Lanchester競爭模型及其在公共交通投資中的應(yīng)用*

朱 萌， 汪 泓

(1. 上海交通大學(xué)安泰經(jīng)管學(xué)院，上海 200052；2. 上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，上海 201620)

上?！笆骞步煌òl(fā)展戰(zhàn)略和目標(biāo)”的指導(dǎo)思想是“堅持‘公共交通優(yōu)先’發(fā)展戰(zhàn)略，進一步提高公共交通設(shè)施供應(yīng)水平、服務(wù)能力和運行效率，營造適度寬松、有序的乘車和候車環(huán)境，進一步降低市民公共交通出行成本占可支配收入的比例，不斷增強公共交通吸引力，進一步提高節(jié)能減排水平，為廣大市民提供符合國際大都市水平的公共交通服務(wù)?！倍畬ⅰ凹哟蠊步煌ㄘ斦Ｕ狭Χ龋瑢⒐步煌ㄍ度爰{入公共財政預(yù)算體系，在現(xiàn)有公共交通政府投入體系下，研究完善政府長期扶持機制和政府購買服務(wù)制度。合理界定企業(yè)的公益性服務(wù)項目，促進公共交通行業(yè)可持續(xù)發(fā)展?！惫识岣吖步煌ǔ鲂性谑忻癯鲂兄械谋壤?，增加對公共交通的支出已經(jīng)是勢在必行。

上海市的公共交通包括軌道交通、地面公交汽電車、出租車和輪渡等四種形式。本文將集中對軌道交通和地面公交汽電車進行研究。一方面是因為市場份額，根據(jù)上海市綜合交通2008至2012年的年度報告，上海公共交通日均客運量中軌道交通和地面公交汽電車在公共交通中所占比重從2003年的73.1%到2011年的80.7%，兩者占公共交通客運量已超過八成；另一方面是因為公共交通的社會屬性，雖然公共交通有四種形式，但是軌道交通和地面公交汽電車與出租車系統(tǒng)相比較，更強調(diào)社會效益，兩者更接近提供同質(zhì)服務(wù)。

上海公共交通“十二五”規(guī)劃中已明確要以公交優(yōu)先，加大對公共交通的投入力度，并設(shè)定了未來軌道交通和地面公交汽電車的客運量分別占公共交通比例的預(yù)定目標(biāo)。但是，對于軌道交通與地面公交汽電車兩類企業(yè)的投入分配還未明確，即決策部門怎樣在各種形式的公共交通之間分配資源。而這將對上?！笆骞步煌òl(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)”的實現(xiàn)產(chǎn)生重要的影響，所以有必要分析政府對軌道交通與地面公交汽電車兩類企業(yè)的投入分配方案，以實現(xiàn)公共交通發(fā)展的預(yù)定目標(biāo)，同時評估既往資源分配的合理性也將有助于提升未來公共交通投入的績效。

本文將采用Bass擴散過程和Lanchester競爭模型，討論政府對軌道交通與地面公交汽電車兩類企業(yè)的投入分配。早期，Bass擴散過程被用于描述新產(chǎn)品的推廣，然后被引申來刻畫具有動態(tài)市場規(guī)模企業(yè)的市場份額變化。在上海實現(xiàn)公共交通發(fā)展與優(yōu)化的過程中，軌道交通與地面公交汽電車占出行比例都將顯著提升，所以采用Bass擴散過程來刻畫未來的公共交通出行比例變動是可行的。

