(tǒng)基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的變分問題的Noether等式。

通過判據(jù)2或Noether等式(17)可以判斷Birkhoff系統(tǒng)基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的變分問題的Noether準(zhǔn)對(duì)稱性。

4 Noether定理

在El-Nabulsi動(dòng)力學(xué)模型下，由Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性可直接導(dǎo)出Noether守恒量，有如下定理。

定理1 對(duì)于El-Nabulsi動(dòng)力學(xué)模型下的Birkhoff系統(tǒng)(3)，如果無限小群變換(4)是定義1意義下的Noether對(duì)稱變換，則系統(tǒng)存在r個(gè)線性獨(dú)立的第一積分，形如

(σ=1,…,r)

(18)

證明由定義1，得到

ΔS=0

由公式(11)得

將方程(3)代入上式，并且考慮到εσ的獨(dú)立性和積分區(qū)間的任意性，得到

積分之，即得到守恒量(18)。于是定理1得證。

定理2 對(duì)于El-Nabulsi動(dòng)力學(xué)模型下的Birkhoff系統(tǒng)(3)，如果無限小群變換(4)是定義2意義下的Noether準(zhǔn)對(duì)稱變換，則系統(tǒng)存在r個(gè)線性獨(dú)立的第一積分，形如

(σ=1,…,r)

(19)

證明由定義(2)和式(11)，并利用方程(3)式，且考慮到εσ的獨(dú)立性和積分區(qū)間的任意性，可證明定理2。

定理1和定理2稱為Birkhoff系統(tǒng)基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的變分問題的Noether定理。根據(jù)上述定理，可由El-Nabulsi動(dòng)力學(xué)模型下的Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性找到相應(yīng)的守恒量。當(dāng)α=1時(shí)，定理1和定理2稱為經(jīng)典Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理。

5 算 例

例設(shè)4階Birkhoff系統(tǒng)的Brkhoff函數(shù)B和Birkhoff函數(shù)組Rμ為[20]

R1=a2+a3,R2=0,R3=a4,R4=0

(20)

試研究其基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的El-Nabulsi動(dòng)力學(xué)模型下的Noether對(duì)稱性與守恒量。

Noether等式(17)給出

(21)

方程(21)有解

ξ0=0,ξ1=1,ξ2=0,ξ3=0,ξ4=0,G=0

(22)

生成元(22)相應(yīng)于所論系統(tǒng)基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的El-Nabulsi動(dòng)力學(xué)模型下的Noether對(duì)稱變換。根據(jù)定理1，得出相應(yīng)的守恒量為

I=(a2+a3)(cosht-coshτ)α-1=const

(23)

當(dāng)α=1時(shí)，守恒量(23)為標(biāo)準(zhǔn)Birkhoff系統(tǒng)的Noether守恒量。

6 結(jié) 語

基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的El-Nabulsi動(dòng)力學(xué)模型，文章提出并研究了Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量問題，建立了Noether定理。本文方法和結(jié)果具有普遍意義，可以進(jìn)一步應(yīng)用于各種約束力學(xué)系統(tǒng)，例如非完整非保守系統(tǒng)，機(jī)電耦合系統(tǒng)等。

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