Lanchester競爭模型是一個雙寡頭競爭模型。軌道交通與地面公交汽電車之間的選擇是具有排他性的，即乘坐軌道交通時不可能同時乘坐地面公交汽電車，于是在統(tǒng)計出行次數(shù)時，用軌道交通出行次數(shù)與出行總數(shù)的比例，以及地面公交汽電車出行次數(shù)與出行總數(shù)的比例分別衡量兩者的市場份額，這體現(xiàn)了軌道交通與地面公交汽電車對“市場份額”的競爭性。另一方面，雖然軌道交通和公共地面交通都屬于公共交通，從服務(wù)的角度看，兩者具有互補性，但它們對吸納財政投入時是競爭的，也就是說，當(dāng)政府對公共交通的預(yù)算確定后，兩者間將是“零和博弈”。由于在公共交通中，軌道交通和地面公交汽電車所占比重超過八成，所以本文采用Lanchester模型來刻畫軌道交通和地面公交汽電車在承接財政投入方面的競爭，取得了比較好的效果。

1 理論模型

1.1 擴散過程

Bass擴散過程通常用于描述動態(tài)市場規(guī)模的變動特征。Bass擴散過程由Bass[1]提出。

假設(shè)q(t)是t時刻一個產(chǎn)品的市場占有額，Q(t)是累積占有額，則Bass擴散過程可以用式(1)表示

q(t)≡dQ(t)/dt=

[a+b(Q(t)/S)][S-Q(t)];Q(0)=0

(1)

其中，a為創(chuàng)新參數(shù)，b為替代參數(shù)，S為潛在市場規(guī)模。

1.2 投入資產(chǎn)模型構(gòu)建

Lanchester模型是一個微分博弈理論中的重要模型[2],在動態(tài)市場份額時，用于研究雙寡頭市場的競爭。

由Lanchester模型，可得

i,j=1,2;i≠j

(2)

其中，si(t)為企業(yè)i在t時刻的市場份額；mi(t)為對企業(yè)i在t時刻的投入；ρi(mi,mj)為對企業(yè)i的投資的效果函數(shù)，是企業(yè)i投入為mi(t)而競爭對手企業(yè)j的投入為mj(t)時的二元函數(shù)。

顯然，si(t)+sj(t)=1。由式(1)-(2)，可知

qi(0)=qi0

(3)

其中，qi(t)為企業(yè)i在t時刻的市場占有額。

由于qi(t)+qj(t)=q(t),且si(t)=qi(t)/q(t)。可得

2 最優(yōu)解和理論分析

設(shè)公交企業(yè)的收益函數(shù)

(4)

其中，gi為公交企業(yè)i的單位邊際效益*為方便起見，這里暫不考慮投資成本。；μ為折現(xiàn)率。

由式(3)-(4)，可得Hamilton函數(shù)

Hi=giqi-mi+

(5)

由Hamilton方程的一階條件可得

(6)

且

(7)

整理可得偏微分方程

λi(q-qi)·

(8)

一般情況下，偏微分方程未必有解析解。所以，只能根據(jù)投資的效果函數(shù)的性質(zhì)去估計它的形式，這要求投資的效果函數(shù)ρi(mi,mj)滿足如下性質(zhì)。

對于性質(zhì)一而言，當(dāng)競爭對手的投入固定時，隨著己方投入的增加，效益當(dāng)然也應(yīng)該是越來越大的，所以要求效率函數(shù)是關(guān)于自己投入的增函數(shù)；對于性質(zhì)二而言，當(dāng)競爭對手的投入時，雖然隨著自己投入越來越大，效率越來越大，但是效率增加的幅度是越來越小。

故而，本文構(gòu)建投資的效果函數(shù)的形式如下

(9)

這里，c1,c2是兩個獨立常數(shù)。

顯然，ρi(mi,mj)滿足性質(zhì)一、二。 由于mi>0和mj>0，以及因為政府在公共交通每年的投入會有預(yù)算限制，所以假設(shè)第t年政府公共交通的預(yù)算限制為L(t)，即mi(t)+mj(t)≤L(t)。

所以，式(8)可以轉(zhuǎn)換為

(10)

又因為mi(t)+mj(t)≤L(t)，可得式(10)的解為

(11)

3 案例研究

在引入投資的效果函數(shù)后，本文將對上海市2003-2011年對軌道交通和地面交通的數(shù)據(jù)進行研究，分析市場份額變化與財政投入分配方案的合理性。

3.1 估計參數(shù)c1,c2

由方程(2)

則

si(t)-si(t-1)=

([1-si(t-1)]mi(t)-si(t-1)mj(t))c1+

(12)

由2003-2011年上海市公共交通年報數(shù)據(jù)，可由回歸計算得c1=0.000 245,c2=-0.000 183。見表1。

表1 Lanchester 模型參數(shù)的估計1)

1)模型的擬合優(yōu)度R2=0.951

將c1,c2代入投資的效果函數(shù)，可得

3.2 估計Bass擴散過程的參數(shù)

由Erickson[3]的方法，可估計Bass擴散過程的參數(shù)。當(dāng)i,j=1,2;i≠j，最優(yōu)投入策略蘊含著下列方程

(13)

這里di是任意的常數(shù)。

明顯的，對一般的正的折現(xiàn)率μ(μ>0)， 方程(13)沒有解。而在零折現(xiàn)率下，方程(13) 有一個閉環(huán)解[1-4]。采用與Dung Nguyen等[5]相似的方法。在零折現(xiàn)率假設(shè)下，當(dāng)i,j=1,2;i≠j，有

(14)

將k1,k2,k3代入式(2)，可得

表 2 Bass模型參數(shù)的估計1)

1)模型的擬合優(yōu)度R2=0.993

將上面的參數(shù)代入方程(13)，可估計gi和di。

得到與Dung Nguyen等[5]相似的結(jié)論，d1和d2為零。見表3。

表3 其他參數(shù)的估計1)

1)模型的擬合優(yōu)度R2=0.92

3.3 最優(yōu)投資閉環(huán)解

在動態(tài)市場下比較軌道與地面公交汽電車的最優(yōu)投資閉環(huán)解和實際支出情況，如圖1所示。

圖1 動態(tài)市場條件下軌道交通實際投入與最優(yōu)投入的對比

從圖1中可以看到，在前期閉環(huán)解比較符合實際情況。就地面公交汽電車而言，也有類似的結(jié)果，如圖2所示。

圖2 動態(tài)市場條件下的地面公交汽電車實際投入與最優(yōu)投入的對比

從圖2中可以看到，大部分情況下，對地面公交汽電車的最優(yōu)投資都在實際投資之下。

綜合圖1與圖2，可知，在前期，軌道交通的投入是比較符合最優(yōu)投入策略的，而在后期(2007年后)，軌道交通的投入明顯不足。與此同時，在大部分時期內(nèi)，地面公交汽電車的投入是比較符合最優(yōu)投入策略的，但在2008年和2009年兩年中，對地面公交汽電車的投入明顯過度。實際上從上海市綜合交通年度數(shù)據(jù)上就可以明顯看到，從2003年以來，地面公交汽電車的出行次數(shù)一直都沒有發(fā)生太大變化，日均客運量都在700萬人次左右。

當(dāng)然，這里有一個非常重要的原因。我們對地面公交汽電車投資的統(tǒng)計是源于2008至2012年《上海市綜合交通年度報告》[6]，年報中對地面公交汽電車投資的項目有：城市道路、橋、隧道和公路。雖然我們在統(tǒng)計對地面公交汽電車投資時，只統(tǒng)計了對城市道路的投資，但實際上，這些對城市道路的投資不僅僅只是地面公交汽電車在使用，而是各種地面交通都在使用，從這個角度上去說，對地面公交汽電車最優(yōu)投入應(yīng)該比我們得到的最優(yōu)投入要高。

總的來說，雖然對地面公交汽電車最優(yōu)投入應(yīng)該比得到的最優(yōu)投入要高，但是結(jié)合圖1的結(jié)論，我們認為優(yōu)先發(fā)展軌道交通將更能體現(xiàn)公交優(yōu)先。

3.4 最優(yōu)投資分配比例

由上文分析可知，由于對城市道路的投資不僅僅只是地面公交汽電車在使用，還包括其他的各種地面交通，所以本文將從對軌道交通的最優(yōu)投資的閉環(huán)解，測算最優(yōu)投資分配比例，見表4。

表4 最優(yōu)投資分配比例

軌道交通的投入分配比例的變化如圖3所示

圖3 軌道交通投入分配的最優(yōu)比例與實際比例對比

圖3說明在大部分年份中，財政資金對軌道交通的投入低于最優(yōu)投資比例。因此，加大對軌道交通的投入是有必要的。

(15)

(16)

上海交通發(fā)展白皮書中，軌道交通的發(fā)展目標(biāo)是“遠期，軌道交通將成為公共交通的主體，客運量再翻兩番，達到1 200萬乘次/日，軌道交通和公共汽、電車的日客運量各占一半”。上海市城市公共交通“十二五”規(guī)劃中明確指出上海公共交通發(fā)展目標(biāo)是“公共交通出行比重(指使用公共交通方式的出行次數(shù)占所有使用交通工具的出行次數(shù)的比例)和客運量結(jié)構(gòu)目標(biāo)：中心城公共交通出行比重達50%，中心城軌道交通客運量占公共交通客運量的比重達50%左右?！绷硗?，上海公共交通日均客運量中軌道交通和地面公交汽電車在公共交通中所占比重從2003年的73.1%到2011年的80.7%，如果預(yù)測遠期，軌道交通和地面公交汽電車在公共交通中所占比重將達到85%，則c0=10/7,在長期m1(t)=1.87m2(t)，即對軌道交通的最優(yōu)投資分配比例為65%。

4 結(jié) 論

本文在引入投資的效果函數(shù)后，討論了動態(tài)市場規(guī)模和動態(tài)市場份額條件下公共交通的最優(yōu)投入分配，主要結(jié)論包括：

1)依據(jù)公共交通發(fā)展的不同階段投入效果來制定公共交通投資規(guī)劃

由投資的效果函數(shù)可知，在閉環(huán)條件下，當(dāng)競爭對手的投入費用固定時，隨著己方投入的增加，己方的投資效率是越來越高，也就是己方投資效率與自身的投入正相關(guān)。由于公共交通業(yè)的特殊行業(yè)屬性，無論是對軌道交通還是對地面汽電車增加投入，都對兩者效益提升發(fā)揮推動作用，只是兩者效率增加幅度不一樣而已。這符合采用公共交通出行的實際情況，當(dāng)出行距離較長時，人們通常選擇搭配使用軌道交通和地面公交汽電車，因而對軌道交通或是對地面汽電車增加投入都將改善人們的出行狀況。

目前，由于軌道交通的客運量占比小于地面公交汽電車的占比。根據(jù)上海市城市公共交通“十二五”規(guī)劃目標(biāo)，未來軌道交通的客運量的比例會占公共交通客運量一半，因此，現(xiàn)階段應(yīng)該提高軌道交通投入占比。

2)基于收益最大化的最優(yōu)投資策略

當(dāng)實際投入超過最優(yōu)投入時，閉環(huán)下雖然會使己方的市場份額提高，但是總收益將降低。所以，雖然現(xiàn)階段需要增加對軌道交通的投入，但不宜超過最優(yōu)投資比例，否則公共交通(軌道交通的)總收益會降低。

3)政府決策者選擇最優(yōu)投入策略提供依據(jù)

本文測算的最優(yōu)投入分配比例可為政府決策者提供最優(yōu)投入策略選擇依據(jù)，還可為財政投入績效評估提供支持。

參考文獻：

[1]BASS F M. A new product growth model for consumer durables [J]. Management Sci, 1969,15: 215-227.

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[5]DUNG NGUYEN, LEI S. Competitive advertising strategies and market-size dynamics: a research note on theory and evidence [J]. Management Sci, 2006, 52(6): 965-973.

[6]上海市城市綜合交通規(guī)劃研究所.《上海市綜合交通年度報告》[R].交通與運輸,2008-2012年